Математический анализ Примеры

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{8}{3}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим ${\displaystyle \frac{8}{3}}$ и ${\displaystyle x^{\frac{5}{3}}}$.

Поскольку ${\displaystyle \frac{8}{3}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{8x^{\frac{5}{3}}}{3}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{8}{3}\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{5}{3}}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{5}{3}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ и ${\displaystyle x^{\frac{2}{3}}}$.

Умножим ${\displaystyle \frac{8}{3}}$ на ${\displaystyle \frac{5x^{\frac{2}{3}}}{3}}$.

Умножим.

Найдем первую производную.

Первая производная ${\displaystyle f\left(x\right)}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{8x^{\frac{5}{3}}}{3}}$.

Пусть первая производная равна ${\displaystyle 0}$.

Приравняем числитель к нулю.

Решим уравнение относительно ${\displaystyle x}$.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Упростим числитель.

Упростим выражение.

Разобьем ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ на отдельные интервалы в окрестности значений ${\displaystyle x}$, при которых первая производная равна ${\displaystyle 0}$ или не определена.

Подставим любое число такое, что ${\displaystyle -2}$, из интервала ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ в первую производную ${\displaystyle \frac{8x^{\frac{5}{3}}}{3}}$, чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Подставим любое число такое, что ${\displaystyle 2}$, из интервала ${\displaystyle (0,\infty )}$ в первую производную ${\displaystyle \frac{8x^{\frac{5}{3}}}{3}}$, чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности ${\displaystyle x=0}$, ${\displaystyle x=0}$ — локальный минимум.