Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} {(6 - x)}^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(6 - x)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{3}] + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 6 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 - x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 - x$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $6 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \cdot 1) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.7

Умножим $- 3$ на $1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} (2 x)$

Этап 1.3.9

Перенесем $2$ влево от ${(6 - x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 \cdot {(6 - x)}^{3} x$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $x {(6 - x)}^{2}$ из $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 {(6 - x)}^{3} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вынесем множитель $x {(6 - x)}^{2}$ из $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2})$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 2 {(6 - x)}^{3} x$

Этап 1.4.1.2

Вынесем множитель $x {(6 - x)}^{2}$ из $2 {(6 - x)}^{3} x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$

Этап 1.4.1.3

Вынесем множитель $x {(6 - x)}^{2}$ из $x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.3

Перепишем ${(6 - x)}^{2}$ в виде $(6 - x) (6 - x)$ .

$x ((6 - x) (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.4

Развернем $(6 - x) (6 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (6 (6 - x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$x (36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.5.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$x (36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.5.1.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.5.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.5.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1.5.1

Перенесем $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.5.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.5.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.5.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.5.2

Вычтем $6 x$ из $- 6 x$ .

$x (36 - 12 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot 36 + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.1

Перенесем $36$ влево от $x$ .

$(36 \cdot x + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.7.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.3.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1} x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.7.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1 + 2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.7.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.8.1

Перенесем $x$ .

$(36 x - 12 (x \cdot x) + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 1.4.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 \cdot 6 + 2 (- x))$

Этап 1.4.9.2

Умножим $2$ на $6$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 + 2 (- x))$

Этап 1.4.9.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 - 2 x)$

Этап 1.4.10

Вычтем $2 x$ из $- 3 x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$

Этап 1.4.11

Развернем $(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$36 x (- 5 x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 1.4.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.12.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$36 \cdot - 5 x \cdot x + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 1.4.12.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.12.2.1

Перенесем $x$ .

$36 \cdot - 5 (x \cdot x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 1.4.12.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$36 \cdot - 5 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 1.4.12.3

Умножим $36$ на $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 1.4.12.4

Умножим $12$ на $36$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 1.4.12.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{2} x - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 1.4.12.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.12.6.1

Перенесем $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x \cdot x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 1.4.12.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.12.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x^{1} x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 1.4.12.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{1 + 2} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 1.4.12.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 1.4.12.7

Умножим $- 12$ на $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 1.4.12.8

Умножим $12$ на $- 12$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 1.4.12.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{3} x + x^{3} \cdot 12$

Этап 1.4.12.10

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.12.10.1

Перенесем $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Этап 1.4.12.10.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.12.10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Этап 1.4.12.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 12$

Этап 1.4.12.10.3

Добавим $1$ и $3$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + x^{3} \cdot 12$

Этап 1.4.12.11

Перенесем $12$ влево от $x^{3}$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Этап 1.4.13

Вычтем $144 x^{2}$ из $- 180 x^{2}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Этап 1.4.14

Добавим $60 x^{3}$ и $12 x^{3}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 324 x^{2}] + \frac{d}{d x} [432 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [72 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 324 x^{2}) + \frac{d}{d x} (432 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 324 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 324$ является константой относительно $x$ , производная $- 324 x^{2}$ по $x$ равна $- 324 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (432 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 324 (2 x) + \frac{d}{d x} (432 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 324$ .

$f'' (x) = - 648 x + \frac{d}{d x} (432 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [432 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $432$ является константой относительно $x$ , производная $432 x$ по $x$ равна $432 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Этап 2.3.3

Умножим $432$ на $1$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{4}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Этап 2.4.3

Умножим $4$ на $- 5$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (72 x^{3})$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [72 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $72$ является константой относительно $x$ , производная $72 x^{3}$ по $x$ равна $72 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 20 x^{3} + 72 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 20 x^{3} + 72 (3 x^{2})$

Этап 2.5.3

Умножим $3$ на $72$ .

$f'' (x) = - 648 x + 432 - 20 x^{3} + 216 x^{2}$

Этап 2.6

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 216 x^{2} - 648 x + 432$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{3}] + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 - x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 - x$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

По правилу суммы производная $6 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \cdot 1) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.7

Умножим $- 3$ на $1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} (2 x)$

Этап 4.1.3.9

Перенесем $2$ влево от ${(6 - x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 \cdot {(6 - x)}^{3} x$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $x {(6 - x)}^{2}$ из $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 {(6 - x)}^{3} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1.1

Вынесем множитель $x {(6 - x)}^{2}$ из $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2})$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 2 {(6 - x)}^{3} x$

Этап 4.1.4.1.2

Вынесем множитель $x {(6 - x)}^{2}$ из $2 {(6 - x)}^{3} x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.1.3

Вынесем множитель $x {(6 - x)}^{2}$ из $x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.3

Перепишем ${(6 - x)}^{2}$ в виде $(6 - x) (6 - x)$ .

$x ((6 - x) (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.4

Развернем $(6 - x) (6 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (6 (6 - x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.5.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$x (36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.5.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$x (36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.5.1.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.5.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.5.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.5.1.5.1

Перенесем $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.5.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.5.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.5.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.5.2

Вычтем $6 x$ из $- 6 x$ .

$x (36 - 12 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot 36 + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.7.1

Перенесем $36$ влево от $x$ .

$(36 \cdot x + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.7.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.7.3.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.7.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1} x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.7.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1 + 2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.7.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.8.1

Перенесем $x$ .

$(36 x - 12 (x \cdot x) + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

Этап 4.1.4.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 \cdot 6 + 2 (- x))$

Этап 4.1.4.9.2

Умножим $2$ на $6$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 + 2 (- x))$

Этап 4.1.4.9.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 - 2 x)$

Этап 4.1.4.10

Вычтем $2 x$ из $- 3 x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$

Этап 4.1.4.11

Развернем $(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$36 x (- 5 x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 4.1.4.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.12.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$36 \cdot - 5 x \cdot x + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 4.1.4.12.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.12.2.1

Перенесем $x$ .

$36 \cdot - 5 (x \cdot x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 4.1.4.12.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$36 \cdot - 5 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 4.1.4.12.3

Умножим $36$ на $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 4.1.4.12.4

Умножим $12$ на $36$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 4.1.4.12.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{2} x - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 4.1.4.12.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.12.6.1

Перенесем $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x \cdot x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 4.1.4.12.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.12.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x^{1} x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 4.1.4.12.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{1 + 2} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 4.1.4.12.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 4.1.4.12.7

Умножим $- 12$ на $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 4.1.4.12.8

Умножим $12$ на $- 12$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

Этап 4.1.4.12.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{3} x + x^{3} \cdot 12$

Этап 4.1.4.12.10

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.12.10.1

Перенесем $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Этап 4.1.4.12.10.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.12.10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

Этап 4.1.4.12.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 12$

Этап 4.1.4.12.10.3

Добавим $1$ и $3$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + x^{3} \cdot 12$

Этап 4.1.4.12.11

Перенесем $12$ влево от $x^{3}$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Этап 4.1.4.13

Вычтем $144 x^{2}$ из $- 180 x^{2}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

Этап 4.1.4.14

Добавим $60 x^{3}$ и $12 x^{3}$ .

$f' (x) = - 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- 324 x^{2}$ .

$x (- 324 x) + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $432 x$ .

$x (- 324 x) + x \cdot 432 - 5 x^{4} + 72 x^{3} = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x^{4}$ .

$x (- 324 x) + x \cdot 432 + x (- 5 x^{3}) + 72 x^{3} = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $72 x^{3}$ .

$x (- 324 x) + x \cdot 432 + x (- 5 x^{3}) + x (72 x^{2}) = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (- 324 x) + x \cdot 432$ .

$x (- 324 x + 432) + x (- 5 x^{3}) + x (72 x^{2}) = 0$

Этап 5.2.1.6

Вынесем множитель $x$ из $x (- 324 x + 432) + x (- 5 x^{3})$ .

$x (- 324 x + 432 - 5 x^{3}) + x (72 x^{2}) = 0$

Этап 5.2.1.7

Вынесем множитель $x$ из $x (- 324 x + 432 - 5 x^{3}) + x (72 x^{2})$ .

$x (- 324 x + 432 - 5 x^{3} + 72 x^{2}) = 0$

Этап 5.2.2

Изменим порядок членов.

$x (- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432) = 0$

Этап 5.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разложим $- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 432, \pm 2, \pm 216, \pm 3, \pm 144, \pm 4, \pm 108, \pm 6, \pm 72, \pm 8, \pm 54, \pm 9, \pm 48, \pm 12, \pm 36, \pm 16, \pm 27, \pm 18, \pm 24$

$q = \pm 1, \pm 5$

Этап 5.2.3.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 432, \pm 86.4, \pm 2, \pm 0.4, \pm 216, \pm 43.2, \pm 3, \pm 0.6, \pm 144, \pm 28.8, \pm 4, \pm 0.8, \pm 108, \pm 21.6, \pm 6, \pm 1.2, \pm 72, \pm 14.4, \pm 8, \pm 1.6, \pm 54, \pm 10.8, \pm 9, \pm 1.8, \pm 48, \pm 9.6, \pm 12, \pm 2.4, \pm 36, \pm 7.2, \pm 16, \pm 3.2, \pm 27, \pm 5.4, \pm 18, \pm 3.6, \pm 24, \pm 4.8$

Этап 5.2.3.1.3

Подставим $6$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $6$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.3.1

Подставим $6$ в многочлен.

$- 5 \cdot 6^{3} + 72 \cdot 6^{2} - 324 \cdot 6 + 432$

Этап 5.2.3.1.3.2

Возведем $6$ в степень $3$ .

$- 5 \cdot 216 + 72 \cdot 6^{2} - 324 \cdot 6 + 432$

Этап 5.2.3.1.3.3

Умножим $- 5$ на $216$ .

$- 1080 + 72 \cdot 6^{2} - 324 \cdot 6 + 432$

Этап 5.2.3.1.3.4

Возведем $6$ в степень $2$ .

$- 1080 + 72 \cdot 36 - 324 \cdot 6 + 432$

Этап 5.2.3.1.3.5

Умножим $72$ на $36$ .

$- 1080 + 2592 - 324 \cdot 6 + 432$

Этап 5.2.3.1.3.6

Добавим $- 1080$ и $2592$ .

$1512 - 324 \cdot 6 + 432$

Этап 5.2.3.1.3.7

Умножим $- 324$ на $6$ .

$1512 - 1944 + 432$

Этап 5.2.3.1.3.8

Вычтем $1944$ из $1512$ .

$- 432 + 432$

Этап 5.2.3.1.3.9

Добавим $- 432$ и $432$ .

$0$

Этап 5.2.3.1.4

Поскольку $6$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 6$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432}{x - 6}$

Этап 5.2.3.1.5

Разделим $- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432$ на $x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$6$

$5 x^{3}$

$72 x^{2}$

$324 x$

$432$

Этап 5.2.3.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 5 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$5 x^{2}$
	$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$

Этап 5.2.3.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			-	$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$

Этап 5.2.3.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 5 x^{3} + 30 x^{2}$ .

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$

Этап 5.2.3.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$

Этап 5.2.3.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$

Этап 5.2.3.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $42 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$

Этап 5.2.3.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					+	$42 x^{2}$	-	$252 x$

Этап 5.2.3.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $42 x^{2} - 252 x$ .

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$

Этап 5.2.3.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$

Этап 5.2.3.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$

Этап 5.2.3.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 72 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$	-	$72$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$

Этап 5.2.3.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$	-	$72$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$
							-	$72 x$	+	$432$

Этап 5.2.3.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 72 x + 432$ .

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$	-	$72$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$
							+	$72 x$	-	$432$

Этап 5.2.3.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$5 x^{2}$	+	$42 x$	-	$72$
$x$	-	$6$	-	$5 x^{3}$	+	$72 x^{2}$	-	$324 x$	+	$432$
			+	$5 x^{3}$	-	$30 x^{2}$
					+	$42 x^{2}$	-	$324 x$
					-	$42 x^{2}$	+	$252 x$
							-	$72 x$	+	$432$
							+	$72 x$	-	$432$
										$0$

Этап 5.2.3.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- 5 x^{2} + 42 x - 72$

Этап 5.2.3.1.6

Запишем $- 5 x^{3} + 72 x^{2} - 324 x + 432$ в виде набора множителей.

$x ((x - 6) (- 5 x^{2} + 42 x - 72)) = 0$

Этап 5.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x - 6) (- 5 x^{2} + 42 x - 72) = 0$

Этап 5.2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 5 \cdot - 72 = 360$ , а сумма — $b = 42$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1.1

Вынесем множитель $42$ из $42 x$ .

$x (x - 6) (- 5 x^{2} + 42 (x) - 72) = 0$

Этап 5.2.4.1.1.2

Запишем $42$ как $12$ плюс $30$

$x (x - 6) (- 5 x^{2} + (12 + 30) x - 72) = 0$

Этап 5.2.4.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x - 6) (- 5 x^{2} + 12 x + 30 x - 72) = 0$

Этап 5.2.4.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x (x - 6) ((- 5 x^{2} + 12 x) + 30 x - 72) = 0$

Этап 5.2.4.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (x - 6) (x (- 5 x + 12) - 6 (- 5 x + 12)) = 0$

Этап 5.2.4.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 5 x + 12$ .

$x (x - 6) ((- 5 x + 12) (x - 6)) = 0$

Этап 5.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x - 6) (- 5 x + 12) (x - 6) = 0$

Этап 5.2.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Возведем $x - 6$ в степень $1$ .

$x ((x - 6) (x - 6)) (- 5 x + 12) = 0$

Этап 5.2.5.2

Возведем $x - 6$ в степень $1$ .

$x ((x - 6) (x - 6)) (- 5 x + 12) = 0$

Этап 5.2.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x {(x - 6)}^{1 + 1} (- 5 x + 12) = 0$

Этап 5.2.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x {(x - 6)}^{2} (- 5 x + 12) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

$- 5 x + 12 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем ${(x - 6)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем ${(x - 6)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 5.5.2

Решим ${(x - 6)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 5.5.2.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 5.6

Приравняем $- 5 x + 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $- 5 x + 12$ к $0$ .

$- 5 x + 12 = 0$

Этап 5.6.2

Решим $- 5 x + 12 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x = - 12$

Этап 5.6.2.2

Разделим каждый член $- 5 x = - 12$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Разделим каждый член $- 5 x = - 12$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 12}{- 5}$

Этап 5.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 12}{- 5}$

Этап 5.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 5}$

Этап 5.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{12}{5}$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x {(x - 6)}^{2} (- 5 x + 12) = 0$ верно.

$x = 0, 6, \frac{12}{5}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 6, \frac{12}{5}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 20 {(0)}^{3} + 216 {(0)}^{2} - 648 \cdot 0 + 432$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 20 \cdot 0 + 216 {(0)}^{2} - 648 \cdot 0 + 432$

Этап 9.1.2

Умножим $- 20$ на $0$ .

$0 + 216 {(0)}^{2} - 648 \cdot 0 + 432$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 216 \cdot 0 - 648 \cdot 0 + 432$

Этап 9.1.4

Умножим $216$ на $0$ .

$0 + 0 - 648 \cdot 0 + 432$

Этап 9.1.5

Умножим $- 648$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 + 432$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0 + 432$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 432$

Этап 9.2.3

Добавим $0$ и $432$ .

$432$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{2} {(6 - (0))}^{3}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 {(6 - (0))}^{3}$

Этап 11.2.2

Вычтем $0$ из $6$ .

$f (0) = 0 \cdot 6^{3}$

Этап 11.2.3

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f (0) = 0 \cdot 216$

Этап 11.2.4

Умножим $0$ на $216$ .

$f (0) = 0$

Этап 11.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 6$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 20 {(6)}^{3} + 216 {(6)}^{2} - 648 \cdot 6 + 432$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $6$ в степень $3$ .

$- 20 \cdot 216 + 216 {(6)}^{2} - 648 \cdot 6 + 432$

Этап 13.1.2

Умножим $- 20$ на $216$ .

$- 4320 + 216 {(6)}^{2} - 648 \cdot 6 + 432$

Этап 13.1.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$- 4320 + 216 \cdot 36 - 648 \cdot 6 + 432$

Этап 13.1.4

Умножим $216$ на $36$ .

$- 4320 + 7776 - 648 \cdot 6 + 432$

Этап 13.1.5

Умножим $- 648$ на $6$ .

$- 4320 + 7776 - 3888 + 432$

Этап 13.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $- 4320$ и $7776$ .

$3456 - 3888 + 432$

Этап 13.2.2

Вычтем $3888$ из $3456$ .

$- 432 + 432$

Этап 13.2.3

Добавим $- 432$ и $432$ .

$0$

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{12}{5}) \cup (\frac{12}{5}, 6) \cup (6, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 324 {(- 2)}^{2} + 432 (- 2) - 5 {(- 2)}^{4} + 72 {(- 2)}^{3}$

Этап 14.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - 324 \cdot 4 + 432 (- 2) - 5 {(- 2)}^{4} + 72 {(- 2)}^{3}$

Этап 14.2.2.1.2

Умножим $- 324$ на $4$ .

$f' (- 2) = - 1296 + 432 (- 2) - 5 {(- 2)}^{4} + 72 {(- 2)}^{3}$

Этап 14.2.2.1.3

Умножим $432$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 5 {(- 2)}^{4} + 72 {(- 2)}^{3}$

Этап 14.2.2.1.4

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 5 \cdot 16 + 72 {(- 2)}^{3}$

Этап 14.2.2.1.5

Умножим $- 5$ на $16$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 80 + 72 {(- 2)}^{3}$

Этап 14.2.2.1.6

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 80 + 72 \cdot - 8$

Этап 14.2.2.1.7

Умножим $72$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = - 1296 - 864 - 80 - 576$

Этап 14.2.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.1

Вычтем $864$ из $- 1296$ .

$f' (- 2) = - 2160 - 80 - 576$

Этап 14.2.2.2.2

Вычтем $80$ из $- 2160$ .

$f' (- 2) = - 2240 - 576$

Этап 14.2.2.2.3

Вычтем $576$ из $- 2240$ .

$f' (- 2) = - 2816$

Этап 14.2.2.3

Окончательный ответ: $- 2816$ .

$- 2816$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $1$ , из интервала $(0, \frac{12}{5})$ в первую производную $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - 324 {(1)}^{2} + 432 (1) - 5 {(1)}^{4} + 72 {(1)}^{3}$

Этап 14.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - 324 \cdot 1 + 432 (1) - 5 {(1)}^{4} + 72 {(1)}^{3}$

Этап 14.3.2.1.2

Умножим $- 324$ на $1$ .

$f' (1) = - 324 + 432 (1) - 5 {(1)}^{4} + 72 {(1)}^{3}$

Этап 14.3.2.1.3

Умножим $432$ на $1$ .

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 {(1)}^{4} + 72 {(1)}^{3}$

Этап 14.3.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 \cdot 1 + 72 {(1)}^{3}$

Этап 14.3.2.1.5

Умножим $- 5$ на $1$ .

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 + 72 {(1)}^{3}$

Этап 14.3.2.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 + 72 \cdot 1$

Этап 14.3.2.1.7

Умножим $72$ на $1$ .

$f' (1) = - 324 + 432 - 5 + 72$

Этап 14.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.2.1

Добавим $- 324$ и $432$ .

$f' (1) = 108 - 5 + 72$

Этап 14.3.2.2.2

Вычтем $5$ из $108$ .

$f' (1) = 103 + 72$

Этап 14.3.2.2.3

Добавим $103$ и $72$ .

$f' (1) = 175$

Этап 14.3.2.3

Окончательный ответ: $175$ .

$175$

Этап 14.4

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(\frac{12}{5}, 6)$ в первую производную $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = - 324 {(4)}^{2} + 432 (4) - 5 {(4)}^{4} + 72 {(4)}^{3}$

Этап 14.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = - 324 \cdot 16 + 432 (4) - 5 {(4)}^{4} + 72 {(4)}^{3}$

Этап 14.4.2.1.2

Умножим $- 324$ на $16$ .

$f' (4) = - 5184 + 432 (4) - 5 {(4)}^{4} + 72 {(4)}^{3}$

Этап 14.4.2.1.3

Умножим $432$ на $4$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 5 {(4)}^{4} + 72 {(4)}^{3}$

Этап 14.4.2.1.4

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 5 \cdot 256 + 72 {(4)}^{3}$

Этап 14.4.2.1.5

Умножим $- 5$ на $256$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 1280 + 72 {(4)}^{3}$

Этап 14.4.2.1.6

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 1280 + 72 \cdot 64$

Этап 14.4.2.1.7

Умножим $72$ на $64$ .

$f' (4) = - 5184 + 1728 - 1280 + 4608$

Этап 14.4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.2.1

Добавим $- 5184$ и $1728$ .

$f' (4) = - 3456 - 1280 + 4608$

Этап 14.4.2.2.2

Вычтем $1280$ из $- 3456$ .

$f' (4) = - 4736 + 4608$

Этап 14.4.2.2.3

Добавим $- 4736$ и $4608$ .

$f' (4) = - 128$

Этап 14.4.2.3

Окончательный ответ: $- 128$ .

$- 128$

Этап 14.5

Подставим любое число такое, что $8$ , из интервала $(6, \infty)$ в первую производную $- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f' (8) = - 324 {(8)}^{2} + 432 (8) - 5 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{3}$

Этап 14.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f' (8) = - 324 \cdot 64 + 432 (8) - 5 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{3}$

Этап 14.5.2.1.2

Умножим $- 324$ на $64$ .

$f' (8) = - 20736 + 432 (8) - 5 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{3}$

Этап 14.5.2.1.3

Умножим $432$ на $8$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 5 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{3}$

Этап 14.5.2.1.4

Возведем $8$ в степень $4$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 5 \cdot 4096 + 72 {(8)}^{3}$

Этап 14.5.2.1.5

Умножим $- 5$ на $4096$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 20480 + 72 {(8)}^{3}$

Этап 14.5.2.1.6

Возведем $8$ в степень $3$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 20480 + 72 \cdot 512$

Этап 14.5.2.1.7

Умножим $72$ на $512$ .

$f' (8) = - 20736 + 3456 - 20480 + 36864$

Этап 14.5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.2.1

Добавим $- 20736$ и $3456$ .

$f' (8) = - 17280 - 20480 + 36864$

Этап 14.5.2.2.2

Вычтем $20480$ из $- 17280$ .

$f' (8) = - 37760 + 36864$

Этап 14.5.2.2.3

Добавим $- 37760$ и $36864$ .

$f' (8) = - 896$

Этап 14.5.2.3

Окончательный ответ: $- 896$ .

$- 896$

Этап 14.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный минимум.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 14.7

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = \frac{12}{5}$ , $x = \frac{12}{5}$ — локальный максимум.

$x = \frac{12}{5}$ — локальный максимум

Этап 14.8

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 6$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 14.9

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{2} {(6 - x)}^{3}$ .

$x = 0$ — локальный минимум

$x = \frac{12}{5}$ — локальный максимум

$x = 0$ — локальный минимум

$x = \frac{12}{5}$ — локальный максимум

Этап 15