Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (x)}{x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{1 - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{1 - \cos (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(1 - \cos (\frac{π}{2})) \frac{2}{π}$

Этап 6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$(1 - 0) \frac{2}{π}$

Этап 6.2.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$(1 + 0) \frac{2}{π}$

Этап 6.3

Добавим $1$ и $0$ .

$1 \frac{2}{π}$

Этап 6.4

Умножим $\frac{2}{π}$ на $1$ .

$\frac{2}{π}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2}{π}$

Десятичная форма:

$0.63661977 \dots$