Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} + x y + 5 x - 2 y + 1$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + x y + 5 x - 2 y + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x + y + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + y + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + y + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$2 x + y + 5 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 2 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + y + 5 + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + y + 5 + 0 + 0$

Этап 1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $2 x + y + 5$ и $0$ .

$2 x + y + 5 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $2 x + y + 5$ и $0$ .

$2 x + y + 5$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x + y + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0 + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 2.3.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0 + 0$

Этап 2.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = 2$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 x + y + 5 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x + y + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + y + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + y + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$2 x + y + 5 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 2 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + y + 5 + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + y + 5 + 0 + 0$

Этап 4.1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Добавим $2 x + y + 5$ и $0$ .

$2 x + y + 5 + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $2 x + y + 5$ и $0$ .

$f' (x) = 2 x + y + 5$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x + y + 5$ .

$2 x + y + 5$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x + y + 5 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x + y + 5 = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$2 x + 5 = - y$

Этап 5.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - y - 5$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 x = - y - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 x = - y - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2} + \frac{- 5}{2}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2} + \frac{- 5}{2}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- y}{2} + \frac{- 5}{2}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 5}{2}$

Этап 5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2$

Этап 9

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$ — локальный минимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = {(- \frac{y}{2} - \frac{5}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Перепишем ${(- \frac{y}{2} - \frac{5}{2})}^{2}$ в виде $(- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2})$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.2

Развернем $(- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = - \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = - \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y}{2}) - \frac{y}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = - \frac{y}{2} \cdot (- \frac{y}{2}) - \frac{y}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{y}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.1

Умножим $- \frac{y}{2} (- \frac{y}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = 1 (\frac{y}{2}) \cdot \frac{y}{2} - \frac{y}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{y}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.1.1.2

Умножим $\frac{y}{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2} - \frac{y}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{y}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.1.1.3

Умножим $\frac{y}{2}$ на $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y \cdot y}{2 \cdot 2} - \frac{y}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{y}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.1.1.4

Возведем $y$ в степень $1$ .

Этап 10.2.1.3.1.1.5

Возведем $y$ в степень $1$ .

Этап 10.2.1.3.1.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{y}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{y}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.1.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{y}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{y}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.1.1.8

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{y}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.1.2

Умножим $- \frac{y}{2} (- \frac{5}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + 1 (\frac{y}{2}) \cdot \frac{5}{2} - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{y}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.1.2.2

Умножим $\frac{y}{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} \cdot \frac{5}{2} - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{y}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.1.2.3

Умножим $\frac{y}{2}$ на $\frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot 5}{2 \cdot 2} - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{y}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.1.2.4

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot 5}{4} - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{y}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.1.3

Перенесем $5$ влево от $y$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 \cdot y}{4} - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{y}{2}) - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.1.4

Умножим $- \frac{5}{2} (- \frac{y}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{4} + 1 (\frac{5}{2}) \cdot \frac{y}{2} - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.1.4.2

Умножим $\frac{5}{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{y}{2} - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.1.4.3

Умножим $\frac{5}{2}$ на $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{4} + \frac{5 y}{2 \cdot 2} - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.1.4.4

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{4} + \frac{5 y}{4} - \frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.1.5

Умножим $- \frac{5}{2} (- \frac{5}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{4} + \frac{5 y}{4} + 1 (\frac{5}{2}) \cdot \frac{5}{2} + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.1.5.2

Умножим $\frac{5}{2}$ на $1$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{4} + \frac{5 y}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.1.5.3

Умножим $\frac{5}{2}$ на $\frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{4} + \frac{5 y}{4} + \frac{5 \cdot 5}{2 \cdot 2} + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.1.5.4

Умножим $5$ на $5$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{4} + \frac{5 y}{4} + \frac{25}{2 \cdot 2} + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.1.5.5

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{4} + \frac{5 y}{4} + \frac{25}{4} + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.3.2

Добавим $\frac{5 y}{4}$ и $\frac{5 y}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + 2 (\frac{5 y}{4}) + \frac{25}{4} + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + 2 (\frac{5 y}{2 (2)}) + \frac{25}{4} + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + 2 (\frac{5 y}{2 \cdot 2}) + \frac{25}{4} + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4} + (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) \cdot y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4} - \frac{y}{2} \cdot y - \frac{5}{2} y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.6

Умножим $- \frac{y}{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.1

Объединим $y$ и $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4} - \frac{y \cdot y}{2} - \frac{5}{2} y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.6.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4} - \frac{y \cdot y}{2} - \frac{5}{2} y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.6.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4} - \frac{y \cdot y}{2} - \frac{5}{2} y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} - \frac{5}{2} y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{2} - \frac{5}{2} y + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.7

Объединим $y$ и $\frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{2} - \frac{y \cdot 5}{2} + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.8

Перенесем $5$ влево от $y$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{2} - \frac{5 y}{2} + 5 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{2} - \frac{5 y}{2} + 5 (- \frac{y}{2}) + 5 (- \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.10

Умножим $5 (- \frac{y}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.10.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{2} - \frac{5 y}{2} - 5 \frac{y}{2} + 5 (- \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.10.2

Объединим $- 5$ и $\frac{y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{2} - \frac{5 y}{2} + \frac{- 5 y}{2} + 5 (- \frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.11

Умножим $5 (- \frac{5}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.11.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{2} - \frac{5 y}{2} + \frac{- 5 y}{2} - 5 (\frac{5}{2}) - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.11.2

Объединим $- 5$ и $\frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{2} - \frac{5 y}{2} + \frac{- 5 y}{2} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.11.3

Умножим $- 5$ на $5$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{2} - \frac{5 y}{2} + \frac{- 5 y}{2} + \frac{- 25}{2} - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.12.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{2} - \frac{5 y}{2} - \frac{5 y}{2} + \frac{- 25}{2} - 2 y + 1$

Этап 10.2.1.12.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{2} - \frac{5 y}{2} - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2} - 2 y + 1$

Этап 10.2.2

Объединим противоположные члены в $\frac{y^{2}}{4} + \frac{5 y}{2} + \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{2} - \frac{5 y}{2} - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2} - 2 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Вычтем $\frac{5 y}{2}$ из $\frac{5 y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{2} + 0 - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2} - 2 y + 1$

Этап 10.2.2.2

Добавим $\frac{y^{2}}{4} + \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{2}$ и $0$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} + \frac{25}{4} - \frac{y^{2}}{2} - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2} - 2 y + 1$

Этап 10.2.3

Чтобы записать $- \frac{y^{2}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{25}{4} - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2} - 2 y + 1$

Этап 10.2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Умножим $\frac{y^{2}}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{25}{4} - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2} - 2 y + 1$

Этап 10.2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} + \frac{25}{4} - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2} - 2 y + 1$

Этап 10.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2}{4} + \frac{25}{4} - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2} - 2 y + 1$

Этап 10.2.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = - 2 y + 1 + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2 + 25}{4} + \frac{- 5 y}{2} + \frac{- 25}{2}$

Этап 10.2.5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = - 2 y + 1 + \frac{y^{2} - 2 y^{2} + 25}{4} + \frac{- 5 y}{2} + \frac{- 25}{2}$

Этап 10.2.5.4

Вычтем $2 y^{2}$ из $y^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = - 2 y + 1 + \frac{- y^{2} + 25}{4} + \frac{- 5 y}{2} + \frac{- 25}{2}$

Этап 10.2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = - 2 y + 1 + \frac{- y^{2} + 5^{2}}{4} + \frac{- 5 y}{2} + \frac{- 25}{2}$

Этап 10.2.6.1.2

Изменим порядок $- y^{2}$ и $5^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = - 2 y + 1 + \frac{5^{2} - y^{2}}{4} + \frac{- 5 y}{2} + \frac{- 25}{2}$

Этап 10.2.6.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 5$ и $b = y$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = - 2 y + 1 + \frac{(5 + y) (5 - y)}{4} + \frac{- 5 y}{2} + \frac{- 25}{2}$

Этап 10.2.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = - 2 y + 1 + \frac{(5 + y) (5 - y)}{4} - \frac{5 y}{2} + \frac{- 25}{2}$

Этап 10.2.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = - 2 y + 1 + \frac{(5 + y) (5 - y)}{4} - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.7

Чтобы записать $- 2 y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = - 2 y \cdot \frac{4}{4} + \frac{(5 + y) (5 - y)}{4} + 1 - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.8.1

Объединим $- 2 y$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- 2 y \cdot 4}{4} + \frac{(5 + y) (5 - y)}{4} + 1 - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- 2 y \cdot 4 + (5 + y) (5 - y)}{4} + 1 - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.1

Умножим $4$ на $- 2$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- 8 y + (5 + y) (5 - y)}{4} + 1 - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.9.2

Развернем $(5 + y) (5 - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- 8 y + 5 (5 - y) + y (5 - y)}{4} + 1 - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.9.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- 8 y + 5 \cdot 5 + 5 (- y) + y (5 - y)}{4} + 1 - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.9.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- 8 y + 5 \cdot 5 + 5 (- y) + y \cdot 5 + y (- y)}{4} + 1 - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.9.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.3.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- 8 y + 25 + 5 (- y) + y \cdot 5 + y (- y)}{4} + 1 - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.9.3.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- 8 y + 25 - 5 y + y \cdot 5 + y (- y)}{4} + 1 - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.9.3.1.3

Перенесем $5$ влево от $y$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- 8 y + 25 - 5 y + 5 \cdot y + y (- y)}{4} + 1 - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.9.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- 8 y + 25 - 5 y + 5 y - y \cdot y}{4} + 1 - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.9.3.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.3.1.5.1

Перенесем $y$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- 8 y + 25 - 5 y + 5 y - (y \cdot y)}{4} + 1 - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.9.3.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- 8 y + 25 - 5 y + 5 y - y^{2}}{4} + 1 - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.9.3.2

Добавим $- 5 y$ и $5 y$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- 8 y + 25 + 0 - y^{2}}{4} + 1 - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.9.3.3

Добавим $25$ и $0$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- 8 y + 25 - y^{2}}{4} + 1 - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.9.4

Изменим порядок членов.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- y^{2} - 8 y + 25}{4} + 1 - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.10

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.10.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- y^{2} - 8 y + 25}{4} + \frac{4}{4} - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.10.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- y^{2} - 8 y + 25 + 4}{4} - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.10.3

Добавим $25$ и $4$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- y^{2} - 8 y + 29}{4} - \frac{5 y}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.11

Чтобы записать $- \frac{5 y}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- y^{2} - 8 y + 29}{4} - \frac{5 y}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.12

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.12.1

Умножим $\frac{5 y}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- y^{2} - 8 y + 29}{4} - \frac{5 y \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.12.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- y^{2} - 8 y + 29}{4} - \frac{5 y \cdot 2}{4} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- y^{2} - 8 y + 29 - 5 y \cdot 2}{4} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.14.1

Умножим $2$ на $- 5$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- y^{2} - 8 y + 29 - 10 y}{4} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.14.2

Вычтем $10 y$ из $- 8 y$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- y^{2} - 18 y + 29}{4} - \frac{25}{2}$

Этап 10.2.15

Чтобы записать $- \frac{25}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- y^{2} - 18 y + 29}{4} - \frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 10.2.16

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.16.1

Умножим $\frac{25}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- y^{2} - 18 y + 29}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 10.2.16.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- y^{2} - 18 y + 29}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4}$

Этап 10.2.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- y^{2} - 18 y + 29 - 25 \cdot 2}{4}$

Этап 10.2.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.18.1

Умножим $- 25$ на $2$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- y^{2} - 18 y + 29 - 50}{4}$

Этап 10.2.18.2

Вычтем $50$ из $29$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- y^{2} - 18 y - 21}{4}$

Этап 10.2.19

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.19.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2}$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- (y^{2}) - 18 y - 21}{4}$

Этап 10.2.19.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 18 y$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- (y^{2}) - (18 y) - 21}{4}$

Этап 10.2.19.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{2}) - (18 y)$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- (y^{2} + 18 y) - 21}{4}$

Этап 10.2.19.4

Перепишем $- 21$ в виде $- 1 (21)$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- (y^{2} + 18 y) - 1 \cdot 21}{4}$

Этап 10.2.19.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{2} + 18 y) - 1 (21)$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- (y^{2} + 18 y + 21)}{4}$

Этап 10.2.19.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.19.6.1

Перепишем $- (y^{2} + 18 y + 21)$ в виде $- 1 (y^{2} + 18 y + 21)$ .

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = \frac{- 1 (y^{2} + 18 y + 21)}{4}$

Этап 10.2.19.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) = - \frac{y^{2} + 18 y + 21}{4}$

Этап 10.2.20

Окончательный ответ: $- \frac{y^{2} + 18 y + 21}{4}$ .

$y = - \frac{y^{2} + 18 y + 21}{4}$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{2} + x y + 5 x - 2 y + 1$ .

$(- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}, - \frac{y^{2} + 18 y + 21}{4})$ — локальный минимум

Этап 12