Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} - 20 x + 110 + \frac{1014}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 20 x + 110 + \frac{1014}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20 x$ по $x$ равна $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Этап 1.2.3

Умножим $- 20$ на $1$ .

$2 x - 20 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Этап 1.3

Поскольку $110$ является константой относительно $x$ , производная $110$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - 20 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $1014$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1014}{x}$ по $x$ равна $1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.4.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 (- x^{- 2})$

Этап 1.4.4

Умножим $- 1$ на $1014$ .

$2 x - 20 + 0 - 1014 x^{- 2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 20 + 0 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Добавим $2 x - 20$ и $0$ .

$2 x - 20 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.5.2.2

Объединим $- 1014$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - 20 + \frac{- 1014}{x^{2}}$

Этап 1.5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x - 20 - \frac{1014}{x^{2}}$

Этап 1.5.3

Изменим порядок членов.

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1014}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 20]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1014}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1014}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1014$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1014}{x^{2}}$ по $x$ равна $- 1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (- 20)$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (- 20)$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Этап 2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Этап 2.3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Этап 2.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Этап 2.3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Этап 2.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Этап 2.3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$f'' (x) = 2 - 1014 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (- 20)$

Этап 2.3.10

Умножим $- 2$ на $- 1014$ .

$f'' (x) = 2 + 2028 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- 20)$

Этап 2.4

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 + 2028 x^{- 3} + 0$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 2028 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Этап 2.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Объединим $2028$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{2028}{x^{3}} + 0$

Этап 2.5.2.2

Добавим $2 + \frac{2028}{x^{3}}$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{2028}{x^{3}}$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{2028}{x^{3}} + 2$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20 x$ по $x$ равна $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- 20$ на $1$ .

$2 x - 20 + \frac{d}{d x} [110] + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Этап 4.1.3

Поскольку $110$ является константой относительно $x$ , производная $110$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x - 20 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1014}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $1014$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1014}{x}$ по $x$ равна $1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 4.1.4.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 4.1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 x - 20 + 0 + 1014 (- x^{- 2})$

Этап 4.1.4.4

Умножим $- 1$ на $1014$ .

$2 x - 20 + 0 - 1014 x^{- 2}$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 20 + 0 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 4.1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Добавим $2 x - 20$ и $0$ .

$2 x - 20 - 1014 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 4.1.5.2.2

Объединим $- 1014$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - 20 + \frac{- 1014}{x^{2}}$

Этап 4.1.5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 x - 20 - \frac{1014}{x^{2}}$

Этап 4.1.5.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$ .

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x^{2}, 1, 1$

Этап 5.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 5.3

Каждый член в $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $2 x - \frac{1014}{x^{2}} - 20 = 0$ на $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 5.3.2.1.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 5.3.2.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{2 + 1} - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 5.3.2.1.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$2 x^{3} - \frac{1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1014}{x^{2}}$ в числитель.

$2 x^{3} + \frac{- 1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{3} + \frac{- 1014}{x^{2}} x^{2} - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{3} - 1014 - 20 x^{2} = 0 x^{2}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $0$ на $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 1014 - 20 x^{2} = 0$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} - 1014 - 20 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 1014 - 20 x^{2} = 0$

Этап 5.4.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 1014$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 507 - 20 x^{2} = 0$

Этап 5.4.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 20 x^{2}$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 507 + 2 (- 10 x^{2}) = 0$

Этап 5.4.1.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3} + 2 \cdot - 507$ .

$2 (x^{3} - 507) + 2 (- 10 x^{2}) = 0$

Этап 5.4.1.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{3} - 507) + 2 (- 10 x^{2})$ .

$2 (x^{3} - 507 - 10 x^{2}) = 0$

Этап 5.4.1.2

Изменим порядок членов.

$2 (x^{3} - 10 x^{2} - 507) = 0$

Этап 5.4.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1

Разложим $x^{3} - 10 x^{2} - 507$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 507, \pm 3, \pm 169, \pm 13, \pm 39$

$q = \pm 1$

Этап 5.4.1.3.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 507, \pm 3, \pm 169, \pm 13, \pm 39$

Этап 5.4.1.3.1.3

Подставим $13$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $13$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1.3.1

Подставим $13$ в многочлен.

$13^{3} - 10 \cdot 13^{2} - 507$

Этап 5.4.1.3.1.3.2

Возведем $13$ в степень $3$ .

$2197 - 10 \cdot 13^{2} - 507$

Этап 5.4.1.3.1.3.3

Возведем $13$ в степень $2$ .

$2197 - 10 \cdot 169 - 507$

Этап 5.4.1.3.1.3.4

Умножим $- 10$ на $169$ .

$2197 - 1690 - 507$

Этап 5.4.1.3.1.3.5

Вычтем $1690$ из $2197$ .

$507 - 507$

Этап 5.4.1.3.1.3.6

Вычтем $507$ из $507$ .

$0$

Этап 5.4.1.3.1.4

Поскольку $13$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 13$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 10 x^{2} - 507}{x - 13}$

Этап 5.4.1.3.1.5

Разделим $x^{3} - 10 x^{2} - 507$ на $x - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$13$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$0 x$

$507$

Этап 5.4.1.3.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$

Этап 5.4.1.3.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			+	$x^{3}$	-	$13 x^{2}$

Этап 5.4.1.3.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 13 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$

Этап 5.4.1.3.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Этап 5.4.1.3.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 5.4.1.3.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 5.4.1.3.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$39 x$

Этап 5.4.1.3.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} - 39 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$

Этап 5.4.1.3.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$

Этап 5.4.1.3.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$

Этап 5.4.1.3.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $39 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$

Этап 5.4.1.3.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$
							+	$39 x$	-	$507$

Этап 5.4.1.3.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $39 x - 507$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$
							-	$39 x$	+	$507$

Этап 5.4.1.3.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$3 x$	+	$39$
$x$	-	$13$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$0 x$	-	$507$
			-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$39 x$
							+	$39 x$	-	$507$
							-	$39 x$	+	$507$
										$0$

Этап 5.4.1.3.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 3 x + 39$

Этап 5.4.1.3.1.6

Запишем $x^{3} - 10 x^{2} - 507$ в виде набора множителей.

$2 ((x - 13) (x^{2} + 3 x + 39)) = 0$

Этап 5.4.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x - 13) (x^{2} + 3 x + 39) = 0$

Этап 5.4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 13 = 0$

$x^{2} + 3 x + 39 = 0$

Этап 5.4.3

Приравняем $x - 13$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Приравняем $x - 13$ к $0$ .

$x - 13 = 0$

Этап 5.4.3.2

Добавим $13$ к обеим частям уравнения.

$x = 13$

Этап 5.4.4

Приравняем $x^{2} + 3 x + 39$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Приравняем $x^{2} + 3 x + 39$ к $0$ .

$x^{2} + 3 x + 39 = 0$

Этап 5.4.4.2

Решим $x^{2} + 3 x + 39 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.4.4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 3$ и $c = 39$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 39)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 39$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $39$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.3.1.3

Вычтем $156$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.3.1.4

Перепишем $- 147$ в виде $- 1 (147)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (147)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.3.1.7

Перепишем $147$ в виде $7^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $49$ из $147$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.3.1.7.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.3.1.9

Перенесем $7$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.4.4.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.4.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 39$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $39$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.4.1.3

Вычтем $156$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.4.1.4

Перепишем $- 147$ в виде $- 1 (147)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (147)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.4.1.7

Перепишем $147$ в виде $7^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $49$ из $147$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.4.1.7.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.4.1.9

Перенесем $7$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.4.4.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.4.4.2.4.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.4.4.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $7 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 7 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 5.4.4.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (- 7 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 7 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 5.4.4.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.4.4.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.5.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 39$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $39$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.5.1.3

Вычтем $156$ из $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.5.1.4

Перепишем $- 147$ в виде $- 1 (147)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (147)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.5.1.7

Перепишем $147$ в виде $7^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $49$ из $147$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.5.1.7.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.5.1.9

Перенесем $7$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.4.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.4.4.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.4.4.2.5.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.4.4.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 7 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (7 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 5.4.4.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (7 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 7 i \sqrt{3})}{2}$

Этап 5.4.4.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.4.4.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x - 13) (x^{2} + 3 x + 39) = 0$ верно.

$x = 13, - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{1014}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 13$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 13$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2028}{{(13)}^{3}} + 2$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $13$ в степень $3$ .

$\frac{2028}{2197} + 2$

Этап 9.1.2

Сократим общий множитель $2028$ и $2197$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вынесем множитель $169$ из $2028$ .

$\frac{169 (12)}{2197} + 2$

Этап 9.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.2.1

Вынесем множитель $169$ из $2197$ .

$\frac{169 \cdot 12}{169 \cdot 13} + 2$

Этап 9.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{169 \cdot 12}{169 \cdot 13} + 2$

Этап 9.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{12}{13} + 2$

Этап 9.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{13}{13}$ .

$\frac{12}{13} + 2 \cdot \frac{13}{13}$

Этап 9.3

Объединим $2$ и $\frac{13}{13}$ .

$\frac{12}{13} + \frac{2 \cdot 13}{13}$

Этап 9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{12 + 2 \cdot 13}{13}$

Этап 9.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Умножим $2$ на $13$ .

$\frac{12 + 26}{13}$

Этап 9.5.2

Добавим $12$ и $26$ .

$\frac{38}{13}$

Этап 10

$x = 13$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 13$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $13$ .

$f (13) = {(13)}^{2} - 20 \cdot 13 + 110 + \frac{1014}{13}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $13$ в степень $2$ .

$f (13) = 169 - 20 \cdot 13 + 110 + \frac{1014}{13}$

Этап 11.2.1.2

Умножим $- 20$ на $13$ .

$f (13) = 169 - 260 + 110 + \frac{1014}{13}$

Этап 11.2.1.3

Разделим $1014$ на $13$ .

$f (13) = 169 - 260 + 110 + 78$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $260$ из $169$ .

$f (13) = - 91 + 110 + 78$

Этап 11.2.2.2

Добавим $- 91$ и $110$ .

$f (13) = 19 + 78$

Этап 11.2.2.3

Добавим $19$ и $78$ .

$f (13) = 97$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $97$ .

$y = 97$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{2} - 20 x + 110 + \frac{1014}{x}$ .

$(13, 97)$ — локальный минимум

Этап 13