Математический анализ Примеры

$f (x) = x e^{k x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{k x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{k x}] + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = k x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $k x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $k x$ .

$x (e^{k x} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $k$ является константой относительно $x$ , производная $k x$ по $x$ равна $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{k x} (k \frac{d}{d x} [x])) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Умножим $k$ на $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \cdot 1$

Этап 1.3.5

Умножим $e^{k x}$ на $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок членов.

$e^{k x} k x + e^{k x}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок множителей в $e^{k x} k x + e^{k x}$ .

$k x e^{k x} + e^{k x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $k x e^{k x} + e^{k x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [k x e^{k x}] + \frac{d}{d x} [e^{k x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (k x e^{k x}) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [k x e^{k x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $k$ является константой относительно $x$ , производная $k x e^{k x}$ по $x$ равна $k \frac{d}{d x} [x e^{k x}]$ .

$f'' (x) = k \frac{d}{d x} (x e^{k x}) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = k (x \frac{d}{d x} (e^{k x}) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $k x$ .

$f'' (x) = k (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (k x)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = k (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (k x)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $k x$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} \frac{d}{d x} (k x)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Этап 2.2.4

Поскольку $k$ является константой относительно $x$ , производная $k x$ по $x$ равна $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} (k \frac{d}{d x} (x))) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Этап 2.2.7

Умножим $k$ на $1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Этап 2.2.8

Умножим $e^{k x}$ на $1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{k x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $k x$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (k x)$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (k x)$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $k x$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} \frac{d}{d x} (k x)$

Этап 2.3.2

Поскольку $k$ является константой относительно $x$ , производная $k x$ по $x$ равна $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} (k \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} (k \cdot 1)$

Этап 2.3.4

Умножим $k$ на $1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} k$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k)) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возведем $k$ в степень $1$ .

$f'' (x) = k \cdot k (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Этап 2.4.2.2

Возведем $k$ в степень $1$ .

$f'' (x) = k \cdot k (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Этап 2.4.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = k^{1 + 1} (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Этап 2.4.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = k^{2} (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

Этап 2.4.2.5

Добавим $k e^{k x}$ и $e^{k x} k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1

Изменим порядок $e^{k x}$ и $k$ .

$f'' (x) = k^{2} (x (e^{k x})) + k e^{k x} + k e^{k x}$

Этап 2.4.2.5.2

Добавим $k e^{k x}$ и $k e^{k x}$ .

$f'' (x) = k^{2} (x (e^{k x})) + 2 k e^{k x}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = e^{k x} k^{2} x + 2 e^{k x} k$

Этап 2.4.4

Изменим порядок множителей в $e^{k x} k^{2} x + 2 e^{k x} k$ .

$f'' (x) = k^{2} x e^{k x} + 2 k e^{k x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$k x e^{k x} + e^{k x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{k x}] + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $k x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.2

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $k x$ .

$x (e^{k x} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $k$ является константой относительно $x$ , производная $k x$ по $x$ равна $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{k x} (k \frac{d}{d x} [x])) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $k$ на $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \cdot 1$

Этап 4.1.3.5

Умножим $e^{k x}$ на $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Изменим порядок членов.

$e^{k x} k x + e^{k x}$

Этап 4.1.4.2

Изменим порядок множителей в $e^{k x} k x + e^{k x}$ .

$f' (x) = k x e^{k x} + e^{k x}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $k x e^{k x} + e^{k x}$ .

$k x e^{k x} + e^{k x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $k x e^{k x} + e^{k x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$k x e^{k x} + e^{k x} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $e^{k x}$ из $k x e^{k x} + e^{k x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $e^{k x}$ из $k x e^{k x}$ .

$e^{k x} (k x) + e^{k x} = 0$

Этап 5.2.2

Умножим на $1$ .

$e^{k x} (k x) + e^{k x} \cdot 1 = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $e^{k x}$ из $e^{k x} (k x) + e^{k x} \cdot 1$ .

$e^{k x} (k x + 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{k x} = 0$

$k x + 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $e^{k x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $e^{k x}$ к $0$ .

$e^{k x} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $e^{k x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{k x}) = \ln (0)$

Этап 5.4.2.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Развернем $\ln (e^{k x})$ , вынося $k x$ из логарифма.

$k x \ln (e) = \ln (0)$

Этап 5.4.2.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$k x \cdot 1 = \ln (0)$

Этап 5.4.2.2.3

Умножим $k$ на $1$ .

$k x = \ln (0)$

Этап 5.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.4.2.4

Разделим каждый член $k x = Undefined$ на $k$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.4.1

Разделим каждый член $k x = Undefined$ на $k$ .

$\frac{k x}{k} = \frac{Undefined}{k}$

Этап 5.4.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.4.2.1

Сократим общий множитель $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{k x}{k} = \frac{Undefined}{k}$

Этап 5.4.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{Undefined}{k}$

Этап 5.5

Приравняем $k x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $k x + 1$ к $0$ .

$k x + 1 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $k x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$k x = - 1$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $k x = - 1$ на $k$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $k x = - 1$ на $k$ .

$\frac{k x}{k} = \frac{- 1}{k}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{k x}{k} = \frac{- 1}{k}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{k}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{k}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{k x} (k x + 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{k}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{1}{k}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{1}{k}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$k^{2} (- \frac{1}{k}) e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- k^{2} \frac{1}{k} e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Этап 9.1.2

Сократим общий множитель $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вынесем множитель $k$ из $- k^{2}$ .

$k (- k) \frac{1}{k} e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Этап 9.1.2.2

Сократим общий множитель.

$k (- k) \frac{1}{k} e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Этап 9.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- k e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Этап 9.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- k e^{- k \frac{1}{k}} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Этап 9.1.4

Сократим общий множитель $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Вынесем множитель $k$ из $- k$ .

$- k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Этап 9.1.4.2

Сократим общий множитель.

$- k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Этап 9.1.4.3

Перепишем это выражение.

$- k e^{- 1} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Этап 9.1.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- k \frac{1}{e} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Этап 9.1.6

Объединим $\frac{1}{e}$ и $k$ .

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

Этап 9.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{- k \frac{1}{k}}$

Этап 9.1.8

Сократим общий множитель $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.8.1

Вынесем множитель $k$ из $- k$ .

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}}$

Этап 9.1.8.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}}$

Этап 9.1.8.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{- 1}$

Этап 9.1.9

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{k}{e} + 2 k \frac{1}{e}$

Этап 9.1.10

Умножим $2 k \frac{1}{e}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.10.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{k}{e} + k \frac{2}{e}$

Этап 9.1.10.2

Объединим $k$ и $\frac{2}{e}$ .

$- \frac{k}{e} + \frac{k \cdot 2}{e}$

Этап 9.1.11

Перенесем $2$ влево от $k$ .

$- \frac{k}{e} + \frac{2 k}{e}$

Этап 9.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- k + 2 k}{e}$

Этап 9.2.2

Добавим $- k$ и $2 k$ .

$\frac{k}{e}$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, \infty)$ в первую производную $k x e^{k x} + e^{k x}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = k (0) \cdot e^{k (0)} + e^{k (0)}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Умножим $k$ на $0$ .

$f' (0) = 0 \cdot e^{k (0)} + e^{k (0)}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $k$ на $0$ .

$f' (0) = 0 \cdot e^{0} + e^{k (0)}$

Этап 10.2.2.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{k (0)}$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $0$ на $1$ .

$f' (0) = 0 + e^{k (0)}$

Этап 10.2.2.1.5

Умножим $k$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + e^{0}$

Этап 10.2.2.1.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Этап 10.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f' (0) = 1$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 10.3

Локальный минимум или минимум для $f (x) = x e^{k x}$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 11