Математический анализ Примеры

$f (x) = x e^{x + y}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x + y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x + y}] + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$x (e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x (e^{x + y} \cdot 1) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.4.2

Умножим $e^{x + y}$ на $1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1$

Этап 1.3.6

Умножим $e^{x + y}$ на $1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x e^{x + y} + e^{x + y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x + y}) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x e^{x + y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x + y}) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x + y$ .

$f'' (x) = x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (x + y)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (x + y)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + y$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} \frac{d}{d x} (x + y)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Этап 2.2.3

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y))) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} (y))) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Этап 2.2.5

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Этап 2.2.7

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = x (e^{x + y} \cdot 1) + e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Этап 2.2.8

Умножим $e^{x + y}$ на $1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Этап 2.2.9

Умножим $e^{x + y}$ на $1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + y$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (x + y)$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (x + y)$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + y$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} \frac{d}{d x} (x + y)$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y))$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} (y))$

Этап 2.3.4

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} (1 + 0)$

Этап 2.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1$

Этап 2.3.6

Умножим $e^{x + y}$ на $1$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y} + e^{x + y}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $e^{x + y}$ и $e^{x + y}$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + 2 e^{x + y}$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = e^{x + y} x + 2 e^{x + y}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $e^{x + y} x + 2 e^{x + y}$ .

$f'' (x) = x e^{x + y} + 2 e^{x + y}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x e^{x + y} + e^{x + y} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{x + y}] + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.2

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$x (e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.3

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (e^{x + y} (1 + 0)) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x (e^{x + y} \cdot 1) + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.4.2

Умножим $e^{x + y}$ на $1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} \cdot 1$

Этап 4.1.3.6

Умножим $e^{x + y}$ на $1$ .

$f' (x) = x e^{x + y} + e^{x + y}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x e^{x + y} + e^{x + y}$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x e^{x + y} + e^{x + y} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x e^{x + y} + e^{x + y} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $e^{x + y}$ из $x e^{x + y} + e^{x + y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $e^{x + y}$ из $x e^{x + y}$ .

$e^{x + y} x + e^{x + y} = 0$

Этап 5.2.2

Умножим на $1$ .

$e^{x + y} x + e^{x + y} \cdot 1 = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $e^{x + y}$ из $e^{x + y} x + e^{x + y} \cdot 1$ .

$e^{x + y} (x + 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x + y} = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $e^{x + y}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $e^{x + y}$ к $0$ .

$e^{x + y} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $e^{x + y} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (0)$

Этап 5.4.2.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Развернем $\ln (e^{x + y})$ , вынося $x + y$ из логарифма.

$(x + y) \ln (e) = \ln (0)$

Этап 5.4.2.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (0)$

Этап 5.4.2.2.3

Умножим $x + y$ на $1$ .

$x + y = \ln (0)$

Этап 5.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.4.2.4

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x = Undefined - y$

Этап 5.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x + y} (x + 1) = 0$ верно.

$x = - 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$(- 1) e^{(- 1) + y} + 2 e^{(- 1) + y}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $- 1 e^{- 1 + y}$ в виде $- e^{- 1 + y}$ .

$- e^{- 1 + y} + 2 e^{- 1 + y}$

Этап 9.2

Добавим $- e^{- 1 + y}$ и $2 e^{- 1 + y}$ .

$e^{- 1 + y}$

Этап 10

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 11