Математический анализ Примеры

$f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ .

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $0.3$ является константой относительно $x$ , производная $0.3 x^{1.25}$ по $x$ равна $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ .

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1.25$ .

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Этап 1.2.3

Умножим $1.25$ на $0.3$ .

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1.5$ является константой относительно $x$ , производная $- 1.5 x$ по $x$ равна $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1.5$ на $1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $88.6$ является константой относительно $x$ , производная $88.6$ относительно $x$ равна $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $0.375 x^{0.25} - 1.5$ и $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $0.375 x^{0.25} - 1.5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (0.375 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $0.375$ является константой относительно $x$ , производная $0.375 x^{0.25}$ по $x$ равна $0.375 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$f'' (x) = 0.375 \frac{d}{d x} (x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 0.25$ .

$f'' (x) = 0.375 (0.25 x^{- 0.75}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Этап 2.2.3

Умножим $0.25$ на $0.375$ .

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Этап 2.3

Поскольку $- 1.5$ является константой относительно $x$ , производная $- 1.5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0.09375 (\frac{1}{x^{0.75}}) + 0$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $0.09375$ и $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}} + 0$

Этап 2.4.2.2

Добавим $\frac{0.09375}{x^{0.75}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ .

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $0.3$ является константой относительно $x$ , производная $0.3 x^{1.25}$ по $x$ равна $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ .

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1.25$ .

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $1.25$ на $0.3$ .

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1.5$ является константой относительно $x$ , производная $- 1.5 x$ по $x$ равна $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 1.5$ на $1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $88.6$ является константой относительно $x$ , производная $88.6$ относительно $x$ равна $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $0.375 x^{0.25} - 1.5$ и $0$ .

$f' (x) = 0.375 x^{0.25} - 1.5$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $0.375 x^{0.25} - 1.5$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

Этап 5.2

Добавим $1.5$ к обеим частям уравнения.

$0.375 x^{0.25} = 1.5$

Этап 5.3

Разделим каждый член $0.375 x^{0.25} = 1.5$ на $0.375$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $0.375 x^{0.25} = 1.5$ на $0.375$ .

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $0.375$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x^{0.25}$ на $1$ .

$x^{0.25} = \frac{1.5}{0.375}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $1.5$ на $0.375$ .

$x^{0.25} = 4$

Этап 5.4

Преобразуем десятичный показатель в дробный показатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Преобразуем десятичное число в дробь, помещая десятичное число над чертой, а под чертой — десять в некоторой степени. Поскольку справа от десятичной запятой $2$ цифр, поместим десятичное число над $10^{2}$ $(100)$ . Затем добавим целую часть числа слева от десятичной дроби.

$x^{0 \frac{25}{100}} = 4$

Этап 5.4.2

Сократим дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Преобразуем $0 \frac{25}{100}$ в неправильную дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Смешанное число представляет собой сумму своих целой и дробной частей.

$x^{0 + \frac{25}{100}} = 4$

Этап 5.4.2.1.2

Добавим $0$ и $\frac{25}{100}$ .

$x^{\frac{25}{100}} = 4$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $25$ и $100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$x^{\frac{25 (1)}{100}} = 4$

Этап 5.4.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $100$ .

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

Этап 5.4.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

Этап 5.4.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{4}} = 4$

Этап 5.5

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{1}{0.25}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Этап 5.6

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Этап 5.6.1.1.1.2

Сократим общий множитель $0.25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1.1.2.1

Вынесем множитель $0.25$ из $1$ .

$x^{\frac{0.25 (4)}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Этап 5.6.1.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{0.25 \cdot 4}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Этап 5.6.1.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{4}{4}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Этап 5.6.1.1.1.3

Разделим $4$ на $4$ .

$x^{1} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Этап 5.6.1.1.2

Упростим.

$x = 4^{\frac{1}{0.25}}$

Этап 5.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Упростим $4^{\frac{1}{0.25}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Разделим $1$ на $0.25$ .

$x = 4^{4}$

Этап 5.6.2.1.2

Возведем $4$ в степень $4$ .

$x = 256$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Переведем $0.25$ в дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Умножим на $\frac{100}{100}$ ,чтобы избавиться от знаков после запятой.

$0.375 x^{\frac{100 \cdot 0.25}{100}} - 1.5$

Этап 6.1.1.2

Умножим $100$ на $0.25$ .

$0.375 x^{\frac{25}{100}} - 1.5$

Этап 6.1.1.3

Сократим общий множитель $25$ и $100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$0.375 x^{\frac{25 (1)}{100}} - 1.5$

Этап 6.1.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Вынесем множитель $25$ из $100$ .

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

Этап 6.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

Этап 6.1.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$0.375 x^{\frac{1}{4}} - 1.5$

Этап 6.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$0.375 \sqrt[4]{x^{1}} - 1.5$

Этап 6.1.3

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$0.375 \sqrt[4]{x} - 1.5$

Этап 6.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt[4]{x}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x < 0$

Этап 6.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 256$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 256$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{0.09375}{{(256)}^{0.75}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возведем $256$ в степень $0.75$ .

$\frac{0.09375}{64}$

Этап 9.2

Разделим $0.09375$ на $64$ .

$0.00146484$

Этап 10

$x = 256$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 256$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $256$ .

$f (256) = 0.3 {(256)}^{1.25} - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $256$ в степень $1.25$ .

$f (256) = 0.3 \cdot 1024 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Этап 11.2.1.2

Умножим $0.3$ на $1024$ .

$f (256) = 307.2 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

Этап 11.2.1.3

Умножим $- 1.5$ на $256$ .

$f (256) = 307.2 - 384 + 88.6$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $384$ из $307.2$ .

$f (256) = - 76.8 + 88.6$

Этап 11.2.2.2

Добавим $- 76.8$ и $88.6$ .

$f (256) = 11.8$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $11.8$ .

$y = 11.8$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ .

$(256, 11.8)$ — локальный минимум

Этап 13