Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 24}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = x^{2} + 24$ .

$\frac{(x^{2} + 24) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 24) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 24) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} + 24) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} + 24) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.2.4.2

Умножим $x^{2} + 24$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.2.5

По правилу суммы производная $x^{2} + 24$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24])}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [24])}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.2.7

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 24 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 24 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 24 - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 24 = - 24$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x$ .

$\frac{- x^{2} - 2 (x) + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.2

Запишем $- 2$ как $4$ плюс $- 6$

$\frac{- x^{2} + (4 - 6) x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.3.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- x^{2} + 4 x) - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.3.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (- x + 4) + 6 (- x + 4)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.3.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 4$ .

$\frac{(- x + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{(- (x) + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.3.7

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 4)) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.3.9

Перепишем $- (x - 4)$ в виде $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 1.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 4) (x + 6)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{({(x^{2} + 24)}^{2})}^{2}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 24)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 4) (x + 6)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{2 \cdot 2}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 4) (x + 6)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) \frac{d}{d x} (x + 6) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (6)) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) (1 + 0) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) \cdot 1 + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.4.2

Умножим $x - 4$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.5

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.7

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) (1 + 0)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) \cdot 1) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.8.2

Умножим $x + 6$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + x + 6) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x - 4 + 6) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.8.4

Добавим $- 4$ и $6$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 24$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 24$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) (2 (x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 24$ из ${(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 24$ из ${(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2)) - 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.7.2.2

Вынесем множитель $x^{2} + 24$ из $- 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24])$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2)) + (x^{2} + 24) (- 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24)))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.7.2.3

Вынесем множитель $x^{2} + 24$ из $(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2)) + (x^{2} + 24) (- 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 24]))$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24)))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вынесем множитель $x^{2} + 24$ из ${(x^{2} + 24)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24)))}{(x^{2} + 24) {(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.8.2

Сократим общий множитель.

Этап 2.8.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.9

По правилу суммы производная $x^{2} + 24$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (2 x + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.11

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (2 x)}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.12.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.13

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot 0$

Этап 2.14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Умножим $\frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$ на $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + 0$

Этап 2.14.2

Добавим $- \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1.1

Развернем $(x^{2} + 24) (2 x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x + 2) + 24 (2 x + 2) + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x + 2) + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1.2.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.2.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1.2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.2.3

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.2.4

Умножим $2$ на $24$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.2.5

Умножим $24$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x + 16) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.4

Развернем $(- 4 x + 16) (x + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x (x + 6) + 16 (x + 6)) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 6 + 16 (x + 6)) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 6 + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1.5.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 6 + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.5.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 4 x \cdot 6 + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.5.1.2

Умножим $6$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 24 x + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.5.1.3

Умножим $16$ на $6$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 24 x + 16 x + 96) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.5.2

Добавим $- 24 x$ и $16 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 8 x + 96) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{2} x - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1.7.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1.7.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 (x \cdot x^{2}) - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.7.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1.7.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 (x \cdot x^{2}) - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{1 + 2} - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.7.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{3} - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.7.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1.7.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{3} - 8 (x \cdot x) + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.1.7.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.2

Вычтем $4 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 8 x^{2} + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.3

Вычтем $8 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 48 x + 48 + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.2.4

Добавим $48 x$ и $96 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 144 x + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 144 x + 48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) - 6 x^{2} + 144 x + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 144 x + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.3.3

Вынесем множитель $2$ из $144 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (72 x) + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.3.4

Вынесем множитель $2$ из $48$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (72 x) + 2 (24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (72 x) + 2 (24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.3.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (72 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 72 x) + 2 (24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.3.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 72 x) + 2 (24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - 3 x^{2} + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - (3 x^{2}) + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.7

Вынесем множитель $- 1$ из $72 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 72 x) + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 72 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x) + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.9

Перепишем $24$ в виде $- 1 (- 24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x) - 1 \cdot - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x) - 1 (- 24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.11

Перепишем $- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)$ в виде $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 2.15.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}})$

Этап 2.15.14

Умножим $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $x^{2} + 24$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.2.5

По правилу суммы производная $x^{2} + 24$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.2.7

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 x \cdot x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.3.3.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.3.3.2

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 24 - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.3.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 2 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 2 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.2

Запишем $- 2$ как $4$ плюс $- 6$

$f' (x) = \frac{- x^{2} + (4 - 6) x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f' (x) = \frac{(- x^{2} + 4 x) - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f' (x) = \frac{x (- x + 4) + 6 (- x + 4)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 4$ .

$f' (x) = \frac{(- x + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.3.7

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) - 1 \cdot - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{- (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.3.9

Перепишем $- (x - 4)$ в виде $- 1 (x - 4)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.1.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$ .

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$(x - 4) (x + 6) = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 5.3.2

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 5.3.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5.3.3

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 5.3.3.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 5.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 6) = 0$ верно.

$x = 4, - 6$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 4, - 6$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2 ({(4)}^{3} + 3 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 - 24)}{{({(4)}^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{2 (64 + 3 \cdot 4^{2} - 72 \cdot 4 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 9.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{2 (64 + 3 \cdot 16 - 72 \cdot 4 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 9.1.3

Умножим $3$ на $16$ .

$\frac{2 (64 + 48 - 72 \cdot 4 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 9.1.4

Умножим $- 72$ на $4$ .

$\frac{2 (64 + 48 - 288 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 9.1.5

Добавим $64$ и $48$ .

$\frac{2 (112 - 288 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 9.1.6

Вычтем $288$ из $112$ .

$\frac{2 (- 176 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 9.1.7

Вычтем $24$ из $- 176$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{{(16 + 24)}^{3}}$

Этап 9.2.2

Добавим $16$ и $24$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{40^{3}}$

Этап 9.2.3

Возведем $40$ в степень $3$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{64000}$

Этап 9.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $2$ на $- 200$ .

$\frac{- 400}{64000}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $- 400$ и $64000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $400$ из $- 400$ .

$\frac{400 (- 1)}{64000}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $400$ из $64000$ .

$\frac{400 \cdot - 1}{400 \cdot 160}$

Этап 9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{400 \cdot - 1}{400 \cdot 160}$

Этап 9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{160}$

Этап 9.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{160}$

Этап 10

$x = 4$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 4$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = \frac{(4) + 1}{{(4)}^{2} + 24}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $4$ и $1$ .

$f (4) = \frac{5}{4^{2} + 24}$

Этап 11.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (4) = \frac{5}{16 + 24}$

Этап 11.2.2.2

Добавим $16$ и $24$ .

$f (4) = \frac{5}{40}$

Этап 11.2.3

Сократим общий множитель $5$ и $40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$f (4) = \frac{5 (1)}{40}$

Этап 11.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $40$ .

$f (4) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 8}$

Этап 11.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (4) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 8}$

Этап 11.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (4) = \frac{1}{8}$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{1}{8}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 6$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2 ({(- 6)}^{3} + 3 {(- 6)}^{2} - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$\frac{2 (- 216 + 3 {(- 6)}^{2} - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 13.1.2

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$\frac{2 (- 216 + 3 \cdot 36 - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 13.1.3

Умножим $3$ на $36$ .

$\frac{2 (- 216 + 108 - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 13.1.4

Умножим $- 72$ на $- 6$ .

$\frac{2 (- 216 + 108 + 432 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 13.1.5

Добавим $- 216$ и $108$ .

$\frac{2 (- 108 + 432 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 13.1.6

Добавим $- 108$ и $432$ .

$\frac{2 (324 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 13.1.7

Вычтем $24$ из $324$ .

$\frac{2 \cdot 300}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$\frac{2 \cdot 300}{{(36 + 24)}^{3}}$

Этап 13.2.2

Добавим $36$ и $24$ .

$\frac{2 \cdot 300}{60^{3}}$

Этап 13.2.3

Возведем $60$ в степень $3$ .

$\frac{2 \cdot 300}{216000}$

Этап 13.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим $2$ на $300$ .

$\frac{600}{216000}$

Этап 13.3.2

Сократим общий множитель $600$ и $216000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.2.1

Вынесем множитель $600$ из $600$ .

$\frac{600 (1)}{216000}$

Этап 13.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.2.2.1

Вынесем множитель $600$ из $216000$ .

$\frac{600 \cdot 1}{600 \cdot 360}$

Этап 13.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{600 \cdot 1}{600 \cdot 360}$

Этап 13.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{360}$

Этап 14

$x = - 6$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 6$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f (- 6) = \frac{(- 6) + 1}{{(- 6)}^{2} + 24}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Добавим $- 6$ и $1$ .

$f (- 6) = \frac{- 5}{{(- 6)}^{2} + 24}$

Этап 15.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f (- 6) = \frac{- 5}{36 + 24}$

Этап 15.2.2.2

Добавим $36$ и $24$ .

$f (- 6) = \frac{- 5}{60}$

Этап 15.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Сократим общий множитель $- 5$ и $60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$f (- 6) = \frac{5 (- 1)}{60}$

Этап 15.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $60$ .

$f (- 6) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 12}$

Этап 15.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 6) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 12}$

Этап 15.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 6) = \frac{- 1}{12}$

Этап 15.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 6) = - \frac{1}{12}$

Этап 15.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{1}{12}$ .

$y = - \frac{1}{12}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 24}$ .

$(4, \frac{1}{8})$ — локальный максимум

$(- 6, - \frac{1}{12})$ — локальный минимум

Этап 17