Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos (\tan (3 x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \tan (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Этап 1.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (3 x)$ .

$- \sin (\tan (3 x)) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$- \sin (\tan (3 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$- \sin (\tan (3 x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$- \sin (\tan (3 x)) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\tan (3 x)) \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 \sin (\tan (3 x)) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \sin (\tan (3 x)) \sec^{2} (3 x) \cdot 1$

Этап 3.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3 \sin (\tan (3 x)) \sec^{2} (3 x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок множителей в $- 3 \sin (\tan (3 x)) \sec^{2} (3 x)$ .

$- 3 \sec^{2} (3 x) \sin (\tan (3 x))$

Этап 4.2

Выразим $\sec (3 x)$ через синусы и косинусы.

$- 3 {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2} \sin (\tan (3 x))$

Этап 4.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$- 3 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)} \sin (\tan (3 x))$

Этап 4.4

Единица в любой степени равна единице.

$- 3 \frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \sin (\tan (3 x))$

Этап 4.5

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{\cos^{2} (3 x)}$ .

$\frac{- 3}{\cos^{2} (3 x)} \sin (\tan (3 x))$

Этап 4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{\cos^{2} (3 x)} \sin (\tan (3 x))$

Этап 4.7

Объединим $\sin (\tan (3 x))$ и $\frac{3}{\cos^{2} (3 x)}$ .

$- \frac{\sin (\tan (3 x)) \cdot 3}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 4.8

Перенесем $3$ влево от $\sin (\tan (3 x))$ .

$- \frac{3 \cdot \sin (\tan (3 x))}{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 4.9

Вынесем множитель $\cos (3 x)$ из $\cos^{2} (3 x)$ .

$- \frac{3 \sin (\tan (3 x))}{\cos (3 x) \cos (3 x)}$

Этап 4.10

Разделим дроби.

$- (\frac{3}{\cos (3 x)} \cdot \frac{\sin (\tan (3 x))}{\cos (3 x)})$

Этап 4.11

Перепишем $\frac{\sin (\tan (3 x))}{\cos (3 x)}$ в виде произведения.

$- (\frac{3}{\cos (3 x)} (\sin (\tan (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)}))$

Этап 4.12

Запишем $\sin (\tan (3 x))$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- (\frac{3}{\cos (3 x)} (\frac{\sin (\tan (3 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)}))$

Этап 4.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Разделим $\sin (\tan (3 x))$ на $1$ .

$- (\frac{3}{\cos (3 x)} (\sin (\tan (3 x)) \frac{1}{\cos (3 x)}))$

Этап 4.13.2

Переведем $\frac{1}{\cos (3 x)}$ в $\sec (3 x)$ .

$- (\frac{3}{\cos (3 x)} (\sin (\tan (3 x)) \sec (3 x)))$

Этап 4.14

Разделим дроби.

$- (\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)} (\sin (\tan (3 x)) \sec (3 x)))$

Этап 4.15

Переведем $\frac{1}{\cos (3 x)}$ в $\sec (3 x)$ .

$- (\frac{3}{1} \sec (3 x) (\sin (\tan (3 x)) \sec (3 x)))$

Этап 4.16

Разделим $3$ на $1$ .

$- (3 \sec (3 x) (\sin (\tan (3 x)) \sec (3 x)))$

Этап 4.17

Умножим $3 \sec (3 x) (\sin (\tan (3 x)) \sec (3 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Возведем $\sec (3 x)$ в степень $1$ .

$- (3 (\sec^{1} (3 x) \sec (3 x)) \sin (\tan (3 x)))$

Этап 4.17.2

Возведем $\sec (3 x)$ в степень $1$ .

$- (3 (\sec^{1} (3 x) \sec^{1} (3 x)) \sin (\tan (3 x)))$

Этап 4.17.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- (3 {\sec (3 x)}^{1 + 1} \sin (\tan (3 x)))$

Этап 4.17.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- (3 \sec^{2} (3 x) \sin (\tan (3 x)))$

Этап 4.18

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 \sec^{2} (3 x) \sin (\tan (3 x))$