Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = - x - 2$ и $g (x) = {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 2] - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.2

По правилу суммы производная $- x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 u \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.7

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.9

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.11

Добавим $- 1$ и $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.12

Перенесем $- 1$ влево от ${(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.13

Перепишем $- 1 {(x - 5)}^{2}$ в виде $- {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.14

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) \cdot 1)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.15

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.16

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.17

Перемножим экспоненты в ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.17.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.17.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.18

Вынесем множитель $x - 5$ из $- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.1

Вынесем множитель $x - 5$ из $- {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.18.2

Вынесем множитель $x - 5$ из $- 2 (- x - 2) (x - 5)$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.18.3

Вынесем множитель $x - 5$ из $(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.19

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.19.1

Вынесем множитель $x - 5$ из ${(x - 5)}^{4}$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.19.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.2.19.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 1.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Этап 1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{- x + 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Этап 1.4.3.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Этап 1.4.3.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Этап 1.4.3.4

Добавим $- x$ и $2 x$ .

$\frac{x + 5 + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Этап 1.4.3.5

Добавим $5$ и $4$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Этап 1.4.3.6

Добавим $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ и $0$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{({(x - 5)}^{3})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 5)}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{3 \cdot 2}}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (9)) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Этап 2.2.4

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Этап 2.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Этап 2.2.5.2

Умножим ${(x - 5)}^{3}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) (3 {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Этап 2.4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Этап 2.4.2

Вынесем множитель ${(x - 5)}^{2}$ из ${(x - 5)}^{3} - 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель ${(x - 5)}^{2}$ из ${(x - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5) - 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

Этап 2.4.2.2

Вынесем множитель ${(x - 5)}^{2}$ из $- 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (- 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{6}}$

Этап 2.4.2.3

Вынесем множитель ${(x - 5)}^{2}$ из ${(x - 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (- 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} [x - 5]))$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{6}}$

Этап 2.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель ${(x - 5)}^{2}$ из ${(x - 5)}^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{2} {(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.5.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{2} {(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.5.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.6

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.8

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) \cdot 1}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.9.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9)}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 x - 3 \cdot 9}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.10.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Умножим $- 3$ на $9$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 x - 27}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.10.2.2

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x - 5 - 27}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.10.2.3

Вычтем $27$ из $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x - 32}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.10.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x - 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x) - 32}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.10.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x) + 2 (- 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.10.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (- 16)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.10.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.10.5

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.10.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (16)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 16))}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.10.7

Перепишем $- (x + 16)$ в виде $- 1 (x + 16)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 16))}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 2.10.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$\frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 2] - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.2

По правилу суммы производная $- x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 u \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.7

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.9

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.11

Добавим $- 1$ и $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.12

Перенесем $- 1$ влево от ${(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.13

Перепишем $- 1 {(x - 5)}^{2}$ в виде $- {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.14

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) \cdot 1)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.15

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.16

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.17

Перемножим экспоненты в ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.17.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.17.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.18

Вынесем множитель $x - 5$ из $- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.18.1

Вынесем множитель $x - 5$ из $- {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.18.2

Вынесем множитель $x - 5$ из $- 2 (- x - 2) (x - 5)$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.18.3

Вынесем множитель $x - 5$ из $(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.19

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.19.1

Вынесем множитель $x - 5$ из ${(x - 5)}^{4}$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.19.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.2.19.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Этап 4.1.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Этап 4.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Этап 4.1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{- x + 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Этап 4.1.4.3.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Этап 4.1.4.3.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Этап 4.1.4.3.4

Добавим $- x$ и $2 x$ .

$\frac{x + 5 + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Этап 4.1.4.3.5

Добавим $5$ и $4$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

Этап 4.1.4.3.6

Добавим $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$x + 9 = 0$

Этап 5.3

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = - 9$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 5)}^{3} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 6.2.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 9$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 9$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2 ((- 9) + 16)}{{((- 9) - 5)}^{4}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $- 9$ и $16$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{{(- 9 - 5)}^{4}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $5$ из $- 9$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{{(- 14)}^{4}}$

Этап 9.2.2

Возведем $- 14$ в степень $4$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{38416}$

Этап 9.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $2$ на $7$ .

$- \frac{14}{38416}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $14$ и $38416$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $14$ из $14$ .

$- \frac{14 (1)}{38416}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $14$ из $38416$ .

$- \frac{14 \cdot 1}{14 \cdot 2744}$

Этап 9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{14 \cdot 1}{14 \cdot 2744}$

Этап 9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2744}$

Этап 10

$x = - 9$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 9$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{- (- 9) - 2}{{((- 9) - 5)}^{2}} + 9$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{9 - 2}{{((- 9) - 5)}^{2}} + 9$

Этап 11.2.1.2

Вычтем $2$ из $9$ .

$f (- 9) = \frac{7}{{((- 9) - 5)}^{2}} + 9$

Этап 11.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Вычтем $5$ из $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{7}{{(- 14)}^{2}} + 9$

Этап 11.2.2.1.2

Возведем $- 14$ в степень $2$ .

$f (- 9) = \frac{7}{196} + 9$

Этап 11.2.2.2

Сократим общий множитель $7$ и $196$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$f (- 9) = \frac{7 (1)}{196} + 9$

Этап 11.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $7$ из $196$ .

$f (- 9) = \frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 28} + 9$

Этап 11.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 9) = \frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 28} + 9$

Этап 11.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 9) = \frac{1}{28} + 9$

Этап 11.2.3

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{28}{28}$ .

$f (- 9) = \frac{1}{28} + 9 \cdot \frac{28}{28}$

Этап 11.2.4

Объединим $9$ и $\frac{28}{28}$ .

$f (- 9) = \frac{1}{28} + \frac{9 \cdot 28}{28}$

Этап 11.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 9) = \frac{1 + 9 \cdot 28}{28}$

Этап 11.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1

Умножим $9$ на $28$ .

$f (- 9) = \frac{1 + 252}{28}$

Этап 11.2.6.2

Добавим $1$ и $252$ .

$f (- 9) = \frac{253}{28}$

Этап 11.2.7

Окончательный ответ: $\frac{253}{28}$ .

$y = \frac{253}{28}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$ .

$(- 9, \frac{253}{28})$ — локальный максимум

Этап 13