Математический анализ Примеры

$f (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{98}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{98}}] + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - \frac{x^{2}}{98}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{x^{2}}{98}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{98}]) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{98}]) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{x^{2}}{98}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{98}]) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- \frac{1}{98}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{2}}{98}$ по $x$ равна $- \frac{1}{98} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (- \frac{1}{98} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Объединим $e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ и $\frac{1}{98}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{98} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{98}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{98} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{98} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{98} x + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{98}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{98}})}{98} x + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.4.3

Объединим $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{98}})}{98}$ и $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{98}}) x}{98} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{98}})}{98} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{98}})}{98} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{98}})}{98} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}})}{98} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $98$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}})}{98} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $98$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}})}{2 (49)} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}})}{2 \cdot 49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \cdot 1$

Этап 1.9

Умножим $e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ на $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49}] + \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{98}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- \frac{1}{49}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49}$ по $x$ равна $- \frac{1}{49} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}}) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- \frac{x^{2}}{98}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{98})) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{98})) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- \frac{x^{2}}{98}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{98})) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.4

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (- \frac{1}{98} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (- \frac{1}{98} \cdot (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (- \frac{1}{98} \cdot (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (- 2 (\frac{1}{98}) \cdot x)) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.8

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{98}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (\frac{- 2}{98} x)) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.9

Объединим $\frac{- 2}{98}$ и $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (\frac{- 2 x}{98})) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.10

Сократим общий множитель $- 2$ и $98$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (\frac{2 (- x)}{98})) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $98$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (\frac{2 (- x)}{2 (49)})) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (\frac{2 (- x)}{2 \cdot 49})) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (\frac{- x}{49})) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (- \frac{x}{49})) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.12

Объединим $e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ и $\frac{x}{49}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (x^{2} (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}} x}{49}) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.13

Объединим $x^{2}$ и $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}} x}{49}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{98}} x)}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.14

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x \cdot x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.14.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x \cdot x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.14.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x^{1 + 2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.2.14.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{98}})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{98}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- \frac{x^{2}}{98}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{98})$

Этап 2.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{98})$

Этап 2.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- \frac{x^{2}}{98}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{98})$

Этап 2.3.2

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (- \frac{1}{98} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (- \frac{1}{98} \cdot (2 x))$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (- 2 (\frac{1}{98}) \cdot x)$

Этап 2.3.5

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{98}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (\frac{- 2}{98} x)$

Этап 2.3.6

Объединим $\frac{- 2}{98}$ и $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (\frac{- 2 x}{98})$

Этап 2.3.7

Сократим общий множитель $- 2$ и $98$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (\frac{2 (- x)}{98})$

Этап 2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $98$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (\frac{2 (- x)}{2 (49)})$

Этап 2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (\frac{2 (- x)}{2 \cdot 49})$

Этап 2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (\frac{- x}{49})$

Этап 2.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (- \frac{x}{49})$

Этап 2.3.9

Объединим $e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ и $\frac{x}{49}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}} x}{49}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{1}{49} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49}) - \frac{1}{49} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}} x}{49}$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{49}) \cdot \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} - \frac{1}{49} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}} x}{49}$

Этап 2.4.2.2

Умножим $\frac{1}{49}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{49} \cdot \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} - \frac{1}{49} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}} x}{49}$

Этап 2.4.2.3

Умножим $\frac{1}{49}$ на $\frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49 \cdot 49} - \frac{1}{49} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}} x}{49}$

Этап 2.4.2.4

Умножим $49$ на $49$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{2401} - \frac{1}{49} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}} x}{49}$

Этап 2.4.2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{2401} - 2 (\frac{1}{49}) \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}} x}{49}$

Этап 2.4.2.6

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{49}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{2401} + \frac{- 2}{49} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}} x}{49}$

Этап 2.4.2.7

Объединим $e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ и $\frac{- 2}{49}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{2401} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}} \cdot - 2}{49} \cdot x - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}} x}{49}$

Этап 2.4.2.8

Объединим $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}} \cdot - 2}{49}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{2401} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}} \cdot (- 2 x)}{49} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}} x}{49}$

Этап 2.4.2.9

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{2401} + \frac{- 2 \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{98}} x)}{49} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}} x}{49}$

Этап 2.4.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{2401} - \frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{98}} x}{49} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}} x}{49}$

Этап 2.4.2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{2401} + \frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{98}} x - e^{- \frac{x^{2}}{98}} x}{49}$

Этап 2.4.2.12

Вычтем $e^{- \frac{x^{2}}{98}} x$ из $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{98}} x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{2401} + \frac{- 3 e^{- \frac{x^{2}}{98}} x}{49}$

Этап 2.4.2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{2401} - \frac{3 e^{- \frac{x^{2}}{98}} x}{49}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $\frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{2401} - \frac{3 e^{- \frac{x^{2}}{98}} x}{49}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{2401} - \frac{3 x e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{98}}] + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{x^{2}}{98}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{98}]) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.2

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{98}]) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{x^{2}}{98}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{98}]) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

$x (e^{- \frac{x^{2}}{98}} (- \frac{1}{98} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Объединим $e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ и $\frac{1}{98}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{98} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{98}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{98} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{98} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{98} x + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{98}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{98}})}{98} x + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.4.3

Объединим $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{98}})}{98}$ и $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{98}}) x}{98} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{98}})}{98} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{98}})}{98} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{98}})}{98} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}})}{98} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.7.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $98$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}})}{98} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $98$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}})}{2 (49)} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}})}{2 \cdot 49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \cdot 1$

Этап 4.1.9

Умножим $e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ на $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}} = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ из $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49} + e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ из $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{98}}}{49}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{98}} (- \frac{x^{2}}{49}) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} = 0$

Этап 5.2.1.2

Умножим на $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{98}} (- \frac{x^{2}}{49}) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \cdot 1 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ из $e^{- \frac{x^{2}}{98}} (- \frac{x^{2}}{49}) + e^{- \frac{x^{2}}{98}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{98}} (- \frac{x^{2}}{49} + 1) = 0$

Этап 5.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{98}} (- \frac{x^{2}}{49} + 1^{2}) = 0$

Этап 5.2.3

Перепишем $\frac{x^{2}}{49}$ в виде ${(\frac{x}{7})}^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{98}} (- {(\frac{x}{7})}^{2} + 1^{2}) = 0$

Этап 5.2.4

Изменим порядок $- {(\frac{x}{7})}^{2}$ и $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{98}} (1^{2} - {(\frac{x}{7})}^{2}) = 0$

Этап 5.2.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{x}{7}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{98}} ((1 + \frac{x}{7}) (1 - \frac{x}{7})) = 0$

Этап 5.2.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$e^{- \frac{x^{2}}{98}} (1 + \frac{x}{7}) (1 - \frac{x}{7}) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{98}} = 0$

$1 + \frac{x}{7} = 0$

$1 - \frac{x}{7} = 0$

Этап 5.4

Приравняем $e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ к $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{98}} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $e^{- \frac{x^{2}}{98}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{98}}) = \ln (0)$

Этап 5.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.4.2.3

Нет решения для $e^{- \frac{x^{2}}{98}} = 0$

Нет решения

Этап 5.5

Приравняем $1 + \frac{x}{7}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $1 + \frac{x}{7}$ к $0$ .

$1 + \frac{x}{7} = 0$

Этап 5.5.2

Решим $1 + \frac{x}{7} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{7} = - 1$

Этап 5.5.2.2

Умножим обе части уравнения на $7$ .

$7 \frac{x}{7} = 7 \cdot - 1$

Этап 5.5.2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$7 \frac{x}{7} = 7 \cdot - 1$

Этап 5.5.2.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 7 \cdot - 1$

Этап 5.5.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.2.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$x = - 7$

Этап 5.6

Приравняем $1 - \frac{x}{7}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $1 - \frac{x}{7}$ к $0$ .

$1 - \frac{x}{7} = 0$

Этап 5.6.2

Решим $1 - \frac{x}{7} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{x}{7} = - 1$

Этап 5.6.2.2

Умножим обе части уравнения на $- 7$ .

$- 7 (- \frac{x}{7}) = - 7 \cdot - 1$

Этап 5.6.2.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.3.1.1

Упростим $- 7 (- \frac{x}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.3.1.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{7}$ в числитель.

$- 7 \frac{- x}{7} = - 7 \cdot - 1$

Этап 5.6.2.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$7 (- 1) \frac{- x}{7} = - 7 \cdot - 1$

Этап 5.6.2.3.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$7 \cdot - 1 \frac{- x}{7} = - 7 \cdot - 1$

Этап 5.6.2.3.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - x = - 7 \cdot - 1$

Этап 5.6.2.3.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.3.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x = - 7 \cdot - 1$

Этап 5.6.2.3.1.1.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x = - 7 \cdot - 1$

Этап 5.6.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.3.2.1

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$x = 7$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{- \frac{x^{2}}{98}} (1 + \frac{x}{7}) (1 - \frac{x}{7}) = 0$ верно.

$x = - 7, 7$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 7, 7$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 7$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{{(- 7)}^{3} e^{- \frac{{(- 7)}^{2}}{98}}}{2401} - \frac{3 (- 7) e^{- \frac{{(- 7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перенесем $e^{- \frac{{(- 7)}^{2}}{98}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(- 7)}^{3}}{2401 e^{\frac{{(- 7)}^{2}}{98}}} - \frac{3 (- 7) e^{- \frac{{(- 7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 9.1.2

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$\frac{{(- 7)}^{3}}{2401 e^{\frac{49}{98}}} - \frac{3 (- 7) e^{- \frac{{(- 7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 9.1.3

Возведем $- 7$ в степень $3$ .

$\frac{- 343}{2401 e^{\frac{49}{98}}} - \frac{3 (- 7) e^{- \frac{{(- 7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 9.1.4

Сократим общий множитель $49$ и $98$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Вынесем множитель $49$ из $49$ .

$\frac{- 343}{2401 e^{\frac{49 (1)}{98}}} - \frac{3 (- 7) e^{- \frac{{(- 7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 9.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.2.1

Вынесем множитель $49$ из $98$ .

$\frac{- 343}{2401 e^{\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 2}}} - \frac{3 (- 7) e^{- \frac{{(- 7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 9.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 343}{2401 e^{\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 2}}} - \frac{3 (- 7) e^{- \frac{{(- 7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 9.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 343}{2401 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 7) e^{- \frac{{(- 7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 9.1.5

Вынесем множитель $343$ из $- 343$ .

$\frac{343 (- 1)}{2401 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 7) e^{- \frac{{(- 7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 9.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.6.1

Вынесем множитель $343$ из $2401 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{343 (- 1)}{343 (7 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (- 7) e^{- \frac{{(- 7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 9.1.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{343 \cdot - 1}{343 (7 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (- 7) e^{- \frac{{(- 7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 9.1.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 7) e^{- \frac{{(- 7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 9.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 7) e^{- \frac{{(- 7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 9.1.8

Перенесем $e^{- \frac{{(- 7)}^{2}}{98}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (- 7)}{49 e^{\frac{{(- 7)}^{2}}{98}}}$

Этап 9.1.9

Вынесем множитель $7$ из $3 (- 7)$ .

$- \frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{7 (3 \cdot (- 1))}{49 e^{\frac{{(- 7)}^{2}}{98}}}$

Этап 9.1.10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.10.1

Вынесем множитель $7$ из $49 e^{\frac{{(- 7)}^{2}}{98}}$ .

$- \frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{7 (3 \cdot (- 1))}{7 (7 e^{\frac{{(- 7)}^{2}}{98}})}$

Этап 9.1.10.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{7 (3 \cdot (- 1))}{7 (7 e^{\frac{{(- 7)}^{2}}{98}})}$

Этап 9.1.10.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 \cdot (- 1)}{7 e^{\frac{{(- 7)}^{2}}{98}}}$

Этап 9.1.11

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 \cdot (- 1)}{7 e^{\frac{49}{98}}}$

Этап 9.1.12

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{7 e^{\frac{49}{98}}}$

Этап 9.1.13

Сократим общий множитель $49$ и $98$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.13.1

Вынесем множитель $49$ из $49$ .

$- \frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{7 e^{\frac{49 (1)}{98}}}$

Этап 9.1.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.13.2.1

Вынесем множитель $49$ из $98$ .

$- \frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{7 e^{\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 2}}}$

Этап 9.1.13.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{7 e^{\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 2}}}$

Этап 9.1.13.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 3}{7 e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.1.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - - \frac{3}{7 e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.1.15

Умножим $- - \frac{3}{7 e^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.15.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{3}{7 e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.1.15.2

Умножим $\frac{3}{7 e^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$- \frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{7 e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 3}{7 e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\frac{2}{7 e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10

$x = - 7$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 7$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 7$ .

$f (- 7) = (- 7) \cdot e^{- \frac{{(- 7)}^{2}}{98}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$f (- 7) = - 7 \cdot e^{- \frac{49}{98}}$

Этап 11.2.2

Сократим общий множитель $49$ и $98$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вынесем множитель $49$ из $49$ .

$f (- 7) = - 7 \cdot e^{- \frac{49 (1)}{98}}$

Этап 11.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Вынесем множитель $49$ из $98$ .

$f (- 7) = - 7 \cdot e^{- \frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 2}}$

Этап 11.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 7) = - 7 \cdot e^{- \frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 2}}$

Этап 11.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 7) = - 7 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 11.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 7) = - 7 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.2.4

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (- 7) = \frac{- 7}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 7) = - \frac{7}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{7}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{7}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 7$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{{(7)}^{3} e^{- \frac{{(7)}^{2}}{98}}}{2401} - \frac{3 (7) e^{- \frac{{(7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем $e^{- \frac{{(7)}^{2}}{98}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(7)}^{3}}{2401 e^{\frac{7^{2}}{98}}} - \frac{3 (7) e^{- \frac{{(7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 13.1.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\frac{7^{3}}{2401 e^{\frac{49}{98}}} - \frac{3 (7) e^{- \frac{{(7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 13.1.3

Возведем $7$ в степень $3$ .

$\frac{343}{2401 e^{\frac{49}{98}}} - \frac{3 (7) e^{- \frac{{(7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 13.1.4

Сократим общий множитель $49$ и $98$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.1

Вынесем множитель $49$ из $49$ .

$\frac{343}{2401 e^{\frac{49 (1)}{98}}} - \frac{3 (7) e^{- \frac{{(7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 13.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.2.1

Вынесем множитель $49$ из $98$ .

$\frac{343}{2401 e^{\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 2}}} - \frac{3 (7) e^{- \frac{{(7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 13.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{343}{2401 e^{\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 2}}} - \frac{3 (7) e^{- \frac{{(7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 13.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{343}{2401 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (7) e^{- \frac{{(7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 13.1.5

Вынесем множитель $343$ из $343$ .

$\frac{343 (1)}{2401 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (7) e^{- \frac{{(7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 13.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.1

Вынесем множитель $343$ из $2401 e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{343 (1)}{343 (7 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (7) e^{- \frac{{(7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 13.1.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{343 \cdot 1}{343 (7 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{3 (7) e^{- \frac{{(7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 13.1.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (7) e^{- \frac{{(7)}^{2}}{98}}}{49}$

Этап 13.1.7

Перенесем $e^{- \frac{{(7)}^{2}}{98}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (7)}{49 e^{\frac{7^{2}}{98}}}$

Этап 13.1.8

Вынесем множитель $7$ из $3 (7)$ .

$\frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{7 \cdot 3}{49 e^{\frac{7^{2}}{98}}}$

Этап 13.1.9

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.9.1

Вынесем множитель $7$ из $49 e^{\frac{7^{2}}{98}}$ .

$\frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{7 \cdot 3}{7 (7 e^{\frac{7^{2}}{98}})}$

Этап 13.1.9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{7 \cdot 3}{7 (7 e^{\frac{7^{2}}{98}})}$

Этап 13.1.9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{7 e^{\frac{7^{2}}{98}}}$

Этап 13.1.10

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{7 e^{\frac{49}{98}}}$

Этап 13.1.11

Сократим общий множитель $49$ и $98$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.11.1

Вынесем множитель $49$ из $49$ .

$\frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{7 e^{\frac{49 (1)}{98}}}$

Этап 13.1.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.11.2.1

Вынесем множитель $49$ из $98$ .

$\frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{7 e^{\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 2}}}$

Этап 13.1.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{7 e^{\frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 2}}}$

Этап 13.1.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{7 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{7 e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - 3}{7 e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{- 2}{7 e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{7 e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14

$x = 7$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 7$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f (7) = (7) \cdot e^{- \frac{{(7)}^{2}}{98}}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f (7) = 7 \cdot e^{- \frac{49}{98}}$

Этап 15.2.2

Сократим общий множитель $49$ и $98$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вынесем множитель $49$ из $49$ .

$f (7) = 7 \cdot e^{- \frac{49 (1)}{98}}$

Этап 15.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1

Вынесем множитель $49$ из $98$ .

$f (7) = 7 \cdot e^{- \frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 2}}$

Этап 15.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (7) = 7 \cdot e^{- \frac{49 \cdot 1}{49 \cdot 2}}$

Этап 15.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (7) = 7 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 15.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (7) = 7 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.2.4

Объединим $7$ и $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (7) = \frac{7}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.2.5

Окончательный ответ: $\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{7}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{98}}$ .

$(- 7, - \frac{7}{e^{\frac{1}{2}}})$ — локальный минимум

$(7, \frac{7}{e^{\frac{1}{2}}})$ — локальный максимум

Этап 17