Математический анализ Примеры

$f (x) = 12 x^{2} - 2 x^{3} + 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $12 x^{2} - 2 x^{3} + 3 y^{2} + 6 x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$24 x - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$24 x - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Этап 1.4

Поскольку $3 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $3 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $6 y$ является константой относительно $x$ , производная $6 x y$ по $x$ равна $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \cdot 1$

Этап 1.5.3

Умножим $6$ на $1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Добавим $24 x - 6 x^{2}$ и $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 6 y$

Этап 1.6.2

Изменим порядок членов.

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [6 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$f'' (x) = - 12 x + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6 y)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6 y)$

Этап 2.3.3

Умножим $24$ на $1$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 + \frac{d}{d x} (6 y)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $6 y$ является константой относительно $x$ , производная $6 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 12 x + 24$ и $0$ .

$f'' (x) = - 12 x + 24$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$24 x - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$24 x - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Этап 4.1.4

Поскольку $3 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $3 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [6 x y]$

Этап 4.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $6 y$ является константой относительно $x$ , производная $6 x y$ по $x$ равна $6 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y \cdot 1$

Этап 4.1.5.3

Умножим $6$ на $1$ .

$24 x - 6 x^{2} + 0 + 6 y$

Этап 4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Добавим $24 x - 6 x^{2}$ и $0$ .

$24 x - 6 x^{2} + 6 y$

Этап 4.1.6.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$ .

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 6 x^{2} + 24 x + 6 y = 0$

Этап 5.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.3

Подставим значения $a = - 6$ , $b = 24$ и $c = 6 y$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot (- 6 \cdot (6 y))}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Возведем $24$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.4.1.2.2

Умножим $24$ на $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.4.1.3

Вынесем множитель $144$ из $576 + 144 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1

Вынесем множитель $144$ из $576$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.4.1.3.2

Вынесем множитель $144$ из $144 \cdot 4 + 144 y$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.4.1.4

Перепишем $144 (4 + y)$ в виде $12^{2} (2^{2} + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.4.1

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.4.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.4.2

Умножим $2$ на $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Этап 5.4.3

Упростим $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Этап 5.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Возведем $24$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $24$ на $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.5.1.3

Вынесем множитель $144$ из $576 + 144 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.3.1

Вынесем множитель $144$ из $576$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.5.1.3.2

Вынесем множитель $144$ из $144 \cdot 4 + 144 y$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.5.1.4

Перепишем $144 (4 + y)$ в виде $12^{2} (2^{2} + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.1

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.5.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.5.2

Умножим $2$ на $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Этап 5.5.3

Упростим $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Этап 5.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

Этап 5.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Возведем $24$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot - 6 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 6 \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 24 \cdot (6 y)}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.6.1.2.2

Умножим $24$ на $6$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.6.1.3

Вынесем множитель $144$ из $576 + 144 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.3.1

Вынесем множитель $144$ из $576$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 \cdot 4 + 144 y}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.6.1.3.2

Вынесем множитель $144$ из $144 \cdot 4 + 144 y$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{144 (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.6.1.4

Перепишем $144 (4 + y)$ в виде $12^{2} (2^{2} + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.4.1

Перепишем $144$ в виде $12^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (4 + y)}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 24 \pm \sqrt{12^{2} (2^{2} + y)}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{2^{2} + y}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.6.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{2 \cdot - 6}$

Этап 5.6.2

Умножим $2$ на $- 6$ .

$x = \frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$

Этап 5.6.3

Упростим $\frac{- 24 \pm 12 \sqrt{4 + y}}{- 12}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{4 + y}$

Этап 5.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Этап 5.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2 + \sqrt{4 + y}$

$x = 2 - \sqrt{4 + y}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 2 + \sqrt{4 + y}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12 (2 + \sqrt{4 + y}) + 24$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 12 \cdot 2 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$

Этап 9.1.2

Умножим $- 12$ на $2$ .

$- 24 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$

Этап 9.2

Объединим противоположные члены в $- 24 - 12 \sqrt{4 + y} + 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $- 24$ и $24$ .

$0 - 12 \sqrt{4 + y}$

Этап 9.2.2

Вычтем $12 \sqrt{4 + y}$ из $0$ .

$- 12 \sqrt{4 + y}$

Этап 10

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 11