Математический анализ Примеры

$f (x) = 12 x^{5} \cdot (15 x^{4}) - 240 x^{3} + 4$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $12 x^{5} \cdot (15 x^{4}) - 240 x^{3} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{5} \cdot (15 x^{4})] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{5} \cdot (15 x^{4})] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{5} \cdot (15 x^{4})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $15$ на $12$ .

$\frac{d}{d x} [180 x^{5} \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.2

Умножим $x^{5}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [180 (x^{4} x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [180 x^{4 + 5}] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.2.3

Добавим $4$ и $5$ .

$\frac{d}{d x} [180 x^{9}] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.3

Поскольку $180$ является константой относительно $x$ , производная $180 x^{9}$ по $x$ равна $180 \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$180 \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$180 (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.5

Умножим $9$ на $180$ .

$1620 x^{8} + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 240 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 240$ является константой относительно $x$ , производная $- 240 x^{3}$ по $x$ равна $- 240 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1620 x^{8} - 240 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$1620 x^{8} - 240 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $- 240$ .

$1620 x^{8} - 720 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1620 x^{8} - 720 x^{2} + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $1620 x^{8} - 720 x^{2}$ и $0$ .

$1620 x^{8} - 720 x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1620 x^{8} - 720 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1620 x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 720 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1620 x^{8}) + \frac{d}{d x} (- 720 x^{2})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [1620 x^{8}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $1620$ является константой относительно $x$ , производная $1620 x^{8}$ по $x$ равна $1620 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$f'' (x) = 1620 \frac{d}{d x} (x^{8}) + \frac{d}{d x} (- 720 x^{2})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$f'' (x) = 1620 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 720 x^{2})$

Этап 2.2.3

Умножим $8$ на $1620$ .

$f'' (x) = 12960 x^{7} + \frac{d}{d x} (- 720 x^{2})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 720 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 720$ является константой относительно $x$ , производная $- 720 x^{2}$ по $x$ равна $- 720 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12960 x^{7} - 720 \frac{d}{d x} x^{2}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12960 x^{7} - 720 (2 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 720$ .

$f'' (x) = 12960 x^{7} - 1440 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$1620 x^{8} - 720 x^{2} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [12 x^{5} \cdot (15 x^{4})] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{5} \cdot (15 x^{4})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $15$ на $12$ .

$\frac{d}{d x} [180 x^{5} \cdot x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.2

Умножим $x^{5}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [180 (x^{4} x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [180 x^{4 + 5}] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.2.3

Добавим $4$ и $5$ .

$\frac{d}{d x} [180 x^{9}] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.3

Поскольку $180$ является константой относительно $x$ , производная $180 x^{9}$ по $x$ равна $180 \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$180 \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$180 (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.5

Умножим $9$ на $180$ .

$1620 x^{8} + \frac{d}{d x} [- 240 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 240 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 240$ является константой относительно $x$ , производная $- 240 x^{3}$ по $x$ равна $- 240 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1620 x^{8} - 240 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$1620 x^{8} - 240 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $- 240$ .

$1620 x^{8} - 720 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1620 x^{8} - 720 x^{2} + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $1620 x^{8} - 720 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = 1620 x^{8} - 720 x^{2}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $1620 x^{8} - 720 x^{2}$ .

$1620 x^{8} - 720 x^{2}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $1620 x^{8} - 720 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$1620 x^{8} - 720 x^{2} = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $180 x^{2}$ из $1620 x^{8} - 720 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $180 x^{2}$ из $1620 x^{8}$ .

$180 x^{2} (9 x^{6}) - 720 x^{2} = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $180 x^{2}$ из $- 720 x^{2}$ .

$180 x^{2} (9 x^{6}) + 180 x^{2} (- 4) = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $180 x^{2}$ из $180 x^{2} (9 x^{6}) + 180 x^{2} (- 4)$ .

$180 x^{2} (9 x^{6} - 4) = 0$

Этап 5.2.2

Перепишем $9 x^{6}$ в виде ${(3 x^{3})}^{2}$ .

$180 x^{2} ({(3 x^{3})}^{2} - 4) = 0$

Этап 5.2.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$180 x^{2} ({(3 x^{3})}^{2} - 2^{2}) = 0$

Этап 5.2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3 x^{3}$ и $b = 2$ .

$180 x^{2} ((3 x^{3} + 2) (3 x^{3} - 2)) = 0$

Этап 5.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$180 x^{2} (3 x^{3} + 2) (3 x^{3} - 2) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x^{3} + 2 = 0$

$3 x^{3} - 2 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $3 x^{3} + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $3 x^{3} + 2$ к $0$ .

$3 x^{3} + 2 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $3 x^{3} + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{3} = - 2$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $3 x^{3} = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x^{3} = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x^{3}}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{3}}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{3} = - \frac{2}{3}$

Этап 5.5.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{- \frac{2}{3}}$

Этап 5.5.2.4

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Перепишем $- \frac{2}{3}$ в виде ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{2}{3}}$

Этап 5.5.2.4.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{2}{3}}$

Этап 5.5.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{2}{3}}$

Этап 5.5.2.4.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$x = - \sqrt[3]{\frac{2}{3}}$

Этап 5.5.2.4.4

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{2}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}$

Этап 5.5.2.4.5

Умножим $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$x = - (\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}})$

Этап 5.5.2.4.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.6.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 5.5.2.4.6.2

Возведем $\sqrt[3]{3}$ в степень $1$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 5.5.2.4.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Этап 5.5.2.4.6.4

Добавим $1$ и $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Этап 5.5.2.4.6.5

Перепишем ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.6.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{3}$ в виде $3^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 5.5.2.4.6.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 5.5.2.4.6.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.5.2.4.6.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.6.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.5.2.4.6.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Этап 5.5.2.4.6.5.5

Найдем экспоненту.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Этап 5.5.2.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.7.1

Перепишем ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Этап 5.5.2.4.7.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{9}}{3}$

Этап 5.5.2.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.8.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2 \cdot 9}}{3}$

Этап 5.5.2.4.8.2

Умножим $2$ на $9$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{18}}{3}$

Этап 5.6

Приравняем $3 x^{3} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $3 x^{3} - 2$ к $0$ .

$3 x^{3} - 2 = 0$

Этап 5.6.2

Решим $3 x^{3} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{3} = 2$

Этап 5.6.2.2

Разделим каждый член $3 x^{3} = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Разделим каждый член $3 x^{3} = 2$ на $3$ .

$\frac{3 x^{3}}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 5.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{3}}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 5.6.2.2.2.1.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} = \frac{2}{3}$

Этап 5.6.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{\frac{2}{3}}$

Этап 5.6.2.4

Упростим $\sqrt[3]{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.4.1

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{2}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}$

Этап 5.6.2.4.2

Умножим $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 5.6.2.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 5.6.2.4.3.2

Возведем $\sqrt[3]{3}$ в степень $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 5.6.2.4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Этап 5.6.2.4.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Этап 5.6.2.4.3.5

Перепишем ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.4.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{3}$ в виде $3^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 5.6.2.4.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 5.6.2.4.3.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.6.2.4.3.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.4.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Этап 5.6.2.4.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Этап 5.6.2.4.3.5.5

Найдем экспоненту.

$x = \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Этап 5.6.2.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.4.4.1

Перепишем ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Этап 5.6.2.4.4.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{9}}{3}$

Этап 5.6.2.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.4.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \frac{\sqrt[3]{2 \cdot 9}}{3}$

Этап 5.6.2.4.5.2

Умножим $2$ на $9$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{3}$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $180 x^{2} (3 x^{3} + 2) (3 x^{3} - 2) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{\sqrt[3]{18}}{3}, \frac{\sqrt[3]{18}}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - \frac{\sqrt[3]{18}}{3}, \frac{\sqrt[3]{18}}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12960 {(0)}^{7} - 1440 \cdot 0$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$12960 \cdot 0 - 1440 \cdot 0$

Этап 9.1.2

Умножим $12960$ на $0$ .

$0 - 1440 \cdot 0$

Этап 9.1.3

Умножим $- 1440$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[3]{18}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[3]{18}}{3}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt[3]{18}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[3]{18}}{3}, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 3$ , из интервала $(- \infty, - \frac{\sqrt[3]{18}}{3})$ в первую производную $1620 x^{8} - 720 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = 1620 {(- 3)}^{8} - 720 {(- 3)}^{2}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $8$ .

$f' (- 3) = 1620 \cdot 6561 - 720 {(- 3)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $1620$ на $6561$ .

$f' (- 3) = 10628820 - 720 {(- 3)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f' (- 3) = 10628820 - 720 \cdot 9$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $- 720$ на $9$ .

$f' (- 3) = 10628820 - 6480$

Этап 10.2.2.2

Вычтем $6480$ из $10628820$ .

$f' (- 3) = 10622340$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $10622340$ .

$10622340$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $- 0.44$ , из интервала $(- \frac{\sqrt[3]{18}}{3}, 0)$ в первую производную $1620 x^{8} - 720 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.44$ .

$f' (- 0.44) = 1620 {(- 0.44)}^{8} - 720 {(- 0.44)}^{2}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $- 0.44$ в степень $8$ .

$f' (- 0.44) = 1620 \cdot 0.00140482 - 720 {(- 0.44)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $1620$ на $0.00140482$ .

$f' (- 0.44) = 2.27581222 - 720 {(- 0.44)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.3

Возведем $- 0.44$ в степень $2$ .

$f' (- 0.44) = 2.27581222 - 720 \cdot 0.1936$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $- 720$ на $0.1936$ .

$f' (- 0.44) = 2.27581222 - 139.392$

Этап 10.3.2.2

Вычтем $139.392$ из $2.27581222$ .

$f' (- 0.44) = - 137.11618777$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $- 137.11618777$ .

$- 137.11618777$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $0.44$ , из интервала $(0, \frac{\sqrt[3]{18}}{3})$ в первую производную $1620 x^{8} - 720 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.44$ .

$f' (0.44) = 1620 {(0.44)}^{8} - 720 {(0.44)}^{2}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $0.44$ в степень $8$ .

$f' (0.44) = 1620 \cdot 0.00140482 - 720 {(0.44)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $1620$ на $0.00140482$ .

$f' (0.44) = 2.27581222 - 720 {(0.44)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.3

Возведем $0.44$ в степень $2$ .

$f' (0.44) = 2.27581222 - 720 \cdot 0.1936$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $- 720$ на $0.1936$ .

$f' (0.44) = 2.27581222 - 139.392$

Этап 10.4.2.2

Вычтем $139.392$ из $2.27581222$ .

$f' (0.44) = - 137.11618777$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $- 137.11618777$ .

$- 137.11618777$

Этап 10.5

Подставим любое число такое, что $3$ , из интервала $(\frac{\sqrt[3]{18}}{3}, \infty)$ в первую производную $1620 x^{8} - 720 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = 1620 {(3)}^{8} - 720 {(3)}^{2}$

Этап 10.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.1

Возведем $3$ в степень $8$ .

$f' (3) = 1620 \cdot 6561 - 720 {(3)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.2

Умножим $1620$ на $6561$ .

$f' (3) = 10628820 - 720 {(3)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (3) = 10628820 - 720 \cdot 9$

Этап 10.5.2.1.4

Умножим $- 720$ на $9$ .

$f' (3) = 10628820 - 6480$

Этап 10.5.2.2

Вычтем $6480$ из $10628820$ .

$f' (3) = 10622340$

Этап 10.5.2.3

Окончательный ответ: $10622340$ .

$10622340$

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = - \frac{\sqrt[3]{18}}{3}$ , $x = - \frac{\sqrt[3]{18}}{3}$ — локальный максимум.

$x = - \frac{\sqrt[3]{18}}{3}$ — локальный максимум

Этап 10.7

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.8

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \frac{\sqrt[3]{18}}{3}$ , $x = \frac{\sqrt[3]{18}}{3}$ — локальный минимум.

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{3}$ — локальный минимум

Этап 10.9

Это локальные экстремумы $f (x) = 12 x^{5} \cdot (15 x^{4}) - 240 x^{3} + 4$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{18}}{3}$ — локальный максимум

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{3}$ — локальный минимум

$x = - \frac{\sqrt[3]{18}}{3}$ — локальный максимум

$x = \frac{\sqrt[3]{18}}{3}$ — локальный минимум

Этап 11