Математический анализ Примеры

$f (x) = - 12 x^{5} + 25 x^{4} - 80 x^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- 12 x^{5} + 25 x^{4} - 80 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [25 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 80 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [25 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 80 x^{3}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{5}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [25 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 80 x^{3}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- 12 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [25 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 80 x^{3}]$

Этап 1.2.3

Умножим $5$ на $- 12$ .

$- 60 x^{4} + \frac{d}{d x} [25 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 80 x^{3}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [25 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25 x^{4}$ по $x$ равна $25 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 60 x^{4} + 25 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 80 x^{3}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 60 x^{4} + 25 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 80 x^{3}]$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $25$ .

$- 60 x^{4} + 100 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 80 x^{3}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 80 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 80$ является константой относительно $x$ , производная $- 80 x^{3}$ по $x$ равна $- 80 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 60 x^{4} + 100 x^{3} - 80 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 60 x^{4} + 100 x^{3} - 80 (3 x^{2})$

Этап 1.4.3

Умножим $3$ на $- 80$ .

$- 60 x^{4} + 100 x^{3} - 240 x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 60 x^{4} + 100 x^{3} - 240 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 60 x^{4}] + \frac{d}{d x} [100 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 60 x^{4}) + \frac{d}{d x} (100 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{2})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 60 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 60$ является константой относительно $x$ , производная $- 60 x^{4}$ по $x$ равна $- 60 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 60 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (100 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{2})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = - 60 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (100 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{2})$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $- 60$ .

$f'' (x) = - 240 x^{3} + \frac{d}{d x} (100 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{2})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [100 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $100$ является константой относительно $x$ , производная $100 x^{3}$ по $x$ равна $100 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 240 x^{3} + 100 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{2})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 240 x^{3} + 100 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{2})$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $100$ .

$f'' (x) = - 240 x^{3} + 300 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 240 x^{2})$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 240 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 240$ является константой относительно $x$ , производная $- 240 x^{2}$ по $x$ равна $- 240 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 240 x^{3} + 300 x^{2} - 240 \frac{d}{d x} x^{2}$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 240 x^{3} + 300 x^{2} - 240 (2 x)$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $- 240$ .

$f'' (x) = - 240 x^{3} + 300 x^{2} - 480 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 60 x^{4} + 100 x^{3} - 240 x^{2} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}] + \frac{d}{d x} [25 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 80 x^{3}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{5}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [25 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 80 x^{3}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$- 12 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [25 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 80 x^{3}]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $5$ на $- 12$ .

$- 60 x^{4} + \frac{d}{d x} [25 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 80 x^{3}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [25 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25 x^{4}$ по $x$ равна $25 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 60 x^{4} + 25 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 80 x^{3}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 60 x^{4} + 25 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 80 x^{3}]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $4$ на $25$ .

$- 60 x^{4} + 100 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 80 x^{3}]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 80 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 80$ является константой относительно $x$ , производная $- 80 x^{3}$ по $x$ равна $- 80 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 60 x^{4} + 100 x^{3} - 80 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 60 x^{4} + 100 x^{3} - 80 (3 x^{2})$

Этап 4.1.4.3

Умножим $3$ на $- 80$ .

$f' (x) = - 60 x^{4} + 100 x^{3} - 240 x^{2}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 60 x^{4} + 100 x^{3} - 240 x^{2}$ .

$- 60 x^{4} + 100 x^{3} - 240 x^{2}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 60 x^{4} + 100 x^{3} - 240 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 60 x^{4} + 100 x^{3} - 240 x^{2} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $- 20 x^{2}$ из $- 60 x^{4} + 100 x^{3} - 240 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- 20 x^{2}$ из $- 60 x^{4}$ .

$- 20 x^{2} (3 x^{2}) + 100 x^{3} - 240 x^{2} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $- 20 x^{2}$ из $100 x^{3}$ .

$- 20 x^{2} (3 x^{2}) - 20 x^{2} (- 5 x) - 240 x^{2} = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $- 20 x^{2}$ из $- 240 x^{2}$ .

$- 20 x^{2} (3 x^{2}) - 20 x^{2} (- 5 x) - 20 x^{2} \cdot 12 = 0$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $- 20 x^{2}$ из $- 20 x^{2} (3 x^{2}) - 20 x^{2} (- 5 x)$ .

$- 20 x^{2} (3 x^{2} - 5 x) - 20 x^{2} \cdot 12 = 0$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $- 20 x^{2}$ из $- 20 x^{2} (3 x^{2} - 5 x) - 20 x^{2} (12)$ .

$- 20 x^{2} (3 x^{2} - 5 x + 12) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x^{2} - 5 x + 12 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $3 x^{2} - 5 x + 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $3 x^{2} - 5 x + 12$ к $0$ .

$3 x^{2} - 5 x + 12 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $3 x^{2} - 5 x + 12 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5.2.2

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 5$ и $c = 12$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 12)}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 \cdot 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 12$ на $12$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 144}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.3.1.3

Вычтем $144$ из $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 119}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.3.1.4

Перепишем $- 119$ в виде $- 1 (119)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 119}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (119)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{6}$

Этап 5.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 \cdot 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 12$ на $12$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 144}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.4.1.3

Вычтем $144$ из $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 119}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.4.1.4

Перепишем $- 119$ в виде $- 1 (119)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 119}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (119)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{6}$

Этап 5.5.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{5 + i \sqrt{119}}{6}$

Этап 5.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 \cdot 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 12$ на $12$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 144}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.5.1.3

Вычтем $144$ из $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 119}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.5.1.4

Перепишем $- 119$ в виде $- 1 (119)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 119}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (119)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{2 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{119}}{6}$

Этап 5.5.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{5 - i \sqrt{119}}{6}$

Этап 5.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{5 + i \sqrt{119}}{6}, \frac{5 - i \sqrt{119}}{6}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 20 x^{2} (3 x^{2} - 5 x + 12) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{5 + i \sqrt{119}}{6}, \frac{5 - i \sqrt{119}}{6}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 240 {(0)}^{3} + 300 {(0)}^{2} - 480 \cdot 0$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 240 \cdot 0 + 300 {(0)}^{2} - 480 \cdot 0$

Этап 9.1.2

Умножим $- 240$ на $0$ .

$0 + 300 {(0)}^{2} - 480 \cdot 0$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 300 \cdot 0 - 480 \cdot 0$

Этап 9.1.4

Умножим $300$ на $0$ .

$0 + 0 - 480 \cdot 0$

Этап 9.1.5

Умножим $- 480$ на $0$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $- 60 x^{4} + 100 x^{3} - 240 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 60 {(- 2)}^{4} + 100 {(- 2)}^{3} - 240 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f' (- 2) = - 60 \cdot 16 + 100 {(- 2)}^{3} - 240 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $- 60$ на $16$ .

$f' (- 2) = - 960 + 100 {(- 2)}^{3} - 240 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = - 960 + 100 \cdot - 8 - 240 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $100$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = - 960 - 800 - 240 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.5

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - 960 - 800 - 240 \cdot 4$

Этап 10.2.2.1.6

Умножим $- 240$ на $4$ .

$f' (- 2) = - 960 - 800 - 960$

Этап 10.2.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Вычтем $800$ из $- 960$ .

$f' (- 2) = - 1760 - 960$

Этап 10.2.2.2.2

Вычтем $960$ из $- 1760$ .

$f' (- 2) = - 2720$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $- 2720$ .

$- 2720$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $- 60 x^{4} + 100 x^{3} - 240 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = - 60 {(2)}^{4} + 100 {(2)}^{3} - 240 {(2)}^{2}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f' (2) = - 60 \cdot 16 + 100 {(2)}^{3} - 240 {(2)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $- 60$ на $16$ .

$f' (2) = - 960 + 100 {(2)}^{3} - 240 {(2)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (2) = - 960 + 100 \cdot 8 - 240 {(2)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $100$ на $8$ .

$f' (2) = - 960 + 800 - 240 {(2)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = - 960 + 800 - 240 \cdot 4$

Этап 10.3.2.1.6

Умножим $- 240$ на $4$ .

$f' (2) = - 960 + 800 - 960$

Этап 10.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Добавим $- 960$ и $800$ .

$f' (2) = - 160 - 960$

Этап 10.3.2.2.2

Вычтем $960$ из $- 160$ .

$f' (2) = - 1120$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $- 1120$ .

$- 1120$

Этап 10.4

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.5

Локальный минимум или минимум для $f (x) = - 12 x^{5} + 25 x^{4} - 80 x^{3}$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 11