Математический анализ Примеры

$f (x) = 12 e^{x} - e^{2 x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $12 e^{x} - e^{2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 e^{x}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$12 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{2 x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$12 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$12 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$12 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Этап 1.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Этап 1.3.6

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$12 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Этап 1.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $12 e^{x} - 2 e^{2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 e^{x}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = 12 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{2 x})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 e^{2 x}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{2 x}$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.3.2.2

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Этап 2.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Этап 2.3.6

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Этап 2.3.7

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 12 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $12 e^{x} - e^{2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 e^{x}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Этап 4.1.2.2

$12 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{2 x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$12 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 4.1.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$12 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.1.3.2.2

$12 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Этап 4.1.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$12 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Этап 4.1.3.6

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$12 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Этап 4.1.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 e^{x} - 2 e^{2 x}$ .

$12 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 e^{x} - 2 e^{2 x} = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем $e^{2 x}$ в виде ${(e^{x})}^{2}$ .

$12 e^{x} - 2 {(e^{x})}^{2} = 0$

Этап 5.2.2

Пусть $u = e^{x}$ . Подставим $u$ вместо $e^{x}$ для всех.

$12 u - 2 u^{2} = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2 u$ из $12 u - 2 u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $2 u$ из $12 u$ .

$2 u (6) - 2 u^{2} = 0$

Этап 5.2.3.2

Вынесем множитель $2 u$ из $- 2 u^{2}$ .

$2 u (6) + 2 u (- u) = 0$

Этап 5.2.3.3

Вынесем множитель $2 u$ из $2 u (6) + 2 u (- u)$ .

$2 u (6 - u) = 0$

Этап 5.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x}$ .

$2 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$6 - e^{x} = 0$

Этап 5.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 5.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 5.5

Приравняем $6 - e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $6 - e^{x}$ к $0$ .

$6 - e^{x} = 0$

Этап 5.5.2

Решим $6 - e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- e^{x} = - 6$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $- e^{x} = - 6$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $- e^{x} = - 6$ на $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 5.5.2.2.2.2

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$e^{x} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Разделим $- 6$ на $- 1$ .

$e^{x} = 6$

Этап 5.5.2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (6)$

Этап 5.5.2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (6)$

Этап 5.5.2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (6)$

Этап 5.5.2.4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (6)$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$ верно.

$x = \ln (6)$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \ln (6)$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \ln (6)$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 e^{\ln (6)} - 4 e^{2 (\ln (6))}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$12 \cdot 6 - 4 e^{2 (\ln (6))}$

Этап 9.1.2

Умножим $12$ на $6$ .

$72 - 4 e^{2 (\ln (6))}$

Этап 9.1.3

Упростим $2 (\ln (6))$ путем переноса $2$ под логарифм.

$72 - 4 e^{\ln (6^{2})}$

Этап 9.1.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$72 - 4 \cdot 6^{2}$

Этап 9.1.5

Возведем $6$ в степень $2$ .

$72 - 4 \cdot 36$

Этап 9.1.6

Умножим $- 4$ на $36$ .

$72 - 144$

Этап 9.2

Вычтем $144$ из $72$ .

$- 72$

Этап 10

$x = \ln (6)$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \ln (6)$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \ln (6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\ln (6)$ .

$f (\ln (6)) = 12 e^{\ln (6)} - e^{2 (\ln (6))}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (6)) = 12 \cdot 6 - e^{2 (\ln (6))}$

Этап 11.2.1.2

Умножим $12$ на $6$ .

$f (\ln (6)) = 72 - e^{2 (\ln (6))}$

Этап 11.2.1.3

Упростим $2 (\ln (6))$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (\ln (6)) = 72 - e^{\ln (6^{2})}$

Этап 11.2.1.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (6)) = 72 - 6^{2}$

Этап 11.2.1.5

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (\ln (6)) = 72 - 1 \cdot 36$

Этап 11.2.1.6

Умножим $- 1$ на $36$ .

$f (\ln (6)) = 72 - 36$

Этап 11.2.2

Вычтем $36$ из $72$ .

$f (\ln (6)) = 36$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $36$ .

$y = 36$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 12 e^{x} - e^{2 x}$ .

$(\ln (6), 36)$ — локальный максимум

Этап 13