Математический анализ Примеры

$f (x) = 10 \cdot (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$10 (\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 1.1.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}]$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 1.1.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Перепишем $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ в виде ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{({(x + 3)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 1.1.4.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 1.1.4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 2}$ и $g (x) = x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 3$ .

$10 (3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$10 (3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$10 (3 (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$10 (- 6 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 1.3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 1.3.5.2

Умножим $- 6$ на $1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.5.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.5.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

Этап 1.5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + 0)$

Этап 1.5.6.2

Добавим $- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3}$ и $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3})$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 x^{- 3})$

Этап 1.6.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$10 \frac{- 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$10 (- \frac{6}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.6.4.3

Умножим $- 1$ на $10$ .

$- 10 \frac{6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.6.4.4

Объединим $- 10$ и $\frac{6}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 10 \cdot 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.6.4.5

Умножим $- 10$ на $6$ .

$\frac{- 60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.6.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.6.4.7

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 \frac{2}{x^{3}}$

Этап 1.6.4.8

Объединим $10$ и $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{10 \cdot 2}{x^{3}}$

Этап 1.6.4.9

Умножим $10$ на $2$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{20}{x^{3}}$

Этап 1.6.5

Изменим порядок членов.

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{20}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{20}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{20}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{20}{x^{3}}$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{3}$ .

$f'' (x) = 20 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{3}$ .

$f'' (x) = 20 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Этап 2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 20 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Этап 2.2.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 20 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Этап 2.2.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 20 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Этап 2.2.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = 20 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Этап 2.2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 20 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Этап 2.2.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$f'' (x) = 20 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Этап 2.2.8

Умножим $- 3$ на $20$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 60$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ по $x$ равна $- 60 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ в виде ${({(x + 3)}^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 \frac{d}{d x} {({(x + 3)}^{3})}^{- 1}$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как ${(x + 3)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{3}))$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{3})$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${(x + 3)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{3})$

Этап 2.3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $x + 3$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{3}) \frac{d}{d x} (x + 3)))$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3)))$

Этап 2.3.4.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $x + 3$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 3)))$

Этап 2.3.5

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))))$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (3))))$

Этап 2.3.7

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {({(x + 3)}^{3})}^{- 2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Этап 2.3.8

Перемножим экспоненты в ${({(x + 3)}^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{3 \cdot - 2} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Этап 2.3.8.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{- 6} (3 {(x + 3)}^{2} (1 + 0)))$

Этап 2.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{- 6} (3 {(x + 3)}^{2} \cdot 1))$

Этап 2.3.10

Умножим $3$ на $1$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- {(x + 3)}^{- 6} (3 {(x + 3)}^{2}))$

Этап 2.3.11

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 {(x + 3)}^{- 6} {(x + 3)}^{2})$

Этап 2.3.12

Умножим ${(x + 3)}^{- 6}$ на ${(x + 3)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.1

Перенесем ${(x + 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 ({(x + 3)}^{2} {(x + 3)}^{- 6}))$

Этап 2.3.12.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 {(x + 3)}^{2 - 6})$

Этап 2.3.12.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} - 60 (- 3 {(x + 3)}^{- 4})$

Этап 2.3.13

Умножим $- 3$ на $- 60$ .

$f'' (x) = - 60 x^{- 4} + 180 {(x + 3)}^{- 4}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 60 \frac{1}{x^{4}} + 180 {(x + 3)}^{- 4}$

Этап 2.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 60 \frac{1}{x^{4}} + 180 (\frac{1}{{(x + 3)}^{4}})$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Объединим $- 60$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 60}{x^{4}} + 180 (\frac{1}{{(x + 3)}^{4}})$

Этап 2.4.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{60}{x^{4}} + 180 (\frac{1}{{(x + 3)}^{4}})$

Этап 2.4.3.3

Объединим $180$ и $\frac{1}{{(x + 3)}^{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{60}{x^{4}} + \frac{180}{{(x + 3)}^{4}}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{180}{{(x + 3)}^{4}} - \frac{60}{x^{4}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$10 \frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 4.1.1.2

$10 (\frac{d}{d x} [\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 4.1.1.3

$10 (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 4.1.1.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.4.1

Перепишем $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ в виде ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{({(x + 3)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 4.1.1.4.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 4.1.1.4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$10 (3 \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 3$ .

$10 (3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$10 (3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$10 (3 (- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$10 (- 6 ({(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 4.1.3.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 4.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 4.1.3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 4.1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 4.1.3.5.2

Умножим $- 6$ на $1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}])$

Этап 4.1.4

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.1.5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.1.5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.1.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.1.5.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.1.5.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0)$

Этап 4.1.5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.6.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3} + 0)$

Этап 4.1.5.6.2

Добавим $- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3}$ и $0$ .

$10 (- 6 {(x + 3)}^{- 3} + 2 x^{- 3})$

Этап 4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 x^{- 3})$

Этап 4.1.6.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 4.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$10 (- 6 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 4.1.6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.1

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$10 \frac{- 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 4.1.6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$10 (- \frac{6}{{(x + 3)}^{3}}) + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 4.1.6.4.3

Умножим $- 1$ на $10$ .

$- 10 \frac{6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 4.1.6.4.4

Объединим $- 10$ и $\frac{6}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 10 \cdot 6}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 4.1.6.4.5

Умножим $- 10$ на $6$ .

$\frac{- 60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 4.1.6.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 (2 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 4.1.6.4.7

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + 10 \frac{2}{x^{3}}$

Этап 4.1.6.4.8

Объединим $10$ и $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{10 \cdot 2}{x^{3}}$

Этап 4.1.6.4.9

Умножим $10$ на $2$ .

$- \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} + \frac{20}{x^{3}}$

Этап 4.1.6.5

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{20}{x^{3}} - \frac{60}{{(x + 3)}^{3}} = 0$

Этап 5.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx 6.78350009$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{20}{x^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 6.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 6.3

Зададим знаменатель в $\frac{60}{{(x + 3)}^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 3)}^{3} = 0$

Этап 6.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 6.4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 6.5

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 3, x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 6.78350009$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 6.78350009$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{180}{{((6.78350009) + 3)}^{4}} - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Добавим $6.78350009$ и $3$ .

$\frac{180}{{9.78350009}^{4}} - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

Этап 9.1.1.2

Возведем $9.78350009$ в степень $4$ .

$\frac{180}{9161.72000483} - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

Этап 9.1.2

Разделим $180$ на $9161.72000483$ .

$0.01964696 - \frac{60}{{(6.78350009)}^{4}}$

Этап 9.1.3

Возведем $6.78350009$ в степень $4$ .

$0.01964696 - \frac{60}{2117.46062276}$

Этап 9.1.4

Разделим $60$ на $2117.46062276$ .

$0.01964696 - 1 \cdot 0.02833582$

Этап 9.1.5

Умножим $- 1$ на $0.02833582$ .

$0.01964696 - 0.02833582$

Этап 9.2

Вычтем $0.02833582$ из $0.01964696$ .

$- 0.00868886$

Этап 10

$x = 6.78350009$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 6.78350009$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 6.78350009$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6.78350009$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (\frac{3}{{((6.78350009) + 3)}^{2}} - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Добавим $6.78350009$ и $3$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (\frac{3}{{9.78350009}^{2}} - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

Этап 11.2.1.1.2

Возведем $9.78350009$ в степень $2$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (\frac{3}{95.71687419} - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

Этап 11.2.1.2

Разделим $3$ на $95.71687419$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - \frac{1}{{(6.78350009)}^{2}})$

Этап 11.2.1.3

Возведем $6.78350009$ в степень $2$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - \frac{1}{46.01587359})$

Этап 11.2.1.4

Разделим $1$ на $46.01587359$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - 1 \cdot 0.02173163)$

Этап 11.2.1.5

Умножим $- 1$ на $0.02173163$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot (0.03134243 - 0.02173163)$

Этап 11.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $0.02173163$ из $0.03134243$ .

$f (6.78350009) = 10 \cdot 0.0096108$

Этап 11.2.2.2

Умножим $10$ на $0.0096108$ .

$f (6.78350009) = 0.09610804$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $0.09610804$ .

$y = 0.09610804$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 10 \cdot (\frac{3}{{(x + 3)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}})$ .

$(6.78350009, 0.09610804)$ — локальный максимум

Этап 13