Математический анализ Примеры

$f (x) = 100 (x - \frac{4}{x^{2}})$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $100$ является константой относительно $x$ , производная $100 (x - \frac{4}{x^{2}})$ по $x$ равна $100 \frac{d}{d x} [x - \frac{4}{x^{2}}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x - \frac{4}{x^{2}}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $x - \frac{4}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$100 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$100 (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}])$

Этап 1.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4}{x^{2}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Этап 1.5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

Этап 1.5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

Этап 1.5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$100 (1 - 4 (- 2 x^{- 3}))$

Этап 1.7

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$100 (1 + 8 x^{- 3})$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$100 (1 + 8 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$100 \cdot 1 + 100 (8 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.8.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1

Умножим $100$ на $1$ .

$100 + 100 (8 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 1.8.3.2

Объединим $8$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$100 + 100 \frac{8}{x^{3}}$

Этап 1.8.3.3

Объединим $100$ и $\frac{8}{x^{3}}$ .

$100 + \frac{100 \cdot 8}{x^{3}}$

Этап 1.8.3.4

Умножим $100$ на $8$ .

$100 + \frac{800}{x^{3}}$

Этап 1.8.4

Изменим порядок членов.

$\frac{800}{x^{3}} + 100$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{800}{x^{3}} + 100$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{800}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{800}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (100)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{800}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $800$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{800}{x^{3}}$ по $x$ равна $800 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 800 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (100)$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 800 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (100)$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$f'' (x) = 800 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (100)$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 800 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (100)$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$f'' (x) = 800 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (100)$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 800 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (100)$

Этап 2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 800 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (100)$

Этап 2.2.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 800 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (100)$

Этап 2.2.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 800 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (100)$

Этап 2.2.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = 800 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (100)$

Этап 2.2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 800 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (100)$

Этап 2.2.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$f'' (x) = 800 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (100)$

Этап 2.2.8

Умножим $- 3$ на $800$ .

$f'' (x) = - 2400 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (100)$

Этап 2.3

Поскольку $100$ является константой относительно $x$ , производная $100$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 2400 x^{- 4} + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2400 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $- 2400$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2400}{x^{4}} + 0$

Этап 2.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{2400}{x^{4}} + 0$

Этап 2.4.2.3

Добавим $- \frac{2400}{x^{4}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2400}{x^{4}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{800}{x^{3}} + 100 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$100 \frac{d}{d x} [x - \frac{4}{x^{2}}]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x - \frac{4}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$100 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}])$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$100 (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}])$

Этап 4.1.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4}{x^{2}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Этап 4.1.5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

Этап 4.1.5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

Этап 4.1.5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$100 (1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Этап 4.1.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$100 (1 - 4 (- 2 x^{- 3}))$

Этап 4.1.7

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$100 (1 + 8 x^{- 3})$

Этап 4.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$100 (1 + 8 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 4.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$100 \cdot 1 + 100 (8 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 4.1.8.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.3.1

Умножим $100$ на $1$ .

$100 + 100 (8 \frac{1}{x^{3}})$

Этап 4.1.8.3.2

Объединим $8$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$100 + 100 \frac{8}{x^{3}}$

Этап 4.1.8.3.3

Объединим $100$ и $\frac{8}{x^{3}}$ .

$100 + \frac{100 \cdot 8}{x^{3}}$

Этап 4.1.8.3.4

Умножим $100$ на $8$ .

$100 + \frac{800}{x^{3}}$

Этап 4.1.8.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{800}{x^{3}} + 100$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{800}{x^{3}} + 100$ .

$\frac{800}{x^{3}} + 100$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{800}{x^{3}} + 100 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{800}{x^{3}} + 100 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $100$ из обеих частей уравнения.

$\frac{800}{x^{3}} = - 100$

Этап 5.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{3}, 1$

Этап 5.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{3}$

Этап 5.4

Каждый член в $\frac{800}{x^{3}} = - 100$ умножим на $x^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый член $\frac{800}{x^{3}} = - 100$ на $x^{3}$ .

$\frac{800}{x^{3}} x^{3} = - 100 x^{3}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{800}{x^{3}} x^{3} = - 100 x^{3}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$800 = - 100 x^{3}$

Этап 5.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 100 x^{3} = 800$ .

$- 100 x^{3} = 800$

Этап 5.5.2

Вычтем $800$ из обеих частей уравнения.

$- 100 x^{3} - 800 = 0$

Этап 5.5.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем множитель $- 100$ из $- 100 x^{3} - 800$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Вынесем множитель $- 100$ из $- 100 x^{3}$ .

$- 100 x^{3} - 800 = 0$

Этап 5.5.3.1.2

Вынесем множитель $- 100$ из $- 800$ .

$- 100 x^{3} - 100 \cdot 8 = 0$

Этап 5.5.3.1.3

Вынесем множитель $- 100$ из $- 100 (x^{3}) - 100 (8)$ .

$- 100 (x^{3} + 8) = 0$

Этап 5.5.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$- 100 (x^{3} + 2^{3}) = 0$

Этап 5.5.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$- 100 ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Этап 5.5.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.4.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 100 ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

Этап 5.5.3.4.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 100 ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

Этап 5.5.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 100 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Этап 5.5.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Этап 5.5.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 5.5.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5.5.6

Приравняем $x^{2} - 2 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.1

Приравняем $x^{2} - 2 x + 4$ к $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Этап 5.5.6.2

Решим $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.6.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 5.5.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.6.2.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 5.5.6.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Этап 5.5.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.6.2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 5.5.6.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Этап 5.5.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Этап 5.5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 100 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ верно.

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{800}{x^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 6.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2400}{{(- 2)}^{4}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$- \frac{2400}{16}$

Этап 9.2

Разделим $2400$ на $16$ .

$- 1 \cdot 150$

Этап 9.3

Умножим $- 1$ на $150$ .

$- 150$

Этап 10

$x = - 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 100 ((- 2) - \frac{4}{{(- 2)}^{2}})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 100 (- 2 - \frac{4}{4})$

Этап 11.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (- 2) = 100 (- 2 - \frac{4}{4})$

Этап 11.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (- 2) = 100 (- 2 - 1 \cdot 1)$

Этап 11.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (- 2) = 100 (- 2 - 1)$

Этап 11.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$f (- 2) = 100 \cdot - 3$

Этап 11.2.2.2

Умножим $100$ на $- 3$ .

$f (- 2) = - 300$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 300$ .

$y = - 300$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 100 (x - \frac{4}{x^{2}})$ .

$(- 2, - 300)$ — локальный максимум

Этап 13