Математический анализ Примеры

Поскольку ${\displaystyle 10}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 10x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 10\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle 10}$ на ${\displaystyle 1}$.

С помощью ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ запишем ${\displaystyle \sqrt{1296+{(79-x)}^2}}$ в виде ${\displaystyle {(1296+{(79-x)}^2)}^{\frac{1}{2}}}$.

Поскольку ${\displaystyle 26}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 26{(1296+{(79-x)}^2)}^{\frac{1}{2}}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 26\frac{d}{dx}\left[{(1296+{(79-x)}^2)}^{\frac{1}{2}}\right]}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=1296+{(79-x)}^2}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 1296+{(79-x)}^2}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[1296\right]+\frac{d}{dx}\left[{(79-x)}^2\right]}$.

Поскольку ${\displaystyle 1296}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 1296}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=79-x}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 79-x}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[79\right]+\frac{d}{dx}[-x]}$.

Поскольку ${\displaystyle 79}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 79}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle 1}$.

Вычтем ${\displaystyle 1}$ из ${\displaystyle 0}$.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle 2}$.

Вычтем ${\displaystyle 2(79-x)}$ из ${\displaystyle 0}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ и ${\displaystyle {(1296+{(79-x)}^2)}^{-\frac{1}{2}}}$.

Объединим ${\displaystyle -2}$ и ${\displaystyle \frac{{(1296+{(79-x)}^2)}^{-\frac{1}{2}}}{2}}$.

Перенесем ${\displaystyle {(1296+{(79-x)}^2)}^{-\frac{1}{2}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Вынесем множитель ${\displaystyle 2}$ из ${\displaystyle -2}$.

Сократим общие множители.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle 26}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{{(1296+{(79-x)}^2)}^{\frac{1}{2}}}}$ и ${\displaystyle -26}$.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -(79-x)\frac{26}{{(1296+{(79-x)}^2)}^{\frac{1}{2}}}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{d}{dx}\left[(79-x)\frac{26}{{(1296+{(79-x)}^2)}^{\frac{1}{2}}}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=79-x}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{26}{{(1296+{(79-x)}^2)}^{\frac{1}{2}}}}$.

Поскольку ${\displaystyle 26}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{26}{{(1296+{(79-x)}^2)}^{\frac{1}{2}}}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 26\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{{(1296+{(79-x)}^2)}^{\frac{1}{2}}}\right]}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{{(1296+{(79-x)}^2)}^{\frac{1}{2}}}}$ в виде ${\displaystyle {\left({(1296+{(79-x)}^2)}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)={(1296+{(79-x)}^2)}^{\frac{1}{2}}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=1296+{(79-x)}^2}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 1296+{(79-x)}^2}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[1296\right]+\frac{d}{dx}\left[{(79-x)}^2\right]}$.

Поскольку ${\displaystyle 1296}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 1296}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=79-x}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 79-x}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[79\right]+\frac{d}{dx}[-x]}$.

Поскольку ${\displaystyle 79}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 79}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -x}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.