Математический анализ Примеры

$f (x) = 13 x^{2} + \frac{12 x}{5} - 3 x \cdot \frac{5}{2 x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $13 x^{2} + \frac{12 x}{5} - 3 x \cdot \frac{5}{2 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12 x}{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cdot \frac{5}{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12 x}{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cdot \frac{5}{2 x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [13 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $13$ является константой относительно $x$ , производная $13 x^{2}$ по $x$ равна $13 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$13 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12 x}{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cdot \frac{5}{2 x}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$13 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{12 x}{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cdot \frac{5}{2 x}]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $13$ .

$26 x + \frac{d}{d x} [\frac{12 x}{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cdot \frac{5}{2 x}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{12 x}{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $\frac{12}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{12 x}{5}$ по $x$ равна $\frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$26 x + \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cdot \frac{5}{2 x}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$26 x + \frac{12}{5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \cdot \frac{5}{2 x}]$

Этап 1.3.3

Умножим $\frac{12}{5}$ на $1$ .

$26 x + \frac{12}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x \cdot \frac{5}{2 x}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x \cdot \frac{5}{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $- 3$ и $\frac{5}{2 x}$ .

$26 x + \frac{12}{5} + \frac{d}{d x} [x \cdot \frac{- 3 \cdot 5}{2 x}]$

Этап 1.4.2

Умножим $- 3$ на $5$ .

$26 x + \frac{12}{5} + \frac{d}{d x} [x \cdot \frac{- 15}{2 x}]$

Этап 1.4.3

Объединим $x$ и $\frac{- 15}{2 x}$ .

$26 x + \frac{12}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{x \cdot - 15}{2 x}]$

Этап 1.4.4

Перенесем $- 15$ влево от $x$ .

$26 x + \frac{12}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{- 15 \cdot x}{2 x}]$

Этап 1.4.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Сократим общий множитель.

$26 x + \frac{12}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{- 15 x}{2 x}]$

Этап 1.4.5.2

Перепишем это выражение.

$26 x + \frac{12}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{- 15}{2}]$

Этап 1.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$26 x + \frac{12}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2}]$

Этап 1.4.7

Поскольку $- \frac{15}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{15}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$26 x + \frac{12}{5} + 0$

Этап 1.5

Добавим $26 x + \frac{12}{5}$ и $0$ .

$26 x + \frac{12}{5}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $26 x + \frac{12}{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [26 x] + \frac{d}{d x} [\frac{12}{5}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (26 x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{5})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [26 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $26$ является константой относительно $x$ , производная $26 x$ по $x$ равна $26 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 26 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{12}{5})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 26 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{5})$

Этап 2.2.3

Умножим $26$ на $1$ .

$f'' (x) = 26 + \frac{d}{d x} (\frac{12}{5})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{12}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{12}{5}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 26 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $26$ и $0$ .

$f'' (x) = 26$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$26 x + \frac{12}{5} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12 x}{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cdot \frac{5}{2 x}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [13 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $13$ является константой относительно $x$ , производная $13 x^{2}$ по $x$ равна $13 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$13 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{12 x}{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cdot \frac{5}{2 x}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$13 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{12 x}{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cdot \frac{5}{2 x}]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $13$ .

$26 x + \frac{d}{d x} [\frac{12 x}{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cdot \frac{5}{2 x}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{12 x}{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $\frac{12}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{12 x}{5}$ по $x$ равна $\frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$26 x + \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cdot \frac{5}{2 x}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$26 x + \frac{12}{5} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x \cdot \frac{5}{2 x}]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $\frac{12}{5}$ на $1$ .

$26 x + \frac{12}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x \cdot \frac{5}{2 x}]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x \cdot \frac{5}{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Объединим $- 3$ и $\frac{5}{2 x}$ .

$26 x + \frac{12}{5} + \frac{d}{d x} [x \cdot \frac{- 3 \cdot 5}{2 x}]$

Этап 4.1.4.2

Умножим $- 3$ на $5$ .

$26 x + \frac{12}{5} + \frac{d}{d x} [x \cdot \frac{- 15}{2 x}]$

Этап 4.1.4.3

Объединим $x$ и $\frac{- 15}{2 x}$ .

$26 x + \frac{12}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{x \cdot - 15}{2 x}]$

Этап 4.1.4.4

Перенесем $- 15$ влево от $x$ .

$26 x + \frac{12}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{- 15 \cdot x}{2 x}]$

Этап 4.1.4.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.5.1

Сократим общий множитель.

$26 x + \frac{12}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{- 15 x}{2 x}]$

Этап 4.1.4.5.2

Перепишем это выражение.

$26 x + \frac{12}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{- 15}{2}]$

Этап 4.1.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$26 x + \frac{12}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2}]$

Этап 4.1.4.7

Поскольку $- \frac{15}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{15}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$26 x + \frac{12}{5} + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $26 x + \frac{12}{5}$ и $0$ .

$f' (x) = 26 x + \frac{12}{5}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $26 x + \frac{12}{5}$ .

$26 x + \frac{12}{5}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $26 x + \frac{12}{5} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$26 x + \frac{12}{5} = 0$

Этап 5.2

Вычтем $\frac{12}{5}$ из обеих частей уравнения.

$26 x = - \frac{12}{5}$

Этап 5.3

Разделим каждый член $26 x = - \frac{12}{5}$ на $26$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $26 x = - \frac{12}{5}$ на $26$ .

$\frac{26 x}{26} = \frac{- \frac{12}{5}}{26}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{26 x}{26} = \frac{- \frac{12}{5}}{26}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{12}{5}}{26}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{26}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{12}{5}$ в числитель.

$x = \frac{- 12}{5} \cdot \frac{1}{26}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$x = \frac{2 (- 6)}{5} \cdot \frac{1}{26}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $26$ .

$x = \frac{2 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot 13}$

Этап 5.3.3.2.4

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{1}{2 \cdot 13}$

Этап 5.3.3.2.5

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 6}{5} \cdot \frac{1}{13}$

Этап 5.3.3.3

Умножим $\frac{- 6}{5}$ на $\frac{1}{13}$ .

$x = \frac{- 6}{5 \cdot 13}$

Этап 5.3.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Умножим $5$ на $13$ .

$x = \frac{- 6}{65}$

Этап 5.3.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{6}{65}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{6}{65}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{6}{65}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$26$

Этап 9

$x = - \frac{6}{65}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{6}{65}$ — локальный минимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = - \frac{6}{65}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{6}{65}$ .

$f (- \frac{6}{65}) = 13 {(- \frac{6}{65})}^{2} + \frac{12 (- \frac{6}{65})}{5} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{2 (- \frac{6}{65})}$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{6}{65}$ .

$f (- \frac{6}{65}) = 13 ({(- 1)}^{2} {(\frac{6}{65})}^{2}) + \frac{12 (- \frac{6}{65})}{5} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{2 (- \frac{6}{65})}$

Этап 10.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{6}{65}$ .

$f (- \frac{6}{65}) = 13 ({(- 1)}^{2} (\frac{6^{2}}{65^{2}})) + \frac{12 (- \frac{6}{65})}{5} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{2 (- \frac{6}{65})}$

Этап 10.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{6}{65}) = 13 (1 (\frac{6^{2}}{65^{2}})) + \frac{12 (- \frac{6}{65})}{5} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{2 (- \frac{6}{65})}$

Этап 10.2.1.3

Умножим $\frac{6^{2}}{65^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{6}{65}) = 13 (\frac{6^{2}}{65^{2}}) + \frac{12 (- \frac{6}{65})}{5} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{2 (- \frac{6}{65})}$

Этап 10.2.1.4

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (- \frac{6}{65}) = 13 (\frac{36}{65^{2}}) + \frac{12 (- \frac{6}{65})}{5} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{2 (- \frac{6}{65})}$

Этап 10.2.1.5

Возведем $65$ в степень $2$ .

$f (- \frac{6}{65}) = 13 (\frac{36}{4225}) + \frac{12 (- \frac{6}{65})}{5} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{2 (- \frac{6}{65})}$

Этап 10.2.1.6

Сократим общий множитель $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.1

Вынесем множитель $13$ из $4225$ .

$f (- \frac{6}{65}) = 13 (\frac{36}{13 (325)}) + \frac{12 (- \frac{6}{65})}{5} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{2 (- \frac{6}{65})}$

Этап 10.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{6}{65}) = 13 (\frac{36}{13 \cdot 325}) + \frac{12 (- \frac{6}{65})}{5} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{2 (- \frac{6}{65})}$

Этап 10.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} + \frac{12 (- \frac{6}{65})}{5} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{2 (- \frac{6}{65})}$

Этап 10.2.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.7.1

Умножим $- 1$ на $12$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} + \frac{- 12 (\frac{6}{65})}{5} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{2 (- \frac{6}{65})}$

Этап 10.2.1.7.2

Объединим $- 12$ и $\frac{6}{65}$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} + \frac{\frac{- 12 \cdot 6}{65}}{5} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{2 (- \frac{6}{65})}$

Этап 10.2.1.8

Умножим $- 12$ на $6$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} + \frac{\frac{- 72}{65}}{5} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{2 (- \frac{6}{65})}$

Этап 10.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} + \frac{- \frac{72}{65}}{5} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{2 (- \frac{6}{65})}$

Этап 10.2.1.10

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{65} \cdot \frac{1}{5} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{2 (- \frac{6}{65})}$

Этап 10.2.1.11

Умножим $- \frac{72}{65} \cdot \frac{1}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.11.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{72}{65}$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{5 \cdot 65} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{2 (- \frac{6}{65})}$

Этап 10.2.1.11.2

Умножим $5$ на $65$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{2 (- \frac{6}{65})}$

Этап 10.2.1.12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.12.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{- 2 (\frac{6}{65})}$

Этап 10.2.1.12.2

Объединим $- 2$ и $\frac{6}{65}$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{\frac{- 2 \cdot 6}{65}}$

Этап 10.2.1.13

Умножим $- 2$ на $6$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{\frac{- 12}{65}}$

Этап 10.2.1.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} - 3 (- \frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{- \frac{12}{65}}$

Этап 10.2.1.15

Умножим $- 3 (- \frac{6}{65})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.15.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + 3 (\frac{6}{65}) \cdot \frac{5}{- \frac{12}{65}}$

Этап 10.2.1.15.2

Объединим $3$ и $\frac{6}{65}$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + \frac{3 \cdot 6}{65} \cdot \frac{5}{- \frac{12}{65}}$

Этап 10.2.1.15.3

Умножим $3$ на $6$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + \frac{18}{65} \cdot \frac{5}{- \frac{12}{65}}$

Этап 10.2.1.16

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.16.1

Вынесем множитель $5$ из $65$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + \frac{18}{5 (13)} \cdot \frac{5}{- \frac{12}{65}}$

Этап 10.2.1.16.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + \frac{18}{5 \cdot 13} \cdot \frac{5}{- \frac{12}{65}}$

Этап 10.2.1.16.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + \frac{18}{13} \cdot \frac{1}{- \frac{12}{65}}$

Этап 10.2.1.17

Умножим $\frac{18}{13}$ на $\frac{1}{- \frac{12}{65}}$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + \frac{18}{13 (- \frac{12}{65})}$

Этап 10.2.1.18

Умножим $- 1$ на $13$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + \frac{18}{- 13 (\frac{12}{65})}$

Этап 10.2.1.19

Объединим $- 13$ и $\frac{12}{65}$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + \frac{18}{\frac{- 13 \cdot 12}{65}}$

Этап 10.2.1.20

Умножим $- 13$ на $12$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + \frac{18}{\frac{- 156}{65}}$

Этап 10.2.1.21

Сократим общий множитель $- 156$ и $65$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.21.1

Вынесем множитель $13$ из $- 156$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + \frac{18}{\frac{13 (- 12)}{65}}$

Этап 10.2.1.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.21.2.1

Вынесем множитель $13$ из $65$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + \frac{18}{\frac{13 \cdot - 12}{13 \cdot 5}}$

Этап 10.2.1.21.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + \frac{18}{\frac{13 \cdot - 12}{13 \cdot 5}}$

Этап 10.2.1.21.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + \frac{18}{\frac{- 12}{5}}$

Этап 10.2.1.22

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + 18 (\frac{5}{- 12})$

Этап 10.2.1.23

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.23.1

Вынесем множитель $6$ из $18$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + 6 (3) (\frac{5}{- 12})$

Этап 10.2.1.23.2

Вынесем множитель $6$ из $- 12$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + 6 \cdot (3 (\frac{5}{6 \cdot - 2}))$

Этап 10.2.1.23.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + 6 \cdot (3 (\frac{5}{6 \cdot - 2}))$

Этап 10.2.1.23.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + 3 (\frac{5}{- 2})$

Этап 10.2.1.24

Объединим $3$ и $\frac{5}{- 2}$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + \frac{3 \cdot 5}{- 2}$

Этап 10.2.1.25

Умножим $3$ на $5$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} + \frac{15}{- 2}$

Этап 10.2.1.26

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36}{325} - \frac{72}{325} - \frac{15}{2}$

Этап 10.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{36 - 72}{325} + \frac{- 15}{2}$

Этап 10.2.2.2

Вычтем $72$ из $36$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{- 36}{325} + \frac{- 15}{2}$

Этап 10.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{6}{65}) = - \frac{36}{325} + \frac{- 15}{2}$

Этап 10.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{6}{65}) = - \frac{36}{325} - \frac{15}{2}$

Этап 10.2.4

Чтобы записать $- \frac{36}{325}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{6}{65}) = - \frac{36}{325} \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

Этап 10.2.5

Чтобы записать $- \frac{15}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{325}{325}$ .

$f (- \frac{6}{65}) = - \frac{36}{325} \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2} \cdot \frac{325}{325}$

Этап 10.2.6

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $650$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1

Умножим $\frac{36}{325}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{6}{65}) = - \frac{36 \cdot 2}{325 \cdot 2} - \frac{15}{2} \cdot \frac{325}{325}$

Этап 10.2.6.2

Умножим $325$ на $2$ .

$f (- \frac{6}{65}) = - \frac{36 \cdot 2}{650} - \frac{15}{2} \cdot \frac{325}{325}$

Этап 10.2.6.3

Умножим $\frac{15}{2}$ на $\frac{325}{325}$ .

$f (- \frac{6}{65}) = - \frac{36 \cdot 2}{650} - \frac{15 \cdot 325}{2 \cdot 325}$

Этап 10.2.6.4

Умножим $2$ на $325$ .

$f (- \frac{6}{65}) = - \frac{36 \cdot 2}{650} - \frac{15 \cdot 325}{650}$

Этап 10.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{- 36 \cdot 2 - 15 \cdot 325}{650}$

Этап 10.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.8.1

Умножим $- 36$ на $2$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{- 72 - 15 \cdot 325}{650}$

Этап 10.2.8.2

Умножим $- 15$ на $325$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{- 72 - 4875}{650}$

Этап 10.2.8.3

Вычтем $4875$ из $- 72$ .

$f (- \frac{6}{65}) = \frac{- 4947}{650}$

Этап 10.2.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{6}{65}) = - \frac{4947}{650}$

Этап 10.2.10

Окончательный ответ: $- \frac{4947}{650}$ .

$y = - \frac{4947}{650}$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (x) = 13 x^{2} + \frac{12 x}{5} - 3 x \cdot \frac{5}{2 x}$ .

$(- \frac{6}{65}, - \frac{4947}{650})$ — локальный минимум

Этап 12