Математический анализ Примеры

$f (x) = 18 (x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 (x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [(x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [(x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 3$ и $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$18 ((x - 3) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g (x) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$18 ((x - 3) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.7.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.8.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.8.3

Перенесем ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.9

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Добавим $1$ и $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.12.2

Умножим $x - 3$ на $1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.13

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Этап 1.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Этап 1.15

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0))$

Этап 1.16

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.1

Добавим $1$ и $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1)$

Этап 1.16.2

Умножим ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.17.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.2.1

Объединим $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ и $18$ .

$\frac{2 \cdot 18}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.17.2.2

Умножим $2$ на $18$ .

$\frac{36}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.17.2.3

Вынесем множитель $3$ из $36$ .

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.17.2.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 12}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.17.2.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.17.2.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.17.3

Изменим порядок членов.

$(x - 3) \frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.17.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.4.1

Умножим $x - 3$ на $\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(x - 3) \cdot 12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.17.4.2

Перенесем $12$ влево от $x - 3$ .

$\frac{12 (x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1.17.5

Чтобы записать $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{12 (x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.17.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{12 (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.17.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.7.1

Вынесем множитель $6$ из $12 (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.7.1.1

Вынесем множитель $6$ из $12 (x - 3)$ .

$\frac{6 (2 (x - 3)) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.17.7.1.2

Вынесем множитель $6$ из $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6 (2 (x - 3)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.17.7.1.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (2 (x - 3)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{6 (2 (x - 3) + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.17.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 (2 x + 2 \cdot - 3 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.17.7.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.17.7.4

Умножим ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.7.4.1

Перенесем ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.17.7.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.17.7.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.17.7.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{3}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.17.7.4.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{1})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.17.7.5

Упростим $3 {(x - 1)}^{1}$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.17.7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 x + 3 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.17.7.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.17.7.8

Добавим $2 x$ и $3 x$ .

$\frac{6 (5 x - 6 - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.17.7.9

Вычтем $3$ из $- 6$ .

$\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 9}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{5 x - 9}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 5 x - 9$ и $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x - 9) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}})$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x - 9) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}})$

Этап 2.3.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x - 9) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $5 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.3.5

Умножим $5$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 + 0) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Добавим $5$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5 - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.3.7.2

Перенесем $5$ влево от ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.6

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.8.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.9.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.9.3

Перенесем ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.10

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + 0))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.13.2

Умножим $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.13.3

Объединим $6$ и $\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 ((- (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.3.1

Вынесем множитель $6$ из $6 \cdot 5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 6 (- 1 \cdot 5 x - - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.3.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 \cdot 5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 (- 1 \cdot (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.1.2

Вынесем множитель $6$ из $6 (- 1 \cdot 5 x - - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 ((- 1 \cdot (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.1.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 ((- 1 \cdot 5 x - - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- 1 \cdot (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.3.2.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- 5 x + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- 5 x + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.3

Умножим $- 5 x + 9$ на $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.4

Чтобы записать $5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.5

Объединим $5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.7

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.8

Перепишем $\frac{3 \cdot 5 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.3.8.1

Умножим ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.3.8.1.1

Перенесем ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.8.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.8.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.8.1.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{3}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.8.1.5

Разделим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 (x - 1)) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.8.2

Упростим $3 \cdot 5 {(x - 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 (x - 1)) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.8.3

Умножим $3$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{15 (x - 1) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.8.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{15 x + 15 \cdot - 1 - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.8.5

Умножим $15$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{15 x - 15 - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.8.6

Вычтем $5 x$ из $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{10 x - 15 + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.8.7

Добавим $- 15$ и $9$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{10 x - 6}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.8.8

Вынесем множитель $2$ из $10 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.3.8.8.1

Вынесем множитель $2$ из $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{2 (5 x) - 6}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.8.8.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{2 (5 x) + 2 (- 3)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.3.8.8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (5 x) + 2 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{2 (5 x - 3)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.4.1

Объединим $6$ и $\frac{2 (5 x - 3)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (2 (5 x - 3))}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.4.2

Умножим $2$ на $6$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{12 (5 x - 3)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.4.3

Вынесем множитель $3$ из $12 (5 x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (4 (5 x - 3))}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.4.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (4 (5 x - 3))}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.4.4.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (4 (5 x - 3))}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.4.4.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.4.5

Перепишем $\frac{\frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ в виде произведения.

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.4.6

Умножим $\frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ на $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.4.7

Умножим ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.4.7.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Этап 2.14.4.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Этап 2.14.4.7.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$18 \frac{d}{d x} [(x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Этап 4.1.2

$18 ((x - 3) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 4.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$18 ((x - 3) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 4.1.3.2

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 4.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 4.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 4.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 4.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 4.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 4.1.7.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 4.1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 4.1.8.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 4.1.8.3

Перенесем ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 4.1.9

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 4.1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 4.1.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 4.1.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.12.1

Добавим $1$ и $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 4.1.12.2

Умножим $x - 3$ на $1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 4.1.13

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Этап 4.1.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Этап 4.1.15

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0))$

Этап 4.1.16

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.16.1

Добавим $1$ и $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1)$

Этап 4.1.16.2

Умножим ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Этап 4.1.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.17.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.2.1

Объединим $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ и $18$ .

$\frac{2 \cdot 18}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.17.2.2

Умножим $2$ на $18$ .

$\frac{36}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.17.2.3

Вынесем множитель $3$ из $36$ .

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.17.2.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 12}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.17.2.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.17.2.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.17.3

Изменим порядок членов.

$(x - 3) \frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.17.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.4.1

Умножим $x - 3$ на $\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(x - 3) \cdot 12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.17.4.2

Перенесем $12$ влево от $x - 3$ .

$\frac{12 (x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.1.17.5

$\frac{12 (x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.17.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{12 (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.17.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.7.1

Вынесем множитель $6$ из $12 (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.7.1.1

Вынесем множитель $6$ из $12 (x - 3)$ .

$\frac{6 (2 (x - 3)) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.17.7.1.2

Вынесем множитель $6$ из $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6 (2 (x - 3)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.17.7.1.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (2 (x - 3)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{6 (2 (x - 3) + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.17.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 (2 x + 2 \cdot - 3 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.17.7.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.17.7.4

Умножим ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ на ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.7.4.1

Перенесем ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.17.7.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.17.7.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.17.7.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{3}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.17.7.4.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{1})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.17.7.5

Упростим $3 {(x - 1)}^{1}$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.17.7.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 x + 3 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.17.7.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.17.7.8

Добавим $2 x$ и $3 x$ .

$\frac{6 (5 x - 6 - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.1.17.7.9

Вычтем $3$ из $- 6$ .

$f' (x) = \frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$6 (5 x - 9) = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $6 (5 x - 9) = 0$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Разделим каждый член $6 (5 x - 9) = 0$ на $6$ .

$\frac{6 (5 x - 9)}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 5.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (5 x - 9)}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 5.3.1.2.1.2

Разделим $5 x - 9$ на $1$ .

$5 x - 9 = \frac{0}{6}$

Этап 5.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Разделим $0$ на $6$ .

$5 x - 9 = 0$

Этап 5.3.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 9$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $5 x = 9$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $5 x = 9$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{9}{5}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{9}{5}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{9}{5}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{6 (5 x - 9)}{\sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}}$

Этап 6.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{6 (5 x - 9)}{\sqrt[3]{x - 1}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{6 (5 x - 9)}{\sqrt[3]{x - 1}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[3]{x - 1} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{x - 1}}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Упростим.

$x - 1 = 0^{3}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 6.3.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{9}{5}, 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{9}{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4 (5 (\frac{9}{5}) - 3)}{{((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (5 (\frac{9}{5}) - 3)}{{(\frac{9}{5} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (9 - 3)}{{(\frac{9}{5} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.1.2

Вычтем $3$ из $9$ .

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9}{5} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.2.2

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9 - 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9 - 5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.2.4.2

Вычтем $5$ из $9$ .

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{4}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.2.5

Применим правило умножения к $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 6}{\frac{4^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Этап 9.3

Умножим $4$ на $6$ .

$\frac{24}{\frac{4^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Этап 9.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$24 \frac{5^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 9.5

Объединим $24$ и $\frac{5^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{24 \cdot 5^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$

Этап 10

$x = \frac{9}{5}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{9}{5}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{9}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{9}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = 18 ((\frac{9}{5}) - 3) {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{9}{5} - 3 \cdot \frac{5}{5}) {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{9}{5} + \frac{- 3 \cdot 5}{5}) {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{9 - 3 \cdot 5}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $- 3$ на $5$ .

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{9 - 15}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.4.2

Вычтем $15$ из $9$ .

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{- 6}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{9}{5}) = 18 (- \frac{6}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.6

Умножим $18 (- \frac{6}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1

Умножим $- 1$ на $18$ .

$f (\frac{9}{5}) = - 18 (\frac{6}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.6.2

Объединим $- 18$ и $\frac{6}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = \frac{- 18 \cdot 6}{5} \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.6.3

Умножим $- 18$ на $6$ .

$f (\frac{9}{5}) = \frac{- 108}{5} \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.9

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{9 - 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.11.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{9 - 5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.11.2

Вычтем $5$ из $9$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{4}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 11.2.12

Применим правило умножения к $\frac{4}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot \frac{4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Этап 11.2.13

Умножим $- \frac{108}{5} \cdot \frac{4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.13.1

Умножим $\frac{4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ на $\frac{108}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Этап 11.2.13.2

Умножим $5^{\frac{2}{3}}$ на $5$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.13.2.1

Умножим $5^{\frac{2}{3}}$ на $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.13.2.1.1

Возведем $5$ в степень $1$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Этап 11.2.13.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2}{3} + 1}}$

Этап 11.2.13.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}}}$

Этап 11.2.13.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2 + 3}{3}}}$

Этап 11.2.13.2.4

Добавим $2$ и $3$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{5}{3}}}$

Этап 11.2.14

Перенесем $108$ влево от $4^{\frac{2}{3}}$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108 \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

Этап 11.2.15

Окончательный ответ: $- \frac{108 \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$ .

$y = - \frac{108 \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{{((1) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0^{\frac{4}{3}}}$

Этап 13.1.2

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{{(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 13.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Этап 13.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0^{4}}$

Этап 13.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0}$

Этап 13.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 1) \cup (1, \frac{9}{5}) \cup (\frac{9}{5}, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, 1)$ в первую производную $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{6 (5 (0) - 9)}{{((0) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1.1

Умножим $5$ на $0$ .

$f' (0) = \frac{6 (0 - 9)}{{(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.2.2.1.2

Вычтем $9$ из $0$ .

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.2.2.2.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.2.2.2.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Этап 14.2.2.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Этап 14.2.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{- 1}$

Этап 14.2.2.2.5

Найдем экспоненту.

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{- 1}$

Этап 14.2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.3.1

Умножим $6$ на $- 9$ .

$f' (0) = \frac{- 54}{- 1}$

Этап 14.2.2.3.2

Разделим $- 54$ на $- 1$ .

$f' (0) = 54$

Этап 14.2.2.4

Окончательный ответ: $54$ .

$54$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $1.4$ , из интервала $(1, \frac{9}{5})$ в первую производную $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.4$ .

$f' (1.4) = \frac{6 (5 (1.4) - 9)}{{((1.4) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1.1

Умножим $5$ на $1.4$ .

$f' (1.4) = \frac{6 (7 - 9)}{{(1.4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.3.2.1.2

Вычтем $9$ из $7$ .

$f' (1.4) = \frac{6 \cdot - 2}{{(1.4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.2.1

Вычтем $1$ из $1.4$ .

$f' (1.4) = \frac{6 \cdot - 2}{{0.4}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.3.2.2.2

Возведем $0.4$ в степень $\frac{1}{3}$ .

$f' (1.4) = \frac{6 \cdot - 2}{0.73680629}$

Этап 14.3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.3.1

Умножим $6$ на $- 2$ .

$f' (1.4) = \frac{- 12}{0.73680629}$

Этап 14.3.2.3.2

Разделим $- 12$ на $0.73680629$ .

$f' (1.4) = - 16.28650569$

Этап 14.3.2.4

Окончательный ответ: $- 16.28650569$ .

$- 16.28650569$

Этап 14.4

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(\frac{9}{5}, \infty)$ в первую производную $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = \frac{6 (5 (4) - 9)}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.1

Умножим $5$ на $4$ .

$f' (4) = \frac{6 (20 - 9)}{{(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.4.2.1.2

Вычтем $9$ из $20$ .

$f' (4) = \frac{6 \cdot 11}{{(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.4.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.2.1

Вычтем $1$ из $4$ .

$f' (4) = \frac{6 \cdot 11}{3^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.4.2.2.2

Умножим $6$ на $11$ .

$f' (4) = \frac{66}{3^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.4.2.3

Окончательный ответ: $\frac{66}{3^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{66}{3^{\frac{1}{3}}}$

Этап 14.5

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 1$ , $x = 1$ — локальный максимум.

$x = 1$ — локальный максимум

Этап 14.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \frac{9}{5}$ , $x = \frac{9}{5}$ — локальный минимум.

$x = \frac{9}{5}$ — локальный минимум

Этап 14.7

Это локальные экстремумы $f (x) = 18 (x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = 1$ — локальный максимум

$x = \frac{9}{5}$ — локальный минимум

$x = 1$ — локальный максимум

$x = \frac{9}{5}$ — локальный минимум

Этап 15