Математический анализ Примеры

Поскольку ${\displaystyle -2}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{2x}{{(x^2-1)}^2}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -2\frac{d}{dx}\left[\frac{x}{{(x^2-1)}^2}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)={(x^2-1)}^2}$.

Продифференцируем, используя правило степени.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^2}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^2-1}$.

Упростим с помощью разложения.

Сократим общие множители.

По правилу суммы производная ${\displaystyle x^2-1}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^2\right]+\frac{d}{dx}[-1]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=2}$.

Поскольку ${\displaystyle -1}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -1}$ относительно ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Упростим выражение.

Возведем ${\displaystyle x}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Возведем ${\displaystyle x}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Применим правило степени ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ для объединения показателей.

Добавим ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 1}$.

Вычтем ${\displaystyle 4x^2}$ из ${\displaystyle x^2}$.

Объединим ${\displaystyle -2}$ и ${\displaystyle \frac{-3x^2-1}{{(x^2-1)}^3}}$.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Упростим.

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=-1}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{-6x^2-2}{{(x^2-1)}^3}}$.

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=-6x^2-2}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)={(x^2-1)}^3}$.

Продифференцируем.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^3}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^2-1}$.

Продифференцируем.

Упростим.