Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \sin^{2} (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin^{2} (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x)$

Этап 1.5

Изменим порядок множителей в $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \cos (x) \sin (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Этап 2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Этап 2.4

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Этап 2.5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 4 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Этап 2.8

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Этап 2.9

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Этап 2.10

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Этап 2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Этап 2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Этап 2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) + 4 (- \sin^{2} (x))$

Этап 2.13.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 \cos (x) \sin (x) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Этап 5

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 5.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 5.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.2.5

Решение уравнения $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Этап 6

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 6.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 6.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 6.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 6.2.5

Решение уравнения $x = 0$ .

$x = 0, π$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 \cos (x) \sin (x) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 4 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$4 \cdot 0^{2} - 4 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Этап 9.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 \cdot 0 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Этап 9.1.3

Умножим $4$ на $0$ .

$0 - 4 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Этап 9.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 - 4 \cdot 1^{2}$

Этап 9.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$0 - 4 \cdot 1$

Этап 9.1.6

Умножим $- 4$ на $1$ .

$0 - 4$

Этап 9.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 4$

Этап 10

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1^{2}$

Этап 11.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1$

Этап 11.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) - 4 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$4 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 4 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Этап 13.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$4 \cdot 0^{2} - 4 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Этап 13.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 \cdot 0 - 4 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Этап 13.1.4

Умножим $4$ на $0$ .

$0 - 4 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Этап 13.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$0 - 4 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

Этап 13.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 - 4 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Этап 13.1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 4 {(- 1)}^{2}$

Этап 13.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Этап 13.1.9

Умножим $- 4$ на $1$ .

$0 - 4$

Этап 13.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 4$

Этап 14

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

Этап 15.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Этап 15.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 {(- 1)}^{2}$

Этап 15.2.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot 1$

Этап 15.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 \cos^{2} (0) - 4 \sin^{2} (0)$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$4 \cdot 1^{2} - 4 \sin^{2} (0)$

Этап 17.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$4 \cdot 1 - 4 \sin^{2} (0)$

Этап 17.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 - 4 \sin^{2} (0)$

Этап 17.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$4 - 4 \cdot 0^{2}$

Этап 17.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 - 4 \cdot 0$

Этап 17.1.6

Умножим $- 4$ на $0$ .

$4 + 0$

Этап 17.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

Этап 18

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 \sin^{2} (0)$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0^{2}$

Этап 19.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0$

Этап 19.2.3

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 19.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 20

Найдем вторую производную в $x = π$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 \cos^{2} (π) - 4 \sin^{2} (π)$

Этап 21

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$4 {(- \cos (0))}^{2} - 4 \sin^{2} (π)$

Этап 21.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$4 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 4 \sin^{2} (π)$

Этап 21.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 {(- 1)}^{2} - 4 \sin^{2} (π)$

Этап 21.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$4 \cdot 1 - 4 \sin^{2} (π)$

Этап 21.1.5

Умножим $4$ на $1$ .

$4 - 4 \sin^{2} (π)$

Этап 21.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$4 - 4 \sin^{2} (0)$

Этап 21.1.7

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$4 - 4 \cdot 0^{2}$

Этап 21.1.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 - 4 \cdot 0$

Этап 21.1.9

Умножим $- 4$ на $0$ .

$4 + 0$

Этап 21.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

Этап 22

$x = π$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = π$ — локальный минимум

Этап 23

Найдем значение y, если $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = 2 \sin^{2} (π)$

Этап 23.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (π) = 2 \sin^{2} (0)$

Этап 23.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (π) = 2 \cdot 0^{2}$

Этап 23.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (π) = 2 \cdot 0$

Этап 23.2.4

Умножим $2$ на $0$ .

$f (π) = 0$

Этап 23.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 24

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 \sin^{2} (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 2)$ — локальный максимум

$(\frac{3 π}{2}, 2)$ — локальный максимум

$(0, 0)$ — локальный минимум

$(π, 0)$ — локальный минимум

Этап 25