Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 {(- 4 x^{2} + 25)}^{2} + 5$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 {(- 4 x^{2} + 25)}^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 {(- 4 x^{2} + 25)}^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(- 4 x^{2} + 25)}^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 {(- 4 x^{2} + 25)}^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 {(- 4 x^{2} + 25)}^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [{(- 4 x^{2} + 25)}^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- 4 x^{2} + 25)}^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = - 4 x^{2} + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 4 x^{2} + 25$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} + 25]) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} + 25]) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 4 x^{2} + 25$ .

$2 (2 (- 4 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} + 25]) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $- 4 x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$2 (2 (- 4 x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (2 (- 4 x^{2} + 25) (- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 (- 4 x^{2} + 25) (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [25])) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.6

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (2 (- 4 x^{2} + 25) (- 4 (2 x) + 0)) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.7

Умножим $2$ на $- 4$ .

$2 (2 (- 4 x^{2} + 25) (- 8 x + 0)) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.8

Добавим $- 8 x$ и $0$ .

$2 (2 (- 4 x^{2} + 25) (- 8 x)) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.9

Умножим $- 8$ на $2$ .

$2 (- 16 (- 4 x^{2} + 25) x) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.10

Умножим $- 16$ на $2$ .

$- 32 (- 4 x^{2} + 25) x + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 32 (- 4 x^{2} + 25) x + 0$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- 32 (- 4 x^{2}) - 32 \cdot 25) x + 0$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 32 (- 4 x^{2}) x - 32 \cdot 25 x + 0$

Этап 1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим $- 4$ на $- 32$ .

$128 x^{2} x - 32 \cdot 25 x + 0$

Этап 1.4.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$128 (x^{1} x^{2}) - 32 \cdot 25 x + 0$

Этап 1.4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$128 x^{1 + 2} - 32 \cdot 25 x + 0$

Этап 1.4.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$128 x^{3} - 32 \cdot 25 x + 0$

Этап 1.4.3.5

Умножим $- 32$ на $25$ .

$128 x^{3} - 800 x + 0$

Этап 1.4.3.6

Добавим $128 x^{3} - 800 x$ и $0$ .

$128 x^{3} - 800 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $128 x^{3} - 800 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [128 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 800 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (128 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 800 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [128 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $128$ является константой относительно $x$ , производная $128 x^{3}$ по $x$ равна $128 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 128 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 800 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 128 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 800 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $128$ .

$f'' (x) = 384 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 800 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 800 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 800$ является константой относительно $x$ , производная $- 800 x$ по $x$ равна $- 800 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 384 x^{2} - 800 \frac{d}{d x} x$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 384 x^{2} - 800 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 800$ на $1$ .

$f'' (x) = 384 x^{2} - 800$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$128 x^{3} - 800 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $2 {(- 4 x^{2} + 25)}^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 {(- 4 x^{2} + 25)}^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(- 4 x^{2} + 25)}^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 {(- 4 x^{2} + 25)}^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$2 \frac{d}{d x} [{(- 4 x^{2} + 25)}^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 4 x^{2} + 25$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} + 25]) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} + 25]) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 4 x^{2} + 25$ .

$2 (2 (- 4 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} + 25]) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.3

По правилу суммы производная $- 4 x^{2} + 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$2 (2 (- 4 x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (2 (- 4 x^{2} + 25) (- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 (- 4 x^{2} + 25) (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [25])) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.6

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (2 (- 4 x^{2} + 25) (- 4 (2 x) + 0)) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.7

Умножим $2$ на $- 4$ .

$2 (2 (- 4 x^{2} + 25) (- 8 x + 0)) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.8

Добавим $- 8 x$ и $0$ .

$2 (2 (- 4 x^{2} + 25) (- 8 x)) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- 8$ на $2$ .

$2 (- 16 (- 4 x^{2} + 25) x) + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.2.10

Умножим $- 16$ на $2$ .

$- 32 (- 4 x^{2} + 25) x + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 4.1.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 32 (- 4 x^{2} + 25) x + 0$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- 32 (- 4 x^{2}) - 32 \cdot 25) x + 0$

Этап 4.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 32 (- 4 x^{2}) x - 32 \cdot 25 x + 0$

Этап 4.1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1

Умножим $- 4$ на $- 32$ .

$128 x^{2} x - 32 \cdot 25 x + 0$

Этап 4.1.4.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$128 (x^{1} x^{2}) - 32 \cdot 25 x + 0$

Этап 4.1.4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$128 x^{1 + 2} - 32 \cdot 25 x + 0$

Этап 4.1.4.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$128 x^{3} - 32 \cdot 25 x + 0$

Этап 4.1.4.3.5

Умножим $- 32$ на $25$ .

$128 x^{3} - 800 x + 0$

Этап 4.1.4.3.6

Добавим $128 x^{3} - 800 x$ и $0$ .

$f' (x) = 128 x^{3} - 800 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $128 x^{3} - 800 x$ .

$128 x^{3} - 800 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $128 x^{3} - 800 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$128 x^{3} - 800 x = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $32 x$ из $128 x^{3} - 800 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $32 x$ из $128 x^{3}$ .

$32 x (4 x^{2}) - 800 x = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $32 x$ из $- 800 x$ .

$32 x (4 x^{2}) + 32 x (- 25) = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $32 x$ из $32 x (4 x^{2}) + 32 x (- 25)$ .

$32 x (4 x^{2} - 25) = 0$

Этап 5.2.2

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$32 x ({(2 x)}^{2} - 25) = 0$

Этап 5.2.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$32 x ({(2 x)}^{2} - 5^{2}) = 0$

Этап 5.2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 x$ и $b = 5$ .

$32 x ((2 x + 5) (2 x - 5)) = 0$

Этап 5.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$32 x (2 x + 5) (2 x - 5) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 x + 5 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $2 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 5$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 5.6

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Этап 5.6.2

Решим $2 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 5$

Этап 5.6.2.2

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 5.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 5.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $32 x (2 x + 5) (2 x - 5) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{5}{2}, \frac{5}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - \frac{5}{2}, \frac{5}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$384 {(0)}^{2} - 800$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$384 \cdot 0 - 800$

Этап 9.1.2

Умножим $384$ на $0$ .

$0 - 800$

Этап 9.2

Вычтем $800$ из $0$ .

$- 800$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 {(- 4 {(0)}^{2} + 25)}^{2} + 5$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 2 {(- 4 \cdot 0 + 25)}^{2} + 5$

Этап 11.2.1.1.2

Умножим $- 4$ на $0$ .

$f (0) = 2 {(0 + 25)}^{2} + 5$

Этап 11.2.1.2

Добавим $0$ и $25$ .

$f (0) = 2 \cdot 25^{2} + 5$

Этап 11.2.1.3

Возведем $25$ в степень $2$ .

$f (0) = 2 \cdot 625 + 5$

Этап 11.2.1.4

Умножим $2$ на $625$ .

$f (0) = 1250 + 5$

Этап 11.2.2

Добавим $1250$ и $5$ .

$f (0) = 1255$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $1255$ .

$y = 1255$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{5}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$384 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 800$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$384 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) - 800$

Этап 13.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$384 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) - 800$

Этап 13.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$384 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) - 800$

Этап 13.1.3

Умножим $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$384 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 800$

Этап 13.1.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$384 \frac{25}{2^{2}} - 800$

Этап 13.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$384 (\frac{25}{4}) - 800$

Этап 13.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $384$ .

$4 (96) \frac{25}{4} - 800$

Этап 13.1.6.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 96 \frac{25}{4} - 800$

Этап 13.1.6.3

Перепишем это выражение.

$96 \cdot 25 - 800$

Этап 13.1.7

Умножим $96$ на $25$ .

$2400 - 800$

Этап 13.2

Вычтем $800$ из $2400$ .

$1600$

Этап 14

$x = - \frac{5}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{5}{2}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 {(- 4 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 25)}^{2} + 5$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 {(- 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 25)}^{2} + 5$

Этап 15.2.1.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 {(- 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 25)}^{2} + 5$

Этап 15.2.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 {(- 4 (1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 25)}^{2} + 5$

Этап 15.2.1.1.3

Умножим $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 {(- 4 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 25)}^{2} + 5$

Этап 15.2.1.1.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 {(- 4 \frac{25}{2^{2}} + 25)}^{2} + 5$

Этап 15.2.1.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 {(- 4 (\frac{25}{4}) + 25)}^{2} + 5$

Этап 15.2.1.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 {(4 (- 1) (\frac{25}{4}) + 25)}^{2} + 5$

Этап 15.2.1.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{5}{2}) = 2 {(4 \cdot (- 1 (\frac{25}{4})) + 25)}^{2} + 5$

Этап 15.2.1.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{5}{2}) = 2 {(- 1 \cdot 25 + 25)}^{2} + 5$

Этап 15.2.1.1.7

Умножим $- 1$ на $25$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 {(- 25 + 25)}^{2} + 5$

Этап 15.2.1.2

Добавим $- 25$ и $25$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 \cdot 0^{2} + 5$

Этап 15.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 \cdot 0 + 5$

Этап 15.2.1.4

Умножим $2$ на $0$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 0 + 5$

Этап 15.2.2

Добавим $0$ и $5$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 5$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$y = 5$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = \frac{5}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$384 {(\frac{5}{2})}^{2} - 800$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$384 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 800$

Этап 17.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$384 \frac{25}{2^{2}} - 800$

Этап 17.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$384 (\frac{25}{4}) - 800$

Этап 17.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $384$ .

$4 (96) \frac{25}{4} - 800$

Этап 17.1.4.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 96 \frac{25}{4} - 800$

Этап 17.1.4.3

Перепишем это выражение.

$96 \cdot 25 - 800$

Этап 17.1.5

Умножим $96$ на $25$ .

$2400 - 800$

Этап 17.2

Вычтем $800$ из $2400$ .

$1600$

Этап 18

$x = \frac{5}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{5}{2}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 {(- 4 {(\frac{5}{2})}^{2} + 25)}^{2} + 5$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 {(- 4 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 25)}^{2} + 5$

Этап 19.2.1.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 {(- 4 \frac{25}{2^{2}} + 25)}^{2} + 5$

Этап 19.2.1.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 {(- 4 (\frac{25}{4}) + 25)}^{2} + 5$

Этап 19.2.1.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 {(4 (- 1) (\frac{25}{4}) + 25)}^{2} + 5$

Этап 19.2.1.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5}{2}) = 2 {(4 \cdot (- 1 (\frac{25}{4})) + 25)}^{2} + 5$

Этап 19.2.1.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5}{2}) = 2 {(- 1 \cdot 25 + 25)}^{2} + 5$

Этап 19.2.1.1.5

Умножим $- 1$ на $25$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 {(- 25 + 25)}^{2} + 5$

Этап 19.2.1.2

Добавим $- 25$ и $25$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 \cdot 0^{2} + 5$

Этап 19.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (\frac{5}{2}) = 2 \cdot 0 + 5$

Этап 19.2.1.4

Умножим $2$ на $0$ .

$f (\frac{5}{2}) = 0 + 5$

Этап 19.2.2

Добавим $0$ и $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = 5$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$y = 5$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 {(- 4 x^{2} + 25)}^{2} + 5$ .

$(0, 1255)$ — локальный максимум

$(- \frac{5}{2}, 5)$ — локальный минимум

$(\frac{5}{2}, 5)$ — локальный минимум

Этап 21