Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 {(\frac{x}{4})}^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{4^{2}}]$

Этап 1.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{16}]$

Этап 1.1.3

Объединим $2$ и $\frac{x^{2}}{16}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{16}]$

Этап 1.1.4

Сократим общий множитель $2$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x^{2})}{16}]$

Этап 1.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Этап 1.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Этап 1.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{8}]$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{1}{8}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{8}$ по $x$ равна $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{8} (2 x)$

Этап 1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{2}{8} x$

Этап 1.4.2

Объединим $\frac{2}{8}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{8}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{8}$

Этап 1.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Этап 1.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{4}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot 1$

Этап 2.3

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{x}{4} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{4^{2}}]$

Этап 4.1.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 \frac{x^{2}}{16}]$

Этап 4.1.1.3

Объединим $2$ и $\frac{x^{2}}{16}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{16}]$

Этап 4.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (x^{2})}{16}]$

Этап 4.1.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Этап 4.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{2 \cdot 8}]$

Этап 4.1.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{8}]$

Этап 4.1.2

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{8} (2 x)$

Этап 4.1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{2}{8} x$

Этап 4.1.4.2

Объединим $\frac{2}{8}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{8}$

Этап 4.1.4.3

Сократим общий множитель $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{8}$

Этап 4.1.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2 \cdot 4}$

Этап 4.1.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{x}{4}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x}{4}$ .

$\frac{x}{4}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x}{4} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x}{4} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{1}{4}$

Этап 9

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 {(\frac{0}{4})}^{2}$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Разделим $0$ на $4$ .

$f (0) = 2 \cdot 0^{2}$

Этап 10.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0$

Этап 10.2.3

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 10.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 {(\frac{x}{4})}^{2}$ .

$(0, 0)$ — локальный минимум

Этап 12