Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} - x + 1$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} - x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} + \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$4 x^{3} + \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$4 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$4 x^{3} + x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$ и $0$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 2 x - 4 + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $12 x^{2} + 2 x - 4$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 2 x - 4$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$4 x^{3} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} + \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$4 x^{3} + \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$4 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$4 x^{3} + x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} + x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 x^{3} + x^{2}) - 4 x - 1 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{2} (4 x + 1) - (4 x + 1) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x + 1$ .

$(4 x + 1) (x^{2} - 1) = 0$

Этап 5.2.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(4 x + 1) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 5.2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(4 x + 1) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 5.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(4 x + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Этап 5.4.2

Решим $4 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 1$

Этап 5.4.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 5.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{4}, - 1, 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{1}{4}, - 1, 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{1}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(- \frac{1}{4})}^{2} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{4}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Этап 9.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}}) + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Этап 9.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$12 (1 \frac{1^{2}}{4^{2}}) + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Этап 9.1.3

Умножим $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ на $1$ .

$12 \frac{1^{2}}{4^{2}} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Этап 9.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$12 \frac{1}{4^{2}} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Этап 9.1.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$12 (\frac{1}{16}) + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Этап 9.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$4 (3) \frac{1}{16} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Этап 9.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 \cdot 4} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Этап 9.1.6.3

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 \cdot 4} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Этап 9.1.6.4

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{1}{4}) + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Этап 9.1.7

Объединим $3$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} + 2 (- \frac{1}{4}) - 4$

Этап 9.1.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4}$ в числитель.

$\frac{3}{4} + 2 (\frac{- 1}{4}) - 4$

Этап 9.1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{3}{4} + 2 \frac{- 1}{2 (2)} - 4$

Этап 9.1.8.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} + 2 \frac{- 1}{2 \cdot 2} - 4$

Этап 9.1.8.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} + \frac{- 1}{2} - 4$

Этап 9.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} - 4$

Этап 9.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 4$

Этап 9.2.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} - 4$

Этап 9.2.3

Запишем $- 4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1}$

Этап 9.2.4

Умножим $\frac{- 4}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 9.2.5

Умножим $\frac{- 4}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Этап 9.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3}{4} - \frac{2}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

Этап 9.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - 2 - 4 \cdot 4}{4}$

Этап 9.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\frac{3 - 2 - 16}{4}$

Этап 9.4.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{1 - 16}{4}$

Этап 9.4.3

Вычтем $16$ из $1$ .

$\frac{- 15}{4}$

Этап 9.4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{15}{4}$

Этап 10

$x = - \frac{1}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{1}{4}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = {(- \frac{1}{4})}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{1}{4})}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = {(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{4^{4}}) + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 1 (\frac{1^{4}}{4^{4}}) + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.3

Умножим $\frac{1^{4}}{4^{4}}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1^{4}}{4^{4}} + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{4^{4}} + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.5

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{4})}^{3} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.6

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.6.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3}) - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.6.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{4^{3}})) - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.7

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1^{3}}{4^{3}}) - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.8

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{4^{3}}) - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.9

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{64}) - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.10

Умножим $\frac{1}{3} (- \frac{1}{64})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.10.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{64}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{3 \cdot 64} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.10.2

Умножим $3$ на $64$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 {(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.11

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.11.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.11.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{4^{2}})) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.12

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 (1 (\frac{1^{2}}{4^{2}})) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.13

Умножим $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 \frac{1^{2}}{4^{2}} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.14

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 \frac{1}{4^{2}} - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.15

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 2 (\frac{1}{16}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.16

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.16.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} + 2 (- 1) (\frac{1}{16}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.16.2

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} + 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 8}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.16.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} + 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 8}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.16.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - 1 (\frac{1}{8}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.17

Перепишем $- 1 (\frac{1}{8})$ в виде $- (\frac{1}{8})$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - (\frac{1}{8}) - (- \frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.18

Умножим $- (- \frac{1}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.18.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - \frac{1}{8} + 1 (\frac{1}{4}) + 1$

Этап 11.2.1.18.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} - \frac{1}{192} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 1$

Этап 11.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Умножим $\frac{1}{256}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{1}{256} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{192} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 1$

Этап 11.2.2.2

Умножим $\frac{1}{256}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{1}{192} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 1$

Этап 11.2.2.3

Умножим $\frac{1}{192}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - (\frac{1}{192} \cdot \frac{4}{4}) - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 1$

Этап 11.2.2.4

Умножим $\frac{1}{192}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + 1$

Этап 11.2.2.5

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{96}{96}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - (\frac{1}{8} \cdot \frac{96}{96}) + \frac{1}{4} + 1$

Этап 11.2.2.6

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{96}{96}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{1}{4} + 1$

Этап 11.2.2.7

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{192}{192}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{1}{4} \cdot \frac{192}{192} + 1$

Этап 11.2.2.8

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{192}{192}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + 1$

Этап 11.2.2.9

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{1}{1}$

Этап 11.2.2.10

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{768}{768}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{1}{1} \cdot \frac{768}{768}$

Этап 11.2.2.11

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{768}{768}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{256 \cdot 3} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{768}{768}$

Этап 11.2.2.12

Изменим порядок множителей в $256 \cdot 3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{3 \cdot 256} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{768}{768}$

Этап 11.2.2.13

Умножим $3$ на $256$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{768} - \frac{4}{192 \cdot 4} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{768}{768}$

Этап 11.2.2.14

Изменим порядок множителей в $192 \cdot 4$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{768} - \frac{4}{4 \cdot 192} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{768}{768}$

Этап 11.2.2.15

Умножим $4$ на $192$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{768} - \frac{4}{768} - \frac{96}{8 \cdot 96} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{768}{768}$

Этап 11.2.2.16

Умножим $8$ на $96$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{768} - \frac{4}{768} - \frac{96}{768} + \frac{192}{4 \cdot 192} + \frac{768}{768}$

Этап 11.2.2.17

Умножим $4$ на $192$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3}{768} - \frac{4}{768} - \frac{96}{768} + \frac{192}{768} + \frac{768}{768}$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{3 - 4 - 96 + 192 + 768}{768}$

Этап 11.2.4

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Вычтем $4$ из $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 1 - 96 + 192 + 768}{768}$

Этап 11.2.4.2

Вычтем $96$ из $- 1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{- 97 + 192 + 768}{768}$

Этап 11.2.4.3

Добавим $- 97$ и $192$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{95 + 768}{768}$

Этап 11.2.4.4

Добавим $95$ и $768$ .

$f (- \frac{1}{4}) = \frac{863}{768}$

Этап 11.2.5

Окончательный ответ: $\frac{863}{768}$ .

$y = \frac{863}{768}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) - 4$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$12 \cdot 1 + 2 (- 1) - 4$

Этап 13.1.2

Умножим $12$ на $1$ .

$12 + 2 (- 1) - 4$

Этап 13.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$12 - 2 - 4$

Этап 13.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $2$ из $12$ .

$10 - 4$

Этап 13.2.2

Вычтем $4$ из $10$ .

$6$

Этап 14

$x = - 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- 1) = 1 + \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$

Этап 15.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = 1 + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$

Этап 15.2.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + \frac{- 1}{3} - 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$

Этап 15.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 1) = 1 - \frac{1}{3} - 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) + 1$

Этап 15.2.1.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 1 - \frac{1}{3} - 2 \cdot 1 - (- 1) + 1$

Этап 15.2.1.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (- 1) = 1 - \frac{1}{3} - 2 - (- 1) + 1$

Этап 15.2.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - \frac{1}{3} - 2 + 1 + 1$

Этап 15.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} - 2 + 1 + 1$

Этап 15.2.2.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 2 + 1 + 1$

Этап 15.2.2.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 2 + 1 + 1$

Этап 15.2.2.4

Запишем $- 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} + 1 + 1$

Этап 15.2.2.5

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1 + 1$

Этап 15.2.2.6

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + 1 + 1$

Этап 15.2.2.7

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} + 1$

Этап 15.2.2.8

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

Этап 15.2.2.9

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3} + 1$

Этап 15.2.2.10

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{1}{1}$

Этап 15.2.2.11

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 15.2.2.12

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3} + \frac{3}{3}$

Этап 15.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = \frac{3 - 1 - 2 \cdot 3 + 3 + 3}{3}$

Этап 15.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f (- 1) = \frac{3 - 1 - 6 + 3 + 3}{3}$

Этап 15.2.4.2

Вычтем $1$ из $3$ .

$f (- 1) = \frac{2 - 6 + 3 + 3}{3}$

Этап 15.2.4.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 4 + 3 + 3}{3}$

Этап 15.2.4.4

Добавим $- 4$ и $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 3}{3}$

Этап 15.2.4.5

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f (- 1) = \frac{2}{3}$

Этап 15.2.5

Окончательный ответ: $\frac{2}{3}$ .

$y = \frac{2}{3}$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(1)}^{2} + 2 (1) - 4$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$12 \cdot 1 + 2 (1) - 4$

Этап 17.1.2

Умножим $12$ на $1$ .

$12 + 2 (1) - 4$

Этап 17.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$12 + 2 - 4$

Этап 17.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Добавим $12$ и $2$ .

$14 - 4$

Этап 17.2.2

Вычтем $4$ из $14$ .

$10$

Этап 18

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} - (1) + 1$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 + \frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} - (1) + 1$

Этап 19.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 + \frac{1}{3} \cdot 1 - 2 {(1)}^{2} - (1) + 1$

Этап 19.2.1.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$f (1) = 1 + \frac{1}{3} - 2 {(1)}^{2} - (1) + 1$

Этап 19.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 + \frac{1}{3} - 2 \cdot 1 - (1) + 1$

Этап 19.2.1.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (1) = 1 + \frac{1}{3} - 2 - (1) + 1$

Этап 19.2.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = 1 + \frac{1}{3} - 2 - 1 + 1$

Этап 19.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} - 2 - 1 + 1$

Этап 19.2.2.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} - 2 - 1 + 1$

Этап 19.2.2.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} - 2 - 1 + 1$

Этап 19.2.2.4

Запишем $- 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} - 1 + 1$

Этап 19.2.2.5

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3} - 1 + 1$

Этап 19.2.2.6

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} - 1 + 1$

Этап 19.2.2.7

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{- 1}{1} + 1$

Этап 19.2.2.8

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

Этап 19.2.2.9

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + 1$

Этап 19.2.2.10

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

Этап 19.2.2.11

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 19.2.2.12

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (1) = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

Этап 19.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = \frac{3 + 1 - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 3 + 3}{3}$

Этап 19.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.4.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f (1) = \frac{3 + 1 - 6 - 1 \cdot 3 + 3}{3}$

Этап 19.2.4.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (1) = \frac{3 + 1 - 6 - 3 + 3}{3}$

Этап 19.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.5.1

Добавим $3$ и $1$ .

$f (1) = \frac{4 - 6 - 3 + 3}{3}$

Этап 19.2.5.2

Вычтем $6$ из $4$ .

$f (1) = \frac{- 2 - 3 + 3}{3}$

Этап 19.2.5.3

Вычтем $3$ из $- 2$ .

$f (1) = \frac{- 5 + 3}{3}$

Этап 19.2.5.4

Добавим $- 5$ и $3$ .

$f (1) = \frac{- 2}{3}$

Этап 19.2.5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (1) = - \frac{2}{3}$

Этап 19.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{2}{3}$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} - x + 1$ .

$(- \frac{1}{4}, \frac{863}{768})$ — локальный максимум

$(- 1, \frac{2}{3})$ — локальный минимум

$(1, - \frac{2}{3})$ — локальный минимум

Этап 21