Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 3 x^{3} + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{3}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{2}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $12 x^{2} - 18 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 18 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 3 x^{3} + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{3}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x)$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 \cdot 1$

Этап 4.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 4 = 0$

Этап 5.2

Разложим $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 5.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Этап 5.2.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$4 \cdot 2^{3} - 9 \cdot 2^{2} + 4$

Этап 5.2.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$4 \cdot 8 - 9 \cdot 2^{2} + 4$

Этап 5.2.3.3

Умножим $4$ на $8$ .

$32 - 9 \cdot 2^{2} + 4$

Этап 5.2.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$32 - 9 \cdot 4 + 4$

Этап 5.2.3.5

Умножим $- 9$ на $4$ .

$32 - 36 + 4$

Этап 5.2.3.6

Вычтем $36$ из $32$ .

$- 4 + 4$

Этап 5.2.3.7

Добавим $- 4$ и $4$ .

$0$

Этап 5.2.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{3} - 9 x^{2} + 4}{x - 2}$

Этап 5.2.5

Разделим $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$4 x^{3}$

$9 x^{2}$

$0 x$

$4$

Этап 5.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

Этап 5.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Этап 5.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{3} - 8 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Этап 5.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 5.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

Этап 5.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

Этап 5.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 5.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} + 2 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$

Этап 5.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$

Этап 5.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$4$

Этап 5.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$4$

Этап 5.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$4$
							-	$2 x$	+	$4$

Этап 5.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x + 4$ .

				$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$4$
							+	$2 x$	-	$4$

Этап 5.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x$	+	$4$
							+	$2 x$	-	$4$
										$0$

Этап 5.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$4 x^{2} - x - 2$

Этап 5.2.6

Запишем $4 x^{3} - 9 x^{2} + 4$ в виде набора множителей.

$(x - 2) (4 x^{2} - x - 2) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$4 x^{2} - x - 2 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5.5

Приравняем $4 x^{2} - x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $4 x^{2} - x - 2$ к $0$ .

$4 x^{2} - x - 2 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $4 x^{2} - x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5.2.2

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 1$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 2)}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.5.2.3.1.3

Добавим $1$ и $32$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.5.2.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$

Этап 5.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.5.2.4.1.3

Добавим $1$ и $32$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.5.2.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$

Этап 5.5.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 5.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 2}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.5.2.5.1.3

Добавим $1$ и $32$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

Этап 5.5.2.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{8}$

Этап 5.5.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 5.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}, \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (4 x^{2} - x - 2) = 0$ верно.

$x = 2, \frac{1 + \sqrt{33}}{8}, \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2, \frac{1 + \sqrt{33}}{8}, \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(2)}^{2} - 18 \cdot 2$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$12 \cdot 4 - 18 \cdot 2$

Этап 9.1.2

Умножим $12$ на $4$ .

$48 - 18 \cdot 2$

Этап 9.1.3

Умножим $- 18$ на $2$ .

$48 - 36$

Этап 9.2

Вычтем $36$ из $48$ .

$12$

Этап 10

$x = 2$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = {(2)}^{4} - 3 {(2)}^{3} + 4 (2)$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (2) = 16 - 3 {(2)}^{3} + 4 (2)$

Этап 11.2.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = 16 - 3 \cdot 8 + 4 (2)$

Этап 11.2.1.3

Умножим $- 3$ на $8$ .

$f (2) = 16 - 24 + 4 (2)$

Этап 11.2.1.4

Умножим $4$ на $2$ .

$f (2) = 16 - 24 + 8$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $24$ из $16$ .

$f (2) = - 8 + 8$

Этап 11.2.2.2

Добавим $- 8$ и $8$ .

$f (2) = 0$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{2} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ .

$12 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{8^{2}} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$12 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{64} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$4 (3) \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{64} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$4 \cdot 3 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.3.3

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 3 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.3.4

Перепишем это выражение.

$3 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.4

Объединим $3$ и $\frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{16}$ .

$\frac{3 {(1 + \sqrt{33})}^{2}}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.5

Перепишем ${(1 + \sqrt{33})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{33}) (1 + \sqrt{33})$ .

$\frac{3 ((1 + \sqrt{33}) (1 + \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.6

Развернем $(1 + \sqrt{33}) (1 + \sqrt{33})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (1 (1 + \sqrt{33}) + \sqrt{33} (1 + \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{33} + \sqrt{33} (1 + \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{33} + \sqrt{33} \cdot 1 + \sqrt{33} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{3 (1 + 1 \sqrt{33} + \sqrt{33} \cdot 1 + \sqrt{33} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.7.1.2

Умножим $\sqrt{33}$ на $1$ .

$\frac{3 (1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} \cdot 1 + \sqrt{33} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.7.1.3

Умножим $\sqrt{33}$ на $1$ .

$\frac{3 (1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + \sqrt{33} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.7.1.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{3 (1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + \sqrt{33 \cdot 33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.7.1.5

Умножим $33$ на $33$ .

$\frac{3 (1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + \sqrt{1089})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.7.1.6

Перепишем $1089$ в виде $33^{2}$ .

$\frac{3 (1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + \sqrt{33^{2}})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.7.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 (1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + 33)}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.7.2

Добавим $1$ и $33$ .

$\frac{3 (34 + \sqrt{33} + \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.7.3

Добавим $\sqrt{33}$ и $\sqrt{33}$ .

$\frac{3 (34 + 2 \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.8

Сократим общий множитель $34 + 2 \sqrt{33}$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $3 (34 + 2 \sqrt{33})$ .

$\frac{2 (3 (17 + \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 (3 (17 + \sqrt{33}))}{2 (8)} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 (17 + \sqrt{33}))}{2 \cdot 8} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} - 18 \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} + 2 (- 9) \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.1.9.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{1 + \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

Этап 13.1.9.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{1 + \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

Этап 13.1.9.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} - 9 \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$

Этап 13.1.10

Объединим $- 9$ и $\frac{1 + \sqrt{33}}{4}$ .

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} + \frac{- 9 (1 + \sqrt{33})}{4}$

Этап 13.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 + \sqrt{33})}{4}$

Этап 13.2

Чтобы записать $- \frac{9 (1 + \sqrt{33})}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 + \sqrt{33})}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 13.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим $\frac{9 (1 + \sqrt{33})}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 + \sqrt{33}) \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Этап 13.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{3 (17 + \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 + \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 13.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (17 + \sqrt{33}) - 9 (1 + \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 13.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 17 + 3 \sqrt{33} - 9 (1 + \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 13.5.2

Умножим $3$ на $17$ .

$\frac{51 + 3 \sqrt{33} - 9 (1 + \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 13.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{51 + 3 \sqrt{33} + (- 9 \cdot 1 - 9 \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 13.5.4

Умножим $- 9$ на $1$ .

$\frac{51 + 3 \sqrt{33} + (- 9 - 9 \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 13.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{51 + 3 \sqrt{33} - 9 \cdot 2 - 9 \sqrt{33} \cdot 2}{8}$

Этап 13.5.6

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{51 + 3 \sqrt{33} - 18 - 9 \sqrt{33} \cdot 2}{8}$

Этап 13.5.7

Умножим $2$ на $- 9$ .

$\frac{51 + 3 \sqrt{33} - 18 - 18 \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.5.8

Вычтем $18$ из $51$ .

$\frac{33 + 3 \sqrt{33} - 18 \sqrt{33}}{8}$

Этап 13.5.9

Вычтем $18 \sqrt{33}$ из $3 \sqrt{33}$ .

$\frac{33 - 15 \sqrt{33}}{8}$

Этап 14

$x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{4} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{4}}{8^{4}} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.2

Возведем $8$ в степень $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{33}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{33}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \cdot (1 \sqrt{33}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.5

Умножим $6$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 {\sqrt{33}}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.6

Перепишем ${\sqrt{33}}^{2}$ в виде $33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{33}$ в виде $33^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 {(33^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 15.2.1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33 + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.6.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33 + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.7

Умножим $6$ на $33$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{3}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.8

Умножим $4$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 {\sqrt{33}}^{3} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.9

Перепишем ${\sqrt{33}}^{3}$ в виде $\sqrt{33^{3}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 \sqrt{33^{3}} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.10

Возведем $33$ в степень $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 \sqrt{35937} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.11

Перепишем $35937$ в виде $33^{2} \cdot 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.11.1

Вынесем множитель $1089$ из $35937$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 \sqrt{1089 (33)} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.11.2

Перепишем $1089$ в виде $33^{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 \sqrt{33^{2} \cdot 33} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.12

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (33 \sqrt{33}) + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.13

Умножим $33$ на $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.14

Перепишем ${\sqrt{33}}^{4}$ в виде $33^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.14.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{33}$ в виде $33^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + {(33^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.14.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{4}{2}}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.14.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.14.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.14.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.14.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.14.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.14.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2}{1}}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.14.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 33^{2}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.4.15

Возведем $33$ в степень $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \sqrt{33} + 198 + 132 \sqrt{33} + 1089}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.5

Добавим $1$ и $198$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{199 + 4 \sqrt{33} + 132 \sqrt{33} + 1089}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.6

Добавим $199$ и $1089$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1288 + 4 \sqrt{33} + 132 \sqrt{33}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.7

Добавим $4 \sqrt{33}$ и $132 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{1288 + 136 \sqrt{33}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.8

Сократим общий множитель $1288 + 136 \sqrt{33}$ и $4096$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.8.1

Вынесем множитель $8$ из $1288$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161) + 136 \sqrt{33}}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.8.2

Вынесем множитель $8$ из $136 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161) + 8 (17 \sqrt{33})}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.8.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (161) + 8 (17 \sqrt{33})$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161 + 17 \sqrt{33})}{4096} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.8.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.8.4.1

Вынесем множитель $8$ из $4096$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161 + 17 \sqrt{33})}{8 \cdot 512} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.8.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161 + 17 \sqrt{33})}{8 \cdot 512} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.8.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 {(\frac{1 + \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.9

Применим правило умножения к $\frac{1 + \sqrt{33}}{8}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{3}}{8^{3}} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.10

Возведем $8$ в степень $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.11

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1^{3} + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{33}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{2}) + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.12.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{33}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{2}) + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.12.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \cdot (1 \sqrt{33}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{2}) + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.12.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 \cdot (1 {\sqrt{33}}^{2}) + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.12.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 {\sqrt{33}}^{2} + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.12.5

Перепишем ${\sqrt{33}}^{2}$ в виде $33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.12.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{33}$ в виде $33^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 {(33^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.12.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.12.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.12.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.12.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.12.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33 + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.12.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33 + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.12.6

Умножим $3$ на $33$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 99 + {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.12.7

Перепишем ${\sqrt{33}}^{3}$ в виде $\sqrt{33^{3}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 99 + \sqrt{33^{3}}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.12.8

Возведем $33$ в степень $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 99 + \sqrt{35937}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.12.9

Перепишем $35937$ в виде $33^{2} \cdot 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.12.9.1

Вынесем множитель $1089$ из $35937$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 99 + \sqrt{1089 (33)}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.12.9.2

Перепишем $1089$ в виде $33^{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 99 + \sqrt{33^{2} \cdot 33}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.12.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \sqrt{33} + 99 + 33 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.13

Добавим $1$ и $99$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{100 + 3 \sqrt{33} + 33 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.14

Добавим $3 \sqrt{33}$ и $33 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{100 + 36 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.15

Сократим общий множитель $100 + 36 \sqrt{33}$ и $512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.15.1

Вынесем множитель $4$ из $100$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25) + 36 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.15.2

Вынесем множитель $4$ из $36 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25) + 4 (9 \sqrt{33})}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.15.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (25) + 4 (9 \sqrt{33})$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25 + 9 \sqrt{33})}{512} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.15.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.15.4.1

Вынесем множитель $4$ из $512$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25 + 9 \sqrt{33})}{4 \cdot 128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.15.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25 + 9 \sqrt{33})}{4 \cdot 128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.15.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{25 + 9 \sqrt{33}}{128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.16

Объединим $- 3$ и $\frac{25 + 9 \sqrt{33}}{128}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} + \frac{- 3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{(3) (25 + 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{8})$

Этап 15.2.1.18

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.18.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{4 (2)})$

Этап 15.2.1.18.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 + \sqrt{33}}{4 \cdot 2})$

Этап 15.2.1.18.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128} + \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$

Этап 15.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Умножим $\frac{3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - (\frac{3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$

Этап 15.2.2.2

Умножим $\frac{3 (25 + 9 \sqrt{33})}{128}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$

Этап 15.2.2.3

Умножим $\frac{1 + \sqrt{33}}{2}$ на $\frac{256}{256}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{1 + \sqrt{33}}{2} \cdot \frac{256}{256}$

Этап 15.2.2.4

Умножим $\frac{1 + \sqrt{33}}{2}$ на $\frac{256}{256}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{(1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256}$

Этап 15.2.2.5

Изменим порядок множителей в $128 \cdot 4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{4 \cdot 128} + \frac{(1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256}$

Этап 15.2.2.6

Умножим $4$ на $128$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{512} + \frac{(1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256}$

Этап 15.2.2.7

Умножим $2$ на $256$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{512} + \frac{(1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

Этап 15.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 3 (25 + 9 \sqrt{33}) \cdot 4 + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

Этап 15.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} + (- 3 \cdot 25 - 3 (9 \sqrt{33})) \cdot 4 + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

Этап 15.2.4.2

Умножим $- 3$ на $25$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} + (- 75 - 3 (9 \sqrt{33})) \cdot 4 + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

Этап 15.2.4.3

Умножим $9$ на $- 3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} + (- 75 - 27 \sqrt{33}) \cdot 4 + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

Этап 15.2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 75 \cdot 4 - 27 \sqrt{33} \cdot 4 + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

Этап 15.2.4.5

Умножим $- 75$ на $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 300 - 27 \sqrt{33} \cdot 4 + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

Этап 15.2.4.6

Умножим $4$ на $- 27$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 300 - 108 \sqrt{33} + (1 + \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

Этап 15.2.4.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 300 - 108 \sqrt{33} + 1 \cdot 256 + \sqrt{33} \cdot 256}{512}$

Этап 15.2.4.8

Умножим $256$ на $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 300 - 108 \sqrt{33} + 256 + \sqrt{33} \cdot 256}{512}$

Этап 15.2.4.9

Перенесем $256$ влево от $\sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 + 17 \sqrt{33} - 300 - 108 \sqrt{33} + 256 + 256 \sqrt{33}}{512}$

Этап 15.2.5

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Вычтем $300$ из $161$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{- 139 + 17 \sqrt{33} - 108 \sqrt{33} + 256 + 256 \sqrt{33}}{512}$

Этап 15.2.5.2

Добавим $- 139$ и $256$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{117 + 17 \sqrt{33} - 108 \sqrt{33} + 256 \sqrt{33}}{512}$

Этап 15.2.5.3

Вычтем $108 \sqrt{33}$ из $17 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{117 - 91 \sqrt{33} + 256 \sqrt{33}}{512}$

Этап 15.2.5.4

Добавим $- 91 \sqrt{33}$ и $256 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{33}}{8}) = \frac{117 + 165 \sqrt{33}}{512}$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $\frac{117 + 165 \sqrt{33}}{512}$ .

$y = \frac{117 + 165 \sqrt{33}}{512}$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{2} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ .

$12 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{8^{2}} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$12 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{64} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$4 (3) \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{64} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$4 \cdot 3 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.3.3

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 3 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.3.4

Перепишем это выражение.

$3 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.4

Объединим $3$ и $\frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{16}$ .

$\frac{3 {(1 - \sqrt{33})}^{2}}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.5

Перепишем ${(1 - \sqrt{33})}^{2}$ в виде $(1 - \sqrt{33}) (1 - \sqrt{33})$ .

$\frac{3 ((1 - \sqrt{33}) (1 - \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.6

Развернем $(1 - \sqrt{33}) (1 - \sqrt{33})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (1 (1 - \sqrt{33}) - \sqrt{33} (1 - \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{33}) - \sqrt{33} (1 - \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{33}) - \sqrt{33} \cdot 1 - \sqrt{33} (- \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.7.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{3 (1 + 1 (- \sqrt{33}) - \sqrt{33} \cdot 1 - \sqrt{33} (- \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.7.1.2

Умножим $- \sqrt{33}$ на $1$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} \cdot 1 - \sqrt{33} (- \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.7.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} - \sqrt{33} (- \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.7.1.4

Умножим $- \sqrt{33} (- \sqrt{33})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.7.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 1 \sqrt{33} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.7.1.4.2

Умножим $\sqrt{33}$ на $1$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + \sqrt{33} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.7.1.4.3

Возведем $\sqrt{33}$ в степень $1$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{1} \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.7.1.4.4

Возведем $\sqrt{33}$ в степень $1$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{1} {\sqrt{33}}^{1})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.7.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{1 + 1})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.7.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{2})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.7.1.5

Перепишем ${\sqrt{33}}^{2}$ в виде $33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.7.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{33}$ в виде $33^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {(33^{\frac{1}{2}})}^{2})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.7.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.7.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33^{\frac{2}{2}})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.7.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.7.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33^{\frac{2}{2}})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.7.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33^{1})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.7.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3 (1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33)}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.7.2

Добавим $1$ и $33$ .

$\frac{3 (34 - \sqrt{33} - \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.7.3

Вычтем $\sqrt{33}$ из $- \sqrt{33}$ .

$\frac{3 (34 - 2 \sqrt{33})}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.8

Сократим общий множитель $34 - 2 \sqrt{33}$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $3 (34 - 2 \sqrt{33})$ .

$\frac{2 (3 (17 - \sqrt{33}))}{16} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{2 (3 (17 - \sqrt{33}))}{2 (8)} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 (17 - \sqrt{33}))}{2 \cdot 8} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} - 18 \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} + 2 (- 9) \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.1.9.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{1 - \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

Этап 17.1.9.3

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{1 - \sqrt{33}}{2 \cdot 4}$

Этап 17.1.9.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} - 9 \frac{1 - \sqrt{33}}{4}$

Этап 17.1.10

Объединим $- 9$ и $\frac{1 - \sqrt{33}}{4}$ .

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} + \frac{- 9 (1 - \sqrt{33})}{4}$

Этап 17.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 - \sqrt{33})}{4}$

Этап 17.2

Чтобы записать $- \frac{9 (1 - \sqrt{33})}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 - \sqrt{33})}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 17.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Умножим $\frac{9 (1 - \sqrt{33})}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 - \sqrt{33}) \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Этап 17.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{3 (17 - \sqrt{33})}{8} - \frac{9 (1 - \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 17.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (17 - \sqrt{33}) - 9 (1 - \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 17.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 17 + 3 (- \sqrt{33}) - 9 (1 - \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 17.5.2

Умножим $3$ на $17$ .

$\frac{51 + 3 (- \sqrt{33}) - 9 (1 - \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 17.5.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} - 9 (1 - \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 17.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} + (- 9 \cdot 1 - 9 (- \sqrt{33})) \cdot 2}{8}$

Этап 17.5.5

Умножим $- 9$ на $1$ .

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} + (- 9 - 9 (- \sqrt{33})) \cdot 2}{8}$

Этап 17.5.6

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} + (- 9 + 9 \sqrt{33}) \cdot 2}{8}$

Этап 17.5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} - 9 \cdot 2 + 9 \sqrt{33} \cdot 2}{8}$

Этап 17.5.8

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} - 18 + 9 \sqrt{33} \cdot 2}{8}$

Этап 17.5.9

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{51 - 3 \sqrt{33} - 18 + 18 \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.5.10

Вычтем $18$ из $51$ .

$\frac{33 - 3 \sqrt{33} + 18 \sqrt{33}}{8}$

Этап 17.5.11

Добавим $- 3 \sqrt{33}$ и $18 \sqrt{33}$ .

$\frac{33 + 15 \sqrt{33}}{8}$

Этап 18

$x = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{4} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{4}}{8^{4}} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.2

Возведем $8$ в степень $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.3

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{33})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{33})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{33})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{33})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 \cdot (1 (- \sqrt{33})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{33})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 + 4 (- \sqrt{33}) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{33})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{33})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.5

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.6

Умножим $6$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 {(- \sqrt{33})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.7

Применим правило умножения к $- \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 (1 {\sqrt{33}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.9

Умножим ${\sqrt{33}}^{2}$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 {\sqrt{33}}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.10

Перепишем ${\sqrt{33}}^{2}$ в виде $33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{33}$ в виде $33^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 {(33^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.10.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 19.2.1.4.10.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.10.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 6 \cdot 33 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.11

Умножим $6$ на $33$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.12

Умножим $4$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 {(- \sqrt{33})}^{3} + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.13

Применим правило умножения к $- \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{33}}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.14

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- {\sqrt{33}}^{3}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.15

Перепишем ${\sqrt{33}}^{3}$ в виде $\sqrt{33^{3}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- \sqrt{33^{3}}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.16

Возведем $33$ в степень $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- \sqrt{35937}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.17

Перепишем $35937$ в виде $33^{2} \cdot 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.17.1

Вынесем множитель $1089$ из $35937$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- \sqrt{1089 (33)}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.17.2

Перепишем $1089$ в виде $33^{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- \sqrt{33^{2} \cdot 33}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.18

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- (33 \sqrt{33})) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.19

Умножим $33$ на $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 + 4 (- 33 \sqrt{33}) + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.20

Умножим $- 33$ на $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + {(- \sqrt{33})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.21

Применим правило умножения к $- \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.22

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 1 {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.23

Умножим ${\sqrt{33}}^{4}$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.24

Перепишем ${\sqrt{33}}^{4}$ в виде $33^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.24.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{33}$ в виде $33^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + {(33^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.24.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.24.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{4}{2}}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.24.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.24.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.24.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.24.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.24.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.24.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{\frac{2}{1}}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.24.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 33^{2}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.4.25

Возведем $33$ в степень $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1 - 4 \sqrt{33} + 198 - 132 \sqrt{33} + 1089}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.5

Добавим $1$ и $198$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{199 - 4 \sqrt{33} - 132 \sqrt{33} + 1089}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.6

Добавим $199$ и $1089$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1288 - 4 \sqrt{33} - 132 \sqrt{33}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.7

Вычтем $132 \sqrt{33}$ из $- 4 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{1288 - 136 \sqrt{33}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.8

Сократим общий множитель $1288 - 136 \sqrt{33}$ и $4096$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.8.1

Вынесем множитель $8$ из $1288$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161) - 136 \sqrt{33}}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.8.2

Вынесем множитель $8$ из $- 136 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161) + 8 (- 17 \sqrt{33})}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.8.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (161) + 8 (- 17 \sqrt{33})$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161 - 17 \sqrt{33})}{4096} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.8.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.8.4.1

Вынесем множитель $8$ из $4096$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161 - 17 \sqrt{33})}{8 \cdot 512} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.8.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{8 (161 - 17 \sqrt{33})}{8 \cdot 512} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.8.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 {(\frac{1 - \sqrt{33}}{8})}^{3} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.9

Применим правило умножения к $\frac{1 - \sqrt{33}}{8}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{3}}{8^{3}} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.10

Возведем $8$ в степень $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.11

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1^{3} + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{33})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.12.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{33})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 \cdot (1 (- \sqrt{33})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 + 3 (- \sqrt{33}) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{33})}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.5

Умножим $3$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 {(- \sqrt{33})}^{2} + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.6

Применим правило умножения к $- \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{33}}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 (1 {\sqrt{33}}^{2}) + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.8

Умножим ${\sqrt{33}}^{2}$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 {\sqrt{33}}^{2} + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.9

Перепишем ${\sqrt{33}}^{2}$ в виде $33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.12.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{33}$ в виде $33^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 {(33^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.12.9.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.9.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33 + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.9.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 3 \cdot 33 + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.10

Умножим $3$ на $33$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 + {(- \sqrt{33})}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.11

Применим правило умножения к $- \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - {\sqrt{33}}^{3}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.13

Перепишем ${\sqrt{33}}^{3}$ в виде $\sqrt{33^{3}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - \sqrt{33^{3}}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.14

Возведем $33$ в степень $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - \sqrt{35937}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.15

Перепишем $35937$ в виде $33^{2} \cdot 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.12.15.1

Вынесем множитель $1089$ из $35937$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - \sqrt{1089 (33)}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.15.2

Перепишем $1089$ в виде $33^{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - \sqrt{33^{2} \cdot 33}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - (33 \sqrt{33})}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.12.17

Умножим $33$ на $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{1 - 3 \sqrt{33} + 99 - 33 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.13

Добавим $1$ и $99$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{100 - 3 \sqrt{33} - 33 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.14

Вычтем $33 \sqrt{33}$ из $- 3 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{100 - 36 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.15

Сократим общий множитель $100 - 36 \sqrt{33}$ и $512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.15.1

Вынесем множитель $4$ из $100$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25) - 36 \sqrt{33}}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.15.2

Вынесем множитель $4$ из $- 36 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25) + 4 (- 9 \sqrt{33})}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.15.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (25) + 4 (- 9 \sqrt{33})$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25 - 9 \sqrt{33})}{512} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.15.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.15.4.1

Вынесем множитель $4$ из $512$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25 - 9 \sqrt{33})}{4 \cdot 128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.15.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{4 (25 - 9 \sqrt{33})}{4 \cdot 128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.15.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - 3 \frac{25 - 9 \sqrt{33}}{128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.16

Объединим $- 3$ и $\frac{25 - 9 \sqrt{33}}{128}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} + \frac{- 3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{(3) (25 - 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{8})$

Этап 19.2.1.18

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.18.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{4 (2)})$

Этап 19.2.1.18.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128} + 4 (\frac{1 - \sqrt{33}}{4 \cdot 2})$

Этап 19.2.1.18.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128} + \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$

Этап 19.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Умножим $\frac{3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - (\frac{3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$

Этап 19.2.2.2

Умножим $\frac{3 (25 - 9 \sqrt{33})}{128}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$

Этап 19.2.2.3

Умножим $\frac{1 - \sqrt{33}}{2}$ на $\frac{256}{256}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{1 - \sqrt{33}}{2} \cdot \frac{256}{256}$

Этап 19.2.2.4

Умножим $\frac{1 - \sqrt{33}}{2}$ на $\frac{256}{256}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{(1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256}$

Этап 19.2.2.5

Изменим порядок множителей в $128 \cdot 4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{4 \cdot 128} + \frac{(1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256}$

Этап 19.2.2.6

Умножим $4$ на $128$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{512} + \frac{(1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{2 \cdot 256}$

Этап 19.2.2.7

Умножим $2$ на $256$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33}}{512} - \frac{3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4}{512} + \frac{(1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

Этап 19.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 3 (25 - 9 \sqrt{33}) \cdot 4 + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

Этап 19.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} + (- 3 \cdot 25 - 3 (- 9 \sqrt{33})) \cdot 4 + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

Этап 19.2.4.2

Умножим $- 3$ на $25$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} + (- 75 - 3 (- 9 \sqrt{33})) \cdot 4 + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

Этап 19.2.4.3

Умножим $- 9$ на $- 3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} + (- 75 + 27 \sqrt{33}) \cdot 4 + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

Этап 19.2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 75 \cdot 4 + 27 \sqrt{33} \cdot 4 + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

Этап 19.2.4.5

Умножим $- 75$ на $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 300 + 27 \sqrt{33} \cdot 4 + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

Этап 19.2.4.6

Умножим $4$ на $27$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 300 + 108 \sqrt{33} + (1 - \sqrt{33}) \cdot 256}{512}$

Этап 19.2.4.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 300 + 108 \sqrt{33} + 1 \cdot 256 - \sqrt{33} \cdot 256}{512}$

Этап 19.2.4.8

Умножим $256$ на $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 300 + 108 \sqrt{33} + 256 - \sqrt{33} \cdot 256}{512}$

Этап 19.2.4.9

Умножим $256$ на $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{161 - 17 \sqrt{33} - 300 + 108 \sqrt{33} + 256 - 256 \sqrt{33}}{512}$

Этап 19.2.5

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.5.1

Вычтем $300$ из $161$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{- 139 - 17 \sqrt{33} + 108 \sqrt{33} + 256 - 256 \sqrt{33}}{512}$

Этап 19.2.5.2

Добавим $- 139$ и $256$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{117 - 17 \sqrt{33} + 108 \sqrt{33} - 256 \sqrt{33}}{512}$

Этап 19.2.5.3

Добавим $- 17 \sqrt{33}$ и $108 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{117 + 91 \sqrt{33} - 256 \sqrt{33}}{512}$

Этап 19.2.5.4

Вычтем $256 \sqrt{33}$ из $91 \sqrt{33}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{33}}{8}) = \frac{117 - 165 \sqrt{33}}{512}$

Этап 19.2.6

Окончательный ответ: $\frac{117 - 165 \sqrt{33}}{512}$ .

$y = \frac{117 - 165 \sqrt{33}}{512}$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4 x$ .

$(2, 0)$ — локальный минимум

$(\frac{1 + \sqrt{33}}{8}, \frac{117 + 165 \sqrt{33}}{512})$ — локальный максимум

$(\frac{1 - \sqrt{33}}{8}, \frac{117 - 165 \sqrt{33}}{512})$ — локальный минимум

Этап 21