Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} + 1$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{3}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $6$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $9$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ и $0$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x^{2}$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $18$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} (18 x)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + 18 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + 18 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $18$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 36 x + 18$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{3}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $6$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $9$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x^{3} + 18 x^{2} + 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) + 18 x^{2} + 18 x = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $18 x^{2}$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (9 x) + 18 x = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $18 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (9 x) + 2 x (9) = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (2 x^{2}) + 2 x (9 x)$ .

$2 x (2 x^{2} + 9 x) + 2 x (9) = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (2 x^{2} + 9 x) + 2 x (9)$ .

$2 x (2 x^{2} + 9 x + 9) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ , а сумма — $b = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x$ .

$2 x (2 x^{2} + 9 (x) + 9) = 0$

Этап 5.2.2.1.1.2

Запишем $9$ как $3$ плюс $6$

$2 x (2 x^{2} + (3 + 6) x + 9) = 0$

Этап 5.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x^{2} + 3 x + 6 x + 9) = 0$

Этап 5.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 x ((2 x^{2} + 3 x) + 6 x + 9) = 0$

Этап 5.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x (x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3)) = 0$

Этап 5.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 3$ .

$2 x ((2 x + 3) (x + 3)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x (2 x + 3) (x + 3) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 x + 3 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 5.6

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 5.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (2 x + 3) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{3}{2}, - 3$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - \frac{3}{2}, - 3$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(0)}^{2} + 36 (0) + 18$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$12 \cdot 0 + 36 (0) + 18$

Этап 9.1.2

Умножим $12$ на $0$ .

$0 + 36 (0) + 18$

Этап 9.1.3

Умножим $36$ на $0$ .

$0 + 0 + 18$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 18$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $18$ .

$18$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4} + 6 {(0)}^{3} + 9 {(0)}^{2} + 1$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 6 {(0)}^{3} + 9 {(0)}^{2} + 1$

Этап 11.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 6 \cdot 0 + 9 {(0)}^{2} + 1$

Этап 11.2.1.3

Умножим $6$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 9 {(0)}^{2} + 1$

Этап 11.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 9 \cdot 0 + 1$

Этап 11.2.1.5

Умножим $9$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 1$

Этап 11.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Этап 11.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Этап 11.2.2.3

Добавим $0$ и $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{3}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Этап 13.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}) + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Этап 13.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$12 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}}) + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Этап 13.1.3

Умножим $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$12 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Этап 13.1.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$12 \frac{9}{2^{2}} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Этап 13.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$12 (\frac{9}{4}) + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Этап 13.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$4 (3) \frac{9}{4} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Этап 13.1.6.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 3 \frac{9}{4} + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Этап 13.1.6.3

Перепишем это выражение.

$3 \cdot 9 + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Этап 13.1.7

Умножим $3$ на $9$ .

$27 + 36 (- \frac{3}{2}) + 18$

Этап 13.1.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2}$ в числитель.

$27 + 36 (\frac{- 3}{2}) + 18$

Этап 13.1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$27 + 2 (18) \frac{- 3}{2} + 18$

Этап 13.1.8.3

Сократим общий множитель.

$27 + 2 \cdot 18 \frac{- 3}{2} + 18$

Этап 13.1.8.4

Перепишем это выражение.

$27 + 18 \cdot - 3 + 18$

Этап 13.1.9

Умножим $18$ на $- 3$ .

$27 - 54 + 18$

Этап 13.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $54$ из $27$ .

$- 27 + 18$

Этап 13.2.2

Добавим $- 27$ и $18$ .

$- 9$

Этап 14

$x = - \frac{3}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{3}{2}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- \frac{3}{2})}^{4} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 1 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.3

Умножим $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ на $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{3^{4}}{2^{4}} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.4

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{2^{4}} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.6

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.6.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.7

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.8

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 (- \frac{27}{2^{3}}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.9

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 (- \frac{27}{8}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{27}{8}$ в числитель.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 6 (\frac{- 27}{8}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.10.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 2 (3) (\frac{- 27}{8}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.10.3

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{- 27}{2 \cdot 4})) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.10.4

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{- 27}{2 \cdot 4})) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.10.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + 3 (\frac{- 27}{4}) + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.11

Объединим $3$ и $\frac{- 27}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{3 \cdot - 27}{4} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.12

Умножим $3$ на $- 27$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} + \frac{- 81}{4} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.14

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.14.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 1$

Этап 15.2.1.14.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 1$

Этап 15.2.1.15

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 1$

Этап 15.2.1.16

Умножим $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 1$

Этап 15.2.1.17

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9}{2^{2}}) + 1$

Этап 15.2.1.18

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + 9 (\frac{9}{4}) + 1$

Этап 15.2.1.19

Умножим $9 (\frac{9}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.19.1

Объединим $9$ и $\frac{9}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + \frac{9 \cdot 9}{4} + 1$

Этап 15.2.1.19.2

Умножим $9$ на $9$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{16} - \frac{81}{4} + \frac{81}{4} + 1$

Этап 15.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3}{2}) = 1 + \frac{81}{16} + \frac{- 81 + 81}{4}$

Этап 15.2.2.2

Добавим $- 81$ и $81$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 1 + \frac{81}{16} + \frac{0}{4}$

Этап 15.2.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{1} + \frac{81}{16} + \frac{0}{4}$

Этап 15.2.3.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0}{4}$

Этап 15.2.3.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0}{4}$

Этап 15.2.3.4

Умножим $\frac{0}{4}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 15.2.3.5

Умножим $\frac{0}{4}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Этап 15.2.3.6

Умножим $4$ на $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16}{16} + \frac{81}{16} + \frac{0 \cdot 4}{16}$

Этап 15.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16 + 81 + 0 \cdot 4}{16}$

Этап 15.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Умножим $0$ на $4$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{16 + 81 + 0}{16}$

Этап 15.2.5.2

Добавим $16$ и $81$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{97 + 0}{16}$

Этап 15.2.5.3

Добавим $97$ и $0$ .

$f (- \frac{3}{2}) = \frac{97}{16}$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $\frac{97}{16}$ .

$y = \frac{97}{16}$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = - 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(- 3)}^{2} + 36 (- 3) + 18$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$12 \cdot 9 + 36 (- 3) + 18$

Этап 17.1.2

Умножим $12$ на $9$ .

$108 + 36 (- 3) + 18$

Этап 17.1.3

Умножим $36$ на $- 3$ .

$108 - 108 + 18$

Этап 17.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Вычтем $108$ из $108$ .

$0 + 18$

Этап 17.2.2

Добавим $0$ и $18$ .

$18$

Этап 18

$x = - 3$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 3$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = {(- 3)}^{4} + 6 {(- 3)}^{3} + 9 {(- 3)}^{2} + 1$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$f (- 3) = 81 + 6 {(- 3)}^{3} + 9 {(- 3)}^{2} + 1$

Этап 19.2.1.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f (- 3) = 81 + 6 \cdot - 27 + 9 {(- 3)}^{2} + 1$

Этап 19.2.1.3

Умножим $6$ на $- 27$ .

$f (- 3) = 81 - 162 + 9 {(- 3)}^{2} + 1$

Этап 19.2.1.4

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = 81 - 162 + 9 \cdot 9 + 1$

Этап 19.2.1.5

Умножим $9$ на $9$ .

$f (- 3) = 81 - 162 + 81 + 1$

Этап 19.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Вычтем $162$ из $81$ .

$f (- 3) = - 81 + 81 + 1$

Этап 19.2.2.2

Добавим $- 81$ и $81$ .

$f (- 3) = 0 + 1$

Этап 19.2.2.3

Добавим $0$ и $1$ .

$f (- 3) = 1$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} + 1$ .

$(0, 1)$ — локальный минимум

$(- \frac{3}{2}, \frac{97}{16})$ — локальный максимум

$(- 3, 1)$ — локальный минимум

Этап 21