Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{9} \ln (2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{9} \ln (2 x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{9} \ln (2 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{9} \ln (2 x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{9}$ и $g (x) = \ln (2 x)$ .

$5 (x^{9} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$5 (x^{9} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 1.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{9} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$5 (x^{9} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $\frac{1}{2 x}$ и $x^{9}$ .

$5 (\frac{x^{9}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $x^{9}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{9}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{8}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 1.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 1.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 1.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{x^{8}}{2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 1.4.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\frac{x^{8}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 1.4.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Объединим $2$ и $\frac{x^{8}}{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{8}}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 1.4.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{2 x^{8}}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 1.4.4.2.2

Разделим $x^{8}$ на $1$ .

$5 (x^{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (x^{8} \cdot 1 + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 1.4.6

Умножим $x^{8}$ на $1$ .

$5 (x^{8} + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 1.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$5 (x^{8} + \ln (2 x) (9 x^{8}))$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{8} + 5 (\ln (2 x) (9 x^{8}))$

Этап 1.5.2

Умножим $9$ на $5$ .

$5 x^{8} + 45 \ln (2 x) x^{8}$

Этап 1.5.3

Изменим порядок членов.

$5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{8}] + \frac{d}{d x} [45 x^{8} \ln (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{8}) + \frac{d}{d x} (45 x^{8} \ln (2 x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{8}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{8}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{8}) + \frac{d}{d x} (45 x^{8} \ln (2 x))$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$f'' (x) = 5 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} (45 x^{8} \ln (2 x))$

Этап 2.2.3

Умножим $8$ на $5$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + \frac{d}{d x} (45 x^{8} \ln (2 x))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [45 x^{8} \ln (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $45$ является константой относительно $x$ , производная $45 x^{8} \ln (2 x)$ по $x$ равна $45 \frac{d}{d x} [x^{8} \ln (2 x)]$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 \frac{d}{d x} (x^{8} \ln (2 x))$

Этап 2.3.2

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} \frac{d}{d x} (\ln (2 x)) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} (x^{8}))$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (2 x)) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} (x^{8}))$

Этап 2.3.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (2 x)) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} (x^{8}))$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{2 x} \cdot \frac{d}{d x} (2 x)) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} (x^{8}))$

Этап 2.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{2 x} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x))) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} (x^{8}))$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{2 x} \cdot (2 \cdot 1)) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} (x^{8}))$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{2 x} \cdot (2 \cdot 1)) + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Этап 2.3.7

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{2 x} \cdot 2) + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Этап 2.3.8

Объединим $\frac{1}{2 x}$ и $2$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{2}{2 x}) + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Этап 2.3.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{2}{2 x}) + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Этап 2.3.9.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{8} (\frac{1}{x}) + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Этап 2.3.10

Объединим $x^{8}$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (\frac{x^{8}}{x} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Этап 2.3.11

Сократим общий множитель $x^{8}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{8}$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (\frac{x \cdot x^{7}}{x} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Этап 2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (\frac{x \cdot x^{7}}{x} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Этап 2.3.11.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Этап 2.3.11.2.3

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Этап 2.3.11.2.4

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (\frac{x^{7}}{1} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Этап 2.3.11.2.5

Разделим $x^{7}$ на $1$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 (x^{7} + \ln (2 x) (8 x^{7}))$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 x^{7} + 45 (\ln (2 x) (8 x^{7}))$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $8$ на $45$ .

$f'' (x) = 40 x^{7} + 45 x^{7} + 360 (\ln (2 x) (x^{7}))$

Этап 2.4.2.2

Добавим $40 x^{7}$ и $45 x^{7}$ .

$f'' (x) = 85 x^{7} + 360 \ln (2 x) x^{7}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 85 x^{7} + 360 x^{7} \ln (2 x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x) = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{9} \ln (2 x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{9} \ln (2 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{9} \ln (2 x)]$

Этап 4.1.2

$5 (x^{9} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 4.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$5 (x^{9} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 4.1.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{9} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 4.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$5 (x^{9} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 4.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Объединим $\frac{1}{2 x}$ и $x^{9}$ .

$5 (\frac{x^{9}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 4.1.4.2

Сократим общий множитель $x^{9}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{9}$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{8}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 4.1.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$5 (\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 4.1.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 4.1.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{x^{8}}{2} \frac{d}{d x} [2 x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 4.1.4.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\frac{x^{8}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 4.1.4.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.4.1

Объединим $2$ и $\frac{x^{8}}{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{8}}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 4.1.4.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.4.2.1

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{2 x^{8}}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 4.1.4.4.2.2

Разделим $x^{8}$ на $1$ .

$5 (x^{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 4.1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (x^{8} \cdot 1 + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 4.1.4.6

Умножим $x^{8}$ на $1$ .

$5 (x^{8} + \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 4.1.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$5 (x^{8} + \ln (2 x) (9 x^{8}))$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{8} + 5 (\ln (2 x) (9 x^{8}))$

Этап 4.1.5.2

Умножим $9$ на $5$ .

$5 x^{8} + 45 \ln (2 x) x^{8}$

Этап 4.1.5.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x)$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x)$ .

$5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x)$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$5 x^{8} + 45 x^{8} \ln (2 x) = 0$

Этап 5.2

Вычтем $5 x^{8}$ из обеих частей уравнения.

$45 x^{8} \ln (2 x) = - 5 x^{8}$

Этап 5.3

Разделим каждый член $45 x^{8} \ln (2 x) = - 5 x^{8}$ на $45 x^{8}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $45 x^{8} \ln (2 x) = - 5 x^{8}$ на $45 x^{8}$ .

$\frac{45 x^{8} \ln (2 x)}{45 x^{8}} = \frac{- 5 x^{8}}{45 x^{8}}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{45 x^{8} \ln (2 x)}{45 x^{8}} = \frac{- 5 x^{8}}{45 x^{8}}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{8} \ln (2 x)}{x^{8}} = \frac{- 5 x^{8}}{45 x^{8}}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{8} \ln (2 x)}{x^{8}} = \frac{- 5 x^{8}}{45 x^{8}}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $\ln (2 x)$ на $1$ .

$\ln (2 x) = \frac{- 5 x^{8}}{45 x^{8}}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $- 5$ и $45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x^{8}$ .

$\ln (2 x) = \frac{5 (- x^{8})}{45 x^{8}}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $45 x^{8}$ .

$\ln (2 x) = \frac{5 (- x^{8})}{5 (9 x^{8})}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (2 x) = \frac{5 (- x^{8})}{5 (9 x^{8})}$

Этап 5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (2 x) = \frac{- x^{8}}{9 x^{8}}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (2 x) = \frac{- x^{8}}{9 x^{8}}$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (2 x) = \frac{- 1}{9}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (2 x) = - \frac{1}{9}$

Этап 5.4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (2 x)} = e^{- \frac{1}{9}}$

Этап 5.5

Перепишем $\ln (2 x) = - \frac{1}{9}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{9}} = 2 x$

Этап 5.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перепишем уравнение в виде $2 x = e^{- \frac{1}{9}}$ .

$2 x = e^{- \frac{1}{9}}$

Этап 5.6.2

Разделим каждый член $2 x = e^{- \frac{1}{9}}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Разделим каждый член $2 x = e^{- \frac{1}{9}}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{e^{- \frac{1}{9}}}{2}$

Этап 5.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{e^{- \frac{1}{9}}}{2}$

Этап 5.6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{e^{- \frac{1}{9}}}{2}$

Этап 5.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.3.1

Перенесем $e^{- \frac{1}{9}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим аргумент в $\ln (2 x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 x \leq 0$

Этап 6.2

Разделим каждый член $2 x \leq 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $2 x \leq 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{0}{2}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{0}{2}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{0}{2}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x \leq 0$

Этап 6.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$85 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ .

$85 \frac{1^{7}}{{(2 e^{\frac{1}{9}})}^{7}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 9.1.1.2

Применим правило умножения к $2 e^{\frac{1}{9}}$ .

$85 \frac{1^{7}}{2^{7} {(e^{\frac{1}{9}})}^{7}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 9.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$85 \frac{1}{2^{7} {(e^{\frac{1}{9}})}^{7}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 9.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Возведем $2$ в степень $7$ .

$85 \frac{1}{128 {(e^{\frac{1}{9}})}^{7}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 9.1.3.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{\frac{1}{9}})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$85 \frac{1}{128 e^{\frac{1}{9} \cdot 7}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 9.1.3.2.2

Объединим $\frac{1}{9}$ и $7$ .

$85 \frac{1}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 9.1.4

Объединим $85$ и $\frac{1}{128 e^{\frac{7}{9}}}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{7} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 9.1.5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 \frac{1^{7}}{{(2 e^{\frac{1}{9}})}^{7}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 9.1.5.2

Применим правило умножения к $2 e^{\frac{1}{9}}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 \frac{1^{7}}{2^{7} {(e^{\frac{1}{9}})}^{7}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 9.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 \frac{1}{2^{7} {(e^{\frac{1}{9}})}^{7}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 9.1.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.7.1

Возведем $2$ в степень $7$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 \frac{1}{128 {(e^{\frac{1}{9}})}^{7}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 9.1.7.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{\frac{1}{9}})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 \frac{1}{128 e^{\frac{1}{9} \cdot 7}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 9.1.7.2.2

Объединим $\frac{1}{9}$ и $7$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 360 \frac{1}{128 e^{\frac{7}{9}}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 9.1.8

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.8.1

Вынесем множитель $8$ из $360$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 8 (45) \frac{1}{128 e^{\frac{7}{9}}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 9.1.8.2

Вынесем множитель $8$ из $128 e^{\frac{7}{9}}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 8 (45) \frac{1}{8 (16 e^{\frac{7}{9}})} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 9.1.8.3

Сократим общий множитель.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 8 \cdot 45 \frac{1}{8 (16 e^{\frac{7}{9}})} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 9.1.8.4

Перепишем это выражение.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + 45 \frac{1}{16 e^{\frac{7}{9}}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 9.1.9

Объединим $45$ и $\frac{1}{16 e^{\frac{7}{9}}}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 9.1.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} \ln (2 \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})$

Этап 9.1.10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{9}}})$

Этап 9.1.11

Перенесем $e^{\frac{1}{9}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} \ln (e^{- \frac{1}{9}})$

Этап 9.1.12

Развернем $\ln (e^{- \frac{1}{9}})$ , вынося $- \frac{1}{9}$ из логарифма.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} (- \frac{1}{9} \ln (e))$

Этап 9.1.13

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} (- \frac{1}{9} \cdot 1)$

Этап 9.1.14

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} (- \frac{1}{9})$

Этап 9.1.15

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.15.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{9}$ в числитель.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{45}{16 e^{\frac{7}{9}}} \cdot \frac{- 1}{9}$

Этап 9.1.15.2

Вынесем множитель $9$ из $45$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{9 (5)}{16 e^{\frac{7}{9}}} \cdot \frac{- 1}{9}$

Этап 9.1.15.3

Сократим общий множитель.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{9 \cdot 5}{16 e^{\frac{7}{9}}} \cdot \frac{- 1}{9}$

Этап 9.1.15.4

Перепишем это выражение.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{5}{16 e^{\frac{7}{9}}} \cdot - 1$

Этап 9.1.16

Объединим $\frac{5}{16 e^{\frac{7}{9}}}$ и $- 1$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{5 \cdot - 1}{16 e^{\frac{7}{9}}}$

Этап 9.1.17

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} + \frac{- 5}{16 e^{\frac{7}{9}}}$

Этап 9.1.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} - \frac{5}{16 e^{\frac{7}{9}}}$

Этап 9.2

Чтобы записать $- \frac{5}{16 e^{\frac{7}{9}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} - \frac{5}{16 e^{\frac{7}{9}}} \cdot \frac{8}{8}$

Этап 9.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $128 e^{\frac{7}{9}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $\frac{5}{16 e^{\frac{7}{9}}}$ на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} - \frac{5 \cdot 8}{16 e^{\frac{7}{9}} \cdot 8}$

Этап 9.3.2

Умножим $8$ на $16$ .

$\frac{85}{128 e^{\frac{7}{9}}} - \frac{5 \cdot 8}{128 e^{\frac{7}{9}}}$

Этап 9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{85 - 5 \cdot 8}{128 e^{\frac{7}{9}}}$

Этап 9.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Умножим $- 5$ на $8$ .

$\frac{85 - 40}{128 e^{\frac{7}{9}}}$

Этап 9.5.2

Вычтем $40$ из $85$ .

$\frac{45}{128 e^{\frac{7}{9}}}$

Этап 10

$x = \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 {(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}})}^{9} \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1^{9}}{{(2 e^{\frac{1}{9}})}^{9}}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 11.2.1.2

Применим правило умножения к $2 e^{\frac{1}{9}}$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1^{9}}{2^{9} {(e^{\frac{1}{9}})}^{9}}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 11.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1}{2^{9} {(e^{\frac{1}{9}})}^{9}}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 11.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Возведем $2$ в степень $9$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1}{512 {(e^{\frac{1}{9}})}^{9}}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 11.2.3.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{\frac{1}{9}})}^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1}{512 e^{\frac{1}{9} \cdot 9}}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 11.2.3.2.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1}{512 e^{\frac{1}{9} \cdot 9}}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 11.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1}{512 e}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 11.2.3.3

Упростим.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = 5 (\frac{1}{512 e}) \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 11.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{512 e}$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 11.2.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot \ln (2 (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}))$

Этап 11.2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{9}}})$

Этап 11.2.4.3

Перенесем $e^{\frac{1}{9}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{9}})$

Этап 11.2.5

Развернем $\ln (e^{- \frac{1}{9}})$ , вынося $- \frac{1}{9}$ из логарифма.

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot (- \frac{1}{9} \cdot \ln (e))$

Этап 11.2.6

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot (- \frac{1}{9} \cdot 1)$

Этап 11.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = \frac{5}{512 e} \cdot (- \frac{1}{9})$

Этап 11.2.8

Умножим $\frac{5}{512 e} (- \frac{1}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.8.1

Умножим $\frac{5}{512 e}$ на $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = - \frac{5}{512 e \cdot 9}$

Этап 11.2.8.2

Умножим $9$ на $512$ .

$f (\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}) = - \frac{5}{4608 e}$

Этап 11.2.9

Окончательный ответ: $- \frac{5}{4608 e}$ .

$y = - \frac{5}{4608 e}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 5 x^{9} \ln (2 x)$ .

$(\frac{1}{2 e^{\frac{1}{9}}}, - \frac{5}{4608 e})$ — локальный минимум

Этап 13