Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{\frac{7}{4}}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{7}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $4$ из $7$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.2.7

Объединим $\frac{7}{4}$ и $x^{\frac{3}{4}}$ .

$5 \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.2.8

Объединим $5$ и $\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{5 (7 x^{\frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.2.9

Умножим $7$ на $5$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 70$ является константой относительно $x$ , производная $- 70 x$ по $x$ равна $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 70$ на $1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ и $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 70]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{35}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ по $x$ равна $\frac{35}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Этап 2.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Этап 2.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Этап 2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Этап 2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Этап 2.2.6.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Этап 2.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

Этап 2.2.8

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Этап 2.2.9

Умножим $\frac{35}{4}$ на $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Этап 2.2.10

Умножим $3$ на $35$ .

$f'' (x) = \frac{105 x^{- \frac{1}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Этап 2.2.11

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{105 x^{- \frac{1}{4}}}{16} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Этап 2.2.12

Перенесем $x^{- \frac{1}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d x} (- 70)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 70$ является константой относительно $x$ , производная $- 70$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}} + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $\frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{\frac{7}{4}}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.2.2

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.2.6.2

Вычтем $4$ из $7$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.2.7

Объединим $\frac{7}{4}$ и $x^{\frac{3}{4}}$ .

$5 \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.2.8

Объединим $5$ и $\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{5 (7 x^{\frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.2.9

Умножим $7$ на $5$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 70$ является константой относительно $x$ , производная $- 70 x$ по $x$ равна $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 70$ на $1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + \frac{d}{d x} [15]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ и $0$ .

$f' (x) = \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$

Этап 5.2

Добавим $70$ к обеим частям уравнения.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} = 70$

Этап 5.3

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{35}$ .

$\frac{4}{35} \cdot \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Этап 5.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Упростим $\frac{4}{35} \cdot \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Объединим.

$\frac{4 (35 x^{\frac{3}{4}})}{35 \cdot 4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Этап 5.4.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (35 x^{\frac{3}{4}})}{35 \cdot 4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Этап 5.4.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{35} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Этап 5.4.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{35} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Этап 5.4.1.1.5

Разделим $x^{\frac{3}{4}}$ на $1$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot 70$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим $\frac{4}{35} \cdot 70$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $35$ из $70$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot (35 (2))$

Этап 5.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot (35 \cdot 2)$

Этап 5.4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{3}{4}} = 4 \cdot 2$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x^{\frac{3}{4}} = 8$

Этап 5.5

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{4}{3}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Этап 5.6

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Упростим ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Этап 5.6.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

Этап 5.6.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Этап 5.6.1.1.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

Этап 5.6.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 8^{\frac{4}{3}}$

Этап 5.6.1.1.2

Упростим.

$x = 8^{\frac{4}{3}}$

Этап 5.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Упростим $8^{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$x = {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}$

Этап 5.6.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Этап 5.6.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

Этап 5.6.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x = 2^{4}$

Этап 5.6.2.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$x = 16$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{35 \sqrt[4]{x^{3}}}{4} - 70$

Этап 6.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt[4]{x^{3}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} < 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Этап 6.3.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < \sqrt[3]{0}$

Этап 6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < 0$

Этап 6.4

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 16$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 16$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{105}{16 {(16)}^{\frac{1}{4}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $16$ на ${(16)}^{\frac{1}{4}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $16$ на ${(16)}^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Возведем $16$ в степень $1$ .

$\frac{105}{16^{1} {(16)}^{\frac{1}{4}}}$

Этап 9.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{105}{16^{1 + \frac{1}{4}}}$

Этап 9.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{105}{16^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}}$

Этап 9.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{105}{16^{\frac{4 + 1}{4}}}$

Этап 9.1.4

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{105}{16^{\frac{5}{4}}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем $16$ в виде $2^{4}$ .

$\frac{105}{{(2^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 9.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{105}{2^{4 (\frac{5}{4})}}$

Этап 9.2.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{105}{2^{4 (\frac{5}{4})}}$

Этап 9.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{105}{2^{5}}$

Этап 9.2.4

Возведем $2$ в степень $5$ .

$\frac{105}{32}$

Этап 10

$x = 16$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 16$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $16$ .

$f (16) = 5 {(16)}^{\frac{7}{4}} - 70 \cdot 16 + 15$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Перепишем $16$ в виде $2^{4}$ .

$f (16) = 5 {(2^{4})}^{\frac{7}{4}} - 70 \cdot 16 + 15$

Этап 11.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (16) = 5 \cdot 2^{4 (\frac{7}{4})} - 70 \cdot 16 + 15$

Этап 11.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f (16) = 5 \cdot 2^{4 (\frac{7}{4})} - 70 \cdot 16 + 15$

Этап 11.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f (16) = 5 \cdot 2^{7} - 70 \cdot 16 + 15$

Этап 11.2.1.4

Возведем $2$ в степень $7$ .

$f (16) = 5 \cdot 128 - 70 \cdot 16 + 15$

Этап 11.2.1.5

Умножим $5$ на $128$ .

$f (16) = 640 - 70 \cdot 16 + 15$

Этап 11.2.1.6

Умножим $- 70$ на $16$ .

$f (16) = 640 - 1120 + 15$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $1120$ из $640$ .

$f (16) = - 480 + 15$

Этап 11.2.2.2

Добавим $- 480$ и $15$ .

$f (16) = - 465$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 465$ .

$y = - 465$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ .

$(16, - 465)$ — локальный минимум

Этап 13