Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $5 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 1.2.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$5 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 1.2.9

Объединим $5$ и $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 1.2.10

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 1.2.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{3}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1})$

Этап 1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}})$

Этап 1.3.6.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.3.7

Объединим $\frac{5}{3}$ и $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.3.8

Объединим $- 2$ и $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3}$

Этап 1.3.9

Умножим $5$ на $- 2$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{10}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.5.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.9.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.12

Объединим $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.13

Умножим $x^{- \frac{2}{3}}$ на $x^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.13.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.13.3

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.13.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.14

Перенесем $x^{- \frac{4}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3} \cdot (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.15

Умножим $\frac{10}{3}$ на $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.2.16

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- \frac{10}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ по $x$ равна $- \frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Этап 2.3.2

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Этап 2.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 2.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Этап 2.3.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Этап 2.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Этап 2.3.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{10}{3} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 2.3.9

Умножим $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ на $\frac{10}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} \cdot 10}{3 \cdot 3}$

Этап 2.3.10

Умножим $10$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 3}$

Этап 2.3.11

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20 x^{- \frac{1}{3}}}{9}$

Этап 2.3.12

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $5 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 4.1.2.2

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 4.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 4.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 4.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 4.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 4.1.2.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 4.1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 4.1.2.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$5 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 4.1.2.9

Объединим $5$ и $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 4.1.2.10

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 4.1.2.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{5}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$

Этап 4.1.3.2

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1})$

Этап 4.1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 4.1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 4.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 4.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}})$

Этап 4.1.3.6.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}})$

Этап 4.1.3.7

Объединим $\frac{5}{3}$ и $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 4.1.3.8

Объединим $- 2$ и $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3}$

Этап 4.1.3.9

Умножим $5$ на $- 2$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 4.1.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} = 0$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 3, 1$

Этап 5.2.2

Так как $3 x^{\frac{1}{3}}, 3, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $3, 3, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{\frac{1}{3}}$ .

Этап 5.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.2.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 5.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.2.6

НОК $3, 3, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 5.2.7

НОК $x^{\frac{1}{3}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.2.8

НОК $3 x^{\frac{1}{3}}, 3, 1$ представляет собой произведение числовой части $3$ и переменной части.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.3

Каждый член в $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} = 0$ умножим на $3 x^{\frac{1}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} = 0$ на $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.2.1.3

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$10 - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ в числитель.

$10 + \frac{- 10 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.2.1.4.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$10 + \frac{- 10 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 (x^{\frac{1}{3}})) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$10 + \frac{- 10 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$10 - 10 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.2.1.5

Умножим $x^{\frac{2}{3}}$ на $x^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.5.1

Перенесем $x^{\frac{1}{3}}$ .

$10 - 10 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.2.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$10 - 10 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.2.1.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$10 - 10 x^{\frac{1 + 2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.2.1.5.4

Добавим $1$ и $2$ .

$10 - 10 x^{\frac{3}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.2.1.5.5

Разделим $3$ на $3$ .

$10 - 10 x^{1} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.2.1.6

Упростим $- 10 x^{1}$ .

$10 - 10 x = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $0 (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$10 - 10 x = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 5.3.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$10 - 10 x = 0$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$- 10 x = - 10$

Этап 5.4.2

Разделим каждый член $- 10 x = - 10$ на $- 10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разделим каждый член $- 10 x = - 10$ на $- 10$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 10}{- 10}$

Этап 5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 10}{- 10}$

Этап 5.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 10}{- 10}$

Этап 5.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Разделим $- 10$ на $- 10$ .

$x = 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{10}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 6.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{10}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} - \frac{10 \sqrt[3]{x^{2}}}{3}$

Этап 6.1.3

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{10}{3 \sqrt[3]{x}} - \frac{10 \sqrt[3]{x^{2}}}{3}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{10}{3 \sqrt[3]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.4

Упростим.

$27 x = 0^{3}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 x = 0$

Этап 6.3.3

Разделим каждый член $27 x = 0$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим каждый член $27 x = 0$ на $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 6.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 6.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Этап 6.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1

Разделим $0$ на $27$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 1, 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{10}{9 {(1)}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9 {(1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{10}{9 \cdot 1} - \frac{20}{9 {(1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 9.1.2

Умножим $9$ на $1$ .

$- \frac{10}{9} - \frac{20}{9 {(1)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 9.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{10}{9} - \frac{20}{9 \cdot 1}$

Этап 9.1.4

Умножим $9$ на $1$ .

$- \frac{10}{9} - \frac{20}{9}$

Этап 9.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 10 - 20}{9}$

Этап 9.2.2

Вычтем $20$ из $- 10$ .

$\frac{- 30}{9}$

Этап 9.2.3

Сократим общий множитель $- 30$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 30$ .

$\frac{3 (- 10)}{9}$

Этап 9.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 \cdot - 10}{3 \cdot 3}$

Этап 9.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 10}{3 \cdot 3}$

Этап 9.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 10}{3}$

Этап 9.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{10}{3}$

Этап 10

$x = 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 5 {(1)}^{\frac{2}{3}} - 2 {(1)}^{\frac{5}{3}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 5 \cdot 1 - 2 {(1)}^{\frac{5}{3}}$

Этап 11.2.1.2

Умножим $5$ на $1$ .

$f (1) = 5 - 2 {(1)}^{\frac{5}{3}}$

Этап 11.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 5 - 2 \cdot 1$

Этап 11.2.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (1) = 5 - 2$

Этап 11.2.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$f (1) = 3$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{10}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$- \frac{10}{9 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}} - \frac{20}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 13.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{10}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}} - \frac{20}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{10}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}} - \frac{20}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 13.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{10}{9 \cdot 0^{4}} - \frac{20}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 13.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{10}{9 \cdot 0} - \frac{20}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 13.3.2

Умножим $9$ на $0$ .

$- \frac{10}{0} - \frac{20}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 13.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- \frac{10}{0} - \frac{20}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 13.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{10}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 14.2.2

Окончательный ответ: $\frac{10}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{10}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $0.5$ , из интервала $(0, 1)$ в первую производную $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.5$ .

$f' (0.5) = \frac{10}{3 {(0.5)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 {(0.5)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 14.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1.1

Возведем $0.5$ в степень $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.5) = \frac{10}{3 \cdot 0.79370052} - \frac{10 {(0.5)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 14.3.2.1.2

Умножим $3$ на $0.79370052$ .

$f' (0.5) = \frac{10}{2.38110157} - \frac{10 {(0.5)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 14.3.2.1.3

Разделим $10$ на $2.38110157$ .

$f' (0.5) = 4.19973683 - \frac{10 {(0.5)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 14.3.2.1.4

Возведем $0.5$ в степень $\frac{2}{3}$ .

$f' (0.5) = 4.19973683 - \frac{10 \cdot 0.62996052}{3}$

Этап 14.3.2.1.5

Умножим $10$ на $0.62996052$ .

$f' (0.5) = 4.19973683 - \frac{6.29960524}{3}$

Этап 14.3.2.1.6

Разделим $6.29960524$ на $3$ .

$f' (0.5) = 4.19973683 - 1 \cdot 2.09986841$

Этап 14.3.2.1.7

Умножим $- 1$ на $2.09986841$ .

$f' (0.5) = 4.19973683 - 2.09986841$

Этап 14.3.2.2

Вычтем $2.09986841$ из $4.19973683$ .

$f' (0.5) = 2.09986841$

Этап 14.3.2.3

Окончательный ответ: $2.09986841$ .

$2.09986841$

Этап 14.4

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(1, \infty)$ в первую производную $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = \frac{10}{3 {(4)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 14.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (4) = \frac{10}{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 14.4.2.2

Окончательный ответ: $\frac{10}{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{10}{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}} - \frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 14.5

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный минимум.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 14.6

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 1$ , $x = 1$ — локальный максимум.

$x = 1$ — локальный максимум

Этап 14.7

Это локальные экстремумы $f (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}$ .

$x = 0$ — локальный минимум

$x = 1$ — локальный максимум

$x = 0$ — локальный минимум

$x = 1$ — локальный максимум

Этап 15