Математический анализ Примеры

$f (x) = 5.1 x - 2 e^{0.3 x} + 4.5$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $5.1 x - 2 e^{0.3 x} + 4.5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5.1 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{0.3 x}] + \frac{d}{d x} [4.5]$ .

$\frac{d}{d x} [5.1 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{0.3 x}] + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5.1 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5.1$ является константой относительно $x$ , производная $5.1 x$ по $x$ равна $5.1 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5.1 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{0.3 x}] + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5.1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{0.3 x}] + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 1.2.3

Умножим $5.1$ на $1$ .

$5.1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{0.3 x}] + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 e^{0.3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 e^{0.3 x}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [e^{0.3 x}]$ .

$5.1 - 2 \frac{d}{d x} [e^{0.3 x}] + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 0.3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $0.3 x$ .

$5.1 - 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [0.3 x]) + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$5.1 - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [0.3 x]) + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $0.3 x$ .

$5.1 - 2 (e^{0.3 x} \frac{d}{d x} [0.3 x]) + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 1.3.3

Поскольку $0.3$ является константой относительно $x$ , производная $0.3 x$ по $x$ равна $0.3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5.1 - 2 (e^{0.3 x} (0.3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5.1 - 2 (e^{0.3 x} (0.3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 1.3.5

Умножим $0.3$ на $1$ .

$5.1 - 2 (e^{0.3 x} \cdot 0.3) + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 1.3.6

Перенесем $0.3$ влево от $e^{0.3 x}$ .

$5.1 - 2 (0.3 \cdot e^{0.3 x}) + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 1.3.7

Умножим $0.3$ на $- 2$ .

$5.1 - 0.6 e^{0.3 x} + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $4.5$ является константой относительно $x$ , производная $4.5$ относительно $x$ равна $0$ .

$5.1 - 0.6 e^{0.3 x} + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $5.1 - 0.6 e^{0.3 x}$ и $0$ .

$5.1 - 0.6 e^{0.3 x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $5.1 - 0.6 e^{0.3 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5.1] + \frac{d}{d x} [- 0.6 e^{0.3 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5.1) + \frac{d}{d x} (- 0.6 e^{0.3 x})$

Этап 2.1.2

Поскольку $5.1$ является константой относительно $x$ , производная $5.1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 0.6 e^{0.3 x})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 0.6 e^{0.3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 0.6$ является константой относительно $x$ , производная $- 0.6 e^{0.3 x}$ по $x$ равна $- 0.6 \frac{d}{d x} [e^{0.3 x}]$ .

$f'' (x) = 0 - 0.6 \frac{d}{d x} e^{0.3 x}$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $0.3 x$ .

$f'' (x) = 0 - 0.6 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (0.3 x))$

Этап 2.2.2.2

$f'' (x) = 0 - 0.6 (e^{u} \frac{d}{d x} (0.3 x))$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $0.3 x$ .

$f'' (x) = 0 - 0.6 (e^{0.3 x} \frac{d}{d x} (0.3 x))$

Этап 2.2.3

Поскольку $0.3$ является константой относительно $x$ , производная $0.3 x$ по $x$ равна $0.3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 0.6 (e^{0.3 x} (0.3 \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 0.6 (e^{0.3 x} (0.3 \cdot 1))$

Этап 2.2.5

Умножим $0.3$ на $1$ .

$f'' (x) = 0 - 0.6 (e^{0.3 x} \cdot 0.3)$

Этап 2.2.6

Перенесем $0.3$ влево от $e^{0.3 x}$ .

$f'' (x) = 0 - 0.6 (0.3 \cdot e^{0.3 x})$

Этап 2.2.7

Умножим $0.3$ на $- 0.6$ .

$f'' (x) = 0 - 0.18 e^{0.3 x}$

Этап 2.3

Вычтем $0.18 e^{0.3 x}$ из $0$ .

$f'' (x) = - 0.18 e^{0.3 x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$5.1 - 0.6 e^{0.3 x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $5.1 x - 2 e^{0.3 x} + 4.5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5.1 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{0.3 x}] + \frac{d}{d x} [4.5]$ .

$\frac{d}{d x} [5.1 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{0.3 x}] + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5.1 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $5.1$ является константой относительно $x$ , производная $5.1 x$ по $x$ равна $5.1 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5.1 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{0.3 x}] + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5.1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{0.3 x}] + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $5.1$ на $1$ .

$5.1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{0.3 x}] + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 e^{0.3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 e^{0.3 x}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [e^{0.3 x}]$ .

$5.1 - 2 \frac{d}{d x} [e^{0.3 x}] + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 4.1.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $0.3 x$ .

$5.1 - 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [0.3 x]) + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 4.1.3.2.2

$5.1 - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [0.3 x]) + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 4.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $0.3 x$ .

$5.1 - 2 (e^{0.3 x} \frac{d}{d x} [0.3 x]) + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 4.1.3.3

Поскольку $0.3$ является константой относительно $x$ , производная $0.3 x$ по $x$ равна $0.3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5.1 - 2 (e^{0.3 x} (0.3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 4.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5.1 - 2 (e^{0.3 x} (0.3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 4.1.3.5

Умножим $0.3$ на $1$ .

$5.1 - 2 (e^{0.3 x} \cdot 0.3) + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 4.1.3.6

Перенесем $0.3$ влево от $e^{0.3 x}$ .

$5.1 - 2 (0.3 \cdot e^{0.3 x}) + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 4.1.3.7

Умножим $0.3$ на $- 2$ .

$5.1 - 0.6 e^{0.3 x} + \frac{d}{d x} [4.5]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $4.5$ является константой относительно $x$ , производная $4.5$ относительно $x$ равна $0$ .

$5.1 - 0.6 e^{0.3 x} + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $5.1 - 0.6 e^{0.3 x}$ и $0$ .

$f' (x) = 5.1 - 0.6 e^{0.3 x}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $5.1 - 0.6 e^{0.3 x}$ .

$5.1 - 0.6 e^{0.3 x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $5.1 - 0.6 e^{0.3 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$5.1 - 0.6 e^{0.3 x} = 0$

Этап 5.2

Вычтем $5.1$ из обеих частей уравнения.

$- 0.6 e^{0.3 x} = - 5.1$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- 0.6 e^{0.3 x} = - 5.1$ на $- 0.6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- 0.6 e^{0.3 x} = - 5.1$ на $- 0.6$ .

$\frac{- 0.6 e^{0.3 x}}{- 0.6} = \frac{- 5.1}{- 0.6}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 0.6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 0.6 e^{0.3 x}}{- 0.6} = \frac{- 5.1}{- 0.6}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $e^{0.3 x}$ на $1$ .

$e^{0.3 x} = \frac{- 5.1}{- 0.6}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $- 5.1$ на $- 0.6$ .

$e^{0.3 x} = 8.5$

Этап 5.4

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{0.3 x}) = \ln (8.5)$

Этап 5.5

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Развернем $\ln (e^{0.3 x})$ , вынося $0.3 x$ из логарифма.

$0.3 x \ln (e) = \ln (8.5)$

Этап 5.5.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$0.3 x \cdot 1 = \ln (8.5)$

Этап 5.5.3

Умножим $0.3$ на $1$ .

$0.3 x = \ln (8.5)$

Этап 5.6

Разделим каждый член $0.3 x = \ln (8.5)$ на $0.3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разделим каждый член $0.3 x = \ln (8.5)$ на $0.3$ .

$\frac{0.3 x}{0.3} = \frac{\ln (8.5)}{0.3}$

Этап 5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель $0.3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.3 x}{0.3} = \frac{\ln (8.5)}{0.3}$

Этап 5.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (8.5)}{0.3}$

Этап 5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Заменим $e$ приближением.

$x = \frac{\log_{2.71828182} (8.5)}{0.3}$

Этап 5.6.3.2

Логарифм $8.5$ по основанию $2.71828182$ равен приблизительно $2.14006616$ .

$x = \frac{2.14006616}{0.3}$

Этап 5.6.3.3

Разделим $2.14006616$ на $0.3$ .

$x = 7.13355387$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 7.13355387$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 7.13355387$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 0.18 e^{0.3 (7.13355387)}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $0.3$ на $7.13355387$ .

$- 0.18 e^{2.14006616}$

Этап 9.2

Умножим $- 0.18$ на $e^{2.14006616}$ .

$- 1.53$

Этап 10

$x = 7.13355387$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 7.13355387$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 7.13355387$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7.13355387$ .

$f (7.13355387) = 5.1 (7.13355387) - 2 e^{0.3 (7.13355387)} + 4.5$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $5.1$ на $7.13355387$ .

$f (7.13355387) = 36.38112477 - 2 e^{0.3 (7.13355387)} + 4.5$

Этап 11.2.1.2

Умножим $0.3$ на $7.13355387$ .

$f (7.13355387) = 36.38112477 - 2 e^{2.14006616} + 4.5$

Этап 11.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $2 e^{2.14006616}$ из $36.38112477$ .

$f (7.13355387) = 19.38112477 + 4.5$

Этап 11.2.2.2

Добавим $19.38112477$ и $4.5$ .

$f (7.13355387) = 23.88112477$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $23.88112477$ .

$y = 23.88112477$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 5.1 x - 2 e^{0.3 x} + 4.5$ .

$(7.13355387, 23.88112477)$ — локальный максимум

Этап 13