Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 {(x + 2)}^{4} - 2 {(x + 2)}^{2} + 8$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 ((x + 2) (x + 2)) + 8]$

Этап 1.2

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) + 8]$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) + 8]$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Этап 1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) + 8]$

Этап 1.3.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 4 x + 4) + 8]$

Этап 1.4

По правилу суммы производная $5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 4 x + 4) + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 {(x + 2)}^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 2$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.5.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.5.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.5.3

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.5.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.5.6

Добавим $1$ и $0$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.5.7

Умножим $4$ на $1$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.5.8

Умножим $4$ на $5$ .

$20 {(x + 2)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 (x^{2} + 4 x + 4)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.6.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 4 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.6.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.6.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.6.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.6.7

Умножим $4$ на $1$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 + 0) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.6.8

Добавим $2 x + 4$ и $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.7

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4) + 0$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 + 0$

Этап 1.8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.2.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 2 \cdot 4 + 0$

Этап 1.8.2.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 + 0$

Этап 1.8.2.3

Добавим $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ и $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [20 {(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 {(x + 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 {(x + 2)}^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 {(x + 2)}^{3}$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 2$ .

$f'' (x) = 20 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 2)) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 2)) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 2)) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.3

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (2))) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.7

Умножим $3$ на $1$ .

$f'' (x) = 20 (3 {(x + 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.2.8

Умножим $3$ на $20$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $60 {(x + 2)}^{2} - 4$ и $0$ .

$f'' (x) = 60 {(x + 2)}^{2} - 4$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 ((x + 2) (x + 2)) + 8]$

Этап 4.1.2

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) + 8]$

Этап 4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) + 8]$

Этап 4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Этап 4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Этап 4.1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) + 8]$

Этап 4.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) + 8]$

Этап 4.1.3.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4} - 2 (x^{2} + 4 x + 4) + 8]$

Этап 4.1.4

$\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 {(x + 2)}^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 {(x + 2)}^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.1.5.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 2$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.1.5.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.1.5.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.1.5.3

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.1.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.1.5.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.1.5.6

Добавим $1$ и $0$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.1.5.7

Умножим $4$ на $1$ .

$5 (4 {(x + 2)}^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.1.5.8

Умножим $4$ на $5$ .

$20 {(x + 2)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.1.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 (x^{2} + 4 x + 4)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.1.6.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 4 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.1.6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.1.6.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.1.6.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.1.6.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.1.6.7

Умножим $4$ на $1$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4 + 0) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.1.6.8

Добавим $2 x + 4$ и $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4) + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 4.1.7

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x + 4) + 0$

Этап 4.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$20 {(x + 2)}^{3} - 2 (2 x) - 2 \cdot 4 + 0$

Этап 4.1.8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.2.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 2 \cdot 4 + 0$

Этап 4.1.8.2.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 + 0$

Этап 4.1.8.2.3

Добавим $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ и $0$ .

$f' (x) = 20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $20 {(x + 2)}^{3} - 4 x - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $20 {(x + 2)}^{3}$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3}) - 4 x - 8 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3}) + 4 (- x) - 8 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 8$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3}) + 4 (- x) + 4 (- 2) = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (5 {(x + 2)}^{3}) + 4 (- x)$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3} - x) + 4 (- 2) = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (5 {(x + 2)}^{3} - x) + 4 (- 2)$ .

$4 (5 {(x + 2)}^{3} - x - 2) = 0$

Этап 5.2.2

Воспользуемся бином Ньютона.

$4 (5 (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 2 + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3}) - x - 2) = 0$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $2$ на $3$ .

$4 (5 (x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3}) - x - 2) = 0$

Этап 5.2.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 (5 (x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 2^{3}) - x - 2) = 0$

Этап 5.2.3.3

Умножим $4$ на $3$ .

$4 (5 (x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 2^{3}) - x - 2) = 0$

Этап 5.2.3.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$4 (5 (x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8) - x - 2) = 0$

Этап 5.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (5 x^{3} + 5 (6 x^{2}) + 5 (12 x) + 5 \cdot 8 - x - 2) = 0$

Этап 5.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $6$ на $5$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 5 (12 x) + 5 \cdot 8 - x - 2) = 0$

Этап 5.2.5.2

Умножим $12$ на $5$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 60 x + 5 \cdot 8 - x - 2) = 0$

Этап 5.2.5.3

Умножим $5$ на $8$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 60 x + 40 - x - 2) = 0$

Этап 5.2.6

Вычтем $x$ из $60 x$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 40 - 2) = 0$

Этап 5.2.7

Вычтем $2$ из $40$ .

$4 (5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38) = 0$

Этап 5.2.8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Разложим $5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 38, \pm 2, \pm 19$

$q = \pm 1, \pm 5$

Этап 5.2.8.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 38, \pm 7.6, \pm 2, \pm 0.4, \pm 19, \pm 3.8$

Этап 5.2.8.1.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

$5 {(- 2)}^{3} + 30 {(- 2)}^{2} + 59 \cdot - 2 + 38$

Этап 5.2.8.1.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$5 \cdot - 8 + 30 {(- 2)}^{2} + 59 \cdot - 2 + 38$

Этап 5.2.8.1.3.3

Умножим $5$ на $- 8$ .

$- 40 + 30 {(- 2)}^{2} + 59 \cdot - 2 + 38$

Этап 5.2.8.1.3.4

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 40 + 30 \cdot 4 + 59 \cdot - 2 + 38$

Этап 5.2.8.1.3.5

Умножим $30$ на $4$ .

$- 40 + 120 + 59 \cdot - 2 + 38$

Этап 5.2.8.1.3.6

Добавим $- 40$ и $120$ .

$80 + 59 \cdot - 2 + 38$

Этап 5.2.8.1.3.7

Умножим $59$ на $- 2$ .

$80 - 118 + 38$

Этап 5.2.8.1.3.8

Вычтем $118$ из $80$ .

$- 38 + 38$

Этап 5.2.8.1.3.9

Добавим $- 38$ и $38$ .

$0$

Этап 5.2.8.1.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38}{x + 2}$

Этап 5.2.8.1.5

Разделим $5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$5 x^{3}$

$30 x^{2}$

$59 x$

$38$

Этап 5.2.8.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$5 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$

Этап 5.2.8.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			+	$5 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Этап 5.2.8.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{3} + 10 x^{2}$ .

				$5 x^{2}$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Этап 5.2.8.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$

Этап 5.2.8.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$5 x^{2}$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$

Этап 5.2.8.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $20 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$

Этап 5.2.8.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					+	$20 x^{2}$	+	$40 x$

Этап 5.2.8.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $20 x^{2} + 40 x$ .

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$

Этап 5.2.8.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$

Этап 5.2.8.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$

Этап 5.2.8.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $19 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$5 x^{2}$	+	$20 x$	+	$19$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$

Этап 5.2.8.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$	+	$19$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$
							+	$19 x$	+	$38$

Этап 5.2.8.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $19 x + 38$ .

				$5 x^{2}$	+	$20 x$	+	$19$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$
							-	$19 x$	-	$38$

Этап 5.2.8.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$5 x^{2}$	+	$20 x$	+	$19$
$x$	+	$2$		$5 x^{3}$	+	$30 x^{2}$	+	$59 x$	+	$38$
			-	$5 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$20 x^{2}$	+	$59 x$
					-	$20 x^{2}$	-	$40 x$
							+	$19 x$	+	$38$
							-	$19 x$	-	$38$
										$0$

Этап 5.2.8.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$5 x^{2} + 20 x + 19$

Этап 5.2.8.1.6

Запишем $5 x^{3} + 30 x^{2} + 59 x + 38$ в виде набора множителей.

$4 ((x + 2) (5 x^{2} + 20 x + 19)) = 0$

Этап 5.2.8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x + 2) (5 x^{2} + 20 x + 19) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$5 x^{2} + 20 x + 19 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 5.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5.5

Приравняем $5 x^{2} + 20 x + 19$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $5 x^{2} + 20 x + 19$ к $0$ .

$5 x^{2} + 20 x + 19 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $5 x^{2} + 20 x + 19 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5.2.2

Подставим значения $a = 5$ , $b = 20$ и $c = 19$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 19)}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1

Возведем $20$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 5 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 5 \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 20 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 20$ на $19$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 380}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.3.1.3

Вычтем $380$ из $400$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.3.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.3.2

Умножим $2$ на $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$

Этап 5.5.2.3.3

Упростим $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{5}}{5}$

Этап 5.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.1

Возведем $20$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 5 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 5 \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 20 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 20$ на $19$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 380}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.4.1.3

Вычтем $380$ из $400$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.4.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$

Этап 5.5.2.4.3

Упростим $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{5}}{5}$

Этап 5.5.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 10 + \sqrt{5}}{5}$

Этап 5.5.2.4.5

Перепишем $- 10$ в виде $- 1 (10)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 10 + \sqrt{5}}{5}$

Этап 5.5.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 10 - 1 (- \sqrt{5})}{5}$

Этап 5.5.2.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (10) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (10 - \sqrt{5})}{5}$

Этап 5.5.2.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$

Этап 5.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.1

Возведем $20$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 5 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 5 \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 20 \cdot 19}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 20$ на $19$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 380}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.5.1.3

Вычтем $380$ из $400$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.5.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Этап 5.5.2.5.2

Умножим $2$ на $5$ .

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$

Этап 5.5.2.5.3

Упростим $\frac{- 20 \pm 2 \sqrt{5}}{10}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{5}}{5}$

Этап 5.5.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 10 - \sqrt{5}}{5}$

Этап 5.5.2.5.5

Перепишем $- 10$ в виде $- 1 (10)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 10 - \sqrt{5}}{5}$

Этап 5.5.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 10 - (\sqrt{5})}{5}$

Этап 5.5.2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (10) - (\sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (10 + \sqrt{5})}{5}$

Этап 5.5.2.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$

Этап 5.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}, - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x + 2) (5 x^{2} + 20 x + 19) = 0$ верно.

$x = - 2, - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}, - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 2, - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}, - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$60 {((- 2) + 2)}^{2} - 4$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$60 \cdot 0^{2} - 4$

Этап 9.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$60 \cdot 0 - 4$

Этап 9.1.3

Умножим $60$ на $0$ .

$0 - 4$

Этап 9.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 4$

Этап 10

$x = - 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 5 {((- 2) + 2)}^{4} - 2 {((- 2) + 2)}^{2} + 8$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (- 2) = 5 \cdot 0^{4} - 2 {((- 2) + 2)}^{2} + 8$

Этап 11.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (- 2) = 5 \cdot 0 - 2 {((- 2) + 2)}^{2} + 8$

Этап 11.2.1.3

Умножим $5$ на $0$ .

$f (- 2) = 0 - 2 {((- 2) + 2)}^{2} + 8$

Этап 11.2.1.4

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (- 2) = 0 - 2 \cdot 0^{2} + 8$

Этап 11.2.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (- 2) = 0 - 2 \cdot 0 + 8$

Этап 11.2.1.6

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f (- 2) = 0 + 0 + 8$

Этап 11.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (- 2) = 0 + 8$

Этап 11.2.2.2

Добавим $0$ и $8$ .

$f (- 2) = 8$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $8$ .

$y = 8$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$60 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} - 4$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$60 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{2} - 4$

Этап 13.1.2

Объединим $2$ и $\frac{5}{5}$ .

$60 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Этап 13.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$60 {(\frac{- (10 - \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Этап 13.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$60 {(\frac{- 1 \cdot 10 - - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Этап 13.1.4.2

Умножим $- 1$ на $10$ .

$60 {(\frac{- 10 - - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Этап 13.1.4.3

Умножим $- - \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$60 {(\frac{- 10 + 1 \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Этап 13.1.4.3.2

Умножим $\sqrt{5}$ на $1$ .

$60 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Этап 13.1.4.4

Умножим $2$ на $5$ .

$60 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 10}{5})}^{2} - 4$

Этап 13.1.4.5

Добавим $- 10$ и $10$ .

$60 {(\frac{0 + \sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Этап 13.1.4.6

Добавим $0$ и $\sqrt{5}$ .

$60 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Этап 13.1.5

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$60 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 4$

Этап 13.1.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$60 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - 4$

Этап 13.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$60 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - 4$

Этап 13.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$60 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4$

Этап 13.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$60 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4$

Этап 13.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$60 \frac{5^{1}}{5^{2}} - 4$

Этап 13.1.6.5

Найдем экспоненту.

$60 \frac{5}{5^{2}} - 4$

Этап 13.1.7

Возведем $5$ в степень $2$ .

$60 (\frac{5}{25}) - 4$

Этап 13.1.8

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.8.1

Вынесем множитель $5$ из $60$ .

$5 (12) \frac{5}{25} - 4$

Этап 13.1.8.2

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$5 \cdot 12 \frac{5}{5 \cdot 5} - 4$

Этап 13.1.8.3

Сократим общий множитель.

$5 \cdot 12 \frac{5}{5 \cdot 5} - 4$

Этап 13.1.8.4

Перепишем это выражение.

$12 (\frac{5}{5}) - 4$

Этап 13.1.9

Объединим $12$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{12 \cdot 5}{5} - 4$

Этап 13.1.10

Умножим $12$ на $5$ .

$\frac{60}{5} - 4$

Этап 13.1.11

Разделим $60$ на $5$ .

$12 - 4$

Этап 13.2

Вычтем $4$ из $12$ .

$8$

Этап 14

$x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- (10 - \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 1 \cdot 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.4.2

Умножим $- 1$ на $10$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.4.3

Умножим $- - \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 + 1 \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.4.3.2

Умножим $\sqrt{5}$ на $1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.4.4

Умножим $2$ на $5$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 10}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.4.5

Добавим $- 10$ и $10$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{0 + \sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.4.6

Добавим $0$ и $\sqrt{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.1

Перепишем ${\sqrt{5}}^{4}$ в виде $5^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.6.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.6.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{4}{2}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.6.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.6.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.6.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.6.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2}{1}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.6.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{2}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.6.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.7

Возведем $5$ в степень $4$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{625}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.8

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.8.1

Вынесем множитель $5$ из $625$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5 (125)}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5 \cdot 125}) - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{25}{125} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.9

Сократим общий множитель $25$ и $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.9.1

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (1)}{125} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.9.2.1

Вынесем множитель $25$ из $125$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.9.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.9.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {((- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.10

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.11

Объединим $2$ и $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- (10 - \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 1 \cdot 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.13.2

Умножим $- 1$ на $10$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.13.3

Умножим $- - \sqrt{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.13.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 + 1 \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.13.3.2

Умножим $\sqrt{5}$ на $1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.13.4

Умножим $2$ на $5$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 + \sqrt{5} + 10}{5})}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.13.5

Добавим $- 10$ и $10$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{0 + \sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.13.6

Добавим $0$ и $\sqrt{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Этап 15.2.1.14

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + 8$

Этап 15.2.1.15

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.15.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + 8$

Этап 15.2.1.15.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + 8$

Этап 15.2.1.15.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 8$

Этап 15.2.1.15.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.15.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 8$

Этап 15.2.1.15.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5}{5^{2}} + 8$

Этап 15.2.1.15.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5}{5^{2}} + 8$

Этап 15.2.1.16

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (\frac{5}{25}) + 8$

Этап 15.2.1.17

Сократим общий множитель $5$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.17.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 (1)}{25} + 8$

Этап 15.2.1.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.17.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + 8$

Этап 15.2.1.17.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + 8$

Этап 15.2.1.17.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (\frac{1}{5}) + 8$

Этап 15.2.1.18

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} + \frac{- 2}{5} + 8$

Этап 15.2.1.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} + 8$

Этап 15.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 8 + \frac{1 - 2}{5}$

Этап 15.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 8 + \frac{- 1}{5}$

Этап 15.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 8 - \frac{1}{5}$

Этап 15.2.3

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = 8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}$

Этап 15.2.4

Объединим $8$ и $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{8 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5}$

Этап 15.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{8 \cdot 5 - 1}{5}$

Этап 15.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.1

Умножим $8$ на $5$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{40 - 1}{5}$

Этап 15.2.6.2

Вычтем $1$ из $40$ .

$f (- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}) = \frac{39}{5}$

Этап 15.2.7

Окончательный ответ: $\frac{39}{5}$ .

$y = \frac{39}{5}$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$60 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} - 4$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$60 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{2} - 4$

Этап 17.1.2

Объединим $2$ и $\frac{5}{5}$ .

$60 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Этап 17.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$60 {(\frac{- (10 + \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Этап 17.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$60 {(\frac{- 1 \cdot 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Этап 17.1.4.2

Умножим $- 1$ на $10$ .

$60 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} - 4$

Этап 17.1.4.3

Умножим $2$ на $5$ .

$60 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 10}{5})}^{2} - 4$

Этап 17.1.4.4

Добавим $- 10$ и $10$ .

$60 {(\frac{0 - \sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Этап 17.1.4.5

Вычтем $\sqrt{5}$ из $0$ .

$60 {(\frac{- \sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Этап 17.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$60 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} - 4$

Этап 17.1.6

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.6.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$60 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}) - 4$

Этап 17.1.6.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$60 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}) - 4$

Этап 17.1.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$60 (1 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}) - 4$

Этап 17.1.8

Умножим $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ на $1$ .

$60 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} - 4$

Этап 17.1.9

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$60 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} - 4$

Этап 17.1.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$60 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} - 4$

Этап 17.1.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$60 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4$

Этап 17.1.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.9.4.1

Сократим общий множитель.

$60 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} - 4$

Этап 17.1.9.4.2

Перепишем это выражение.

$60 \frac{5^{1}}{5^{2}} - 4$

Этап 17.1.9.5

Найдем экспоненту.

$60 \frac{5}{5^{2}} - 4$

Этап 17.1.10

Возведем $5$ в степень $2$ .

$60 (\frac{5}{25}) - 4$

Этап 17.1.11

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.11.1

Вынесем множитель $5$ из $60$ .

$5 (12) \frac{5}{25} - 4$

Этап 17.1.11.2

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$5 \cdot 12 \frac{5}{5 \cdot 5} - 4$

Этап 17.1.11.3

Сократим общий множитель.

$5 \cdot 12 \frac{5}{5 \cdot 5} - 4$

Этап 17.1.11.4

Перепишем это выражение.

$12 (\frac{5}{5}) - 4$

Этап 17.1.12

Объединим $12$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{12 \cdot 5}{5} - 4$

Этап 17.1.13

Умножим $12$ на $5$ .

$\frac{60}{5} - 4$

Этап 17.1.14

Разделим $60$ на $5$ .

$12 - 4$

Этап 17.2

Вычтем $4$ из $12$ .

$8$

Этап 18

$x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = - \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- (10 + \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 1 \cdot 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.4.2

Умножим $- 1$ на $10$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.4.3

Умножим $2$ на $5$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 10}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.4.4

Добавим $- 10$ и $10$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{0 - \sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.4.5

Вычтем $\sqrt{5}$ из $0$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(\frac{- \sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{4} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.6

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.6.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{4}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.6.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 ({(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}})) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.7

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (1 (\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}})) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.8

Умножим $\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}}$ на $1$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt{5}}^{4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.9.1

Перепишем ${\sqrt{5}}^{4}$ в виде $5^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.9.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.9.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.9.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{4}{2}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.9.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.9.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.9.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.9.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.9.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.9.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{\frac{2}{1}}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.9.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{5^{2}}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.9.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5^{4}}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.10

Возведем $5$ в степень $4$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{625}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.11

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.11.1

Вынесем множитель $5$ из $625$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5 (125)}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.11.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 5 (\frac{25}{5 \cdot 125}) - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.11.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{25}{125} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.12

Сократим общий множитель $25$ и $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.12.1

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 (1)}{125} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.12.2.1

Вынесем множитель $25$ из $125$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.12.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.12.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {((- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) + 2)}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.13

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5})}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.14

Объединим $2$ и $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- (10 + \sqrt{5}) + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 1 \cdot 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.16.2

Умножим $- 1$ на $10$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 2 \cdot 5}{5})}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.16.3

Умножим $2$ на $5$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- 10 - \sqrt{5} + 10}{5})}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.16.4

Добавим $- 10$ и $10$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{0 - \sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.16.5

Вычтем $\sqrt{5}$ из $0$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(\frac{- \sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + 8$

Этап 19.2.1.18

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.18.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}) + 8$

Этап 19.2.1.18.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}})) + 8$

Этап 19.2.1.19

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (1 (\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}})) + 8$

Этап 19.2.1.20

Умножим $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + 8$

Этап 19.2.1.21

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.21.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + 8$

Этап 19.2.1.21.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + 8$

Этап 19.2.1.21.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 8$

Этап 19.2.1.21.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.21.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 8$

Этап 19.2.1.21.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5}{5^{2}} + 8$

Этап 19.2.1.21.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5}{5^{2}} + 8$

Этап 19.2.1.22

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (\frac{5}{25}) + 8$

Этап 19.2.1.23

Сократим общий множитель $5$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.23.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 (1)}{25} + 8$

Этап 19.2.1.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.23.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + 8$

Этап 19.2.1.23.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + 8$

Этап 19.2.1.23.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - 2 (\frac{1}{5}) + 8$

Этап 19.2.1.24

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} + \frac{- 2}{5} + 8$

Этап 19.2.1.25

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} + 8$

Этап 19.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 8 + \frac{1 - 2}{5}$

Этап 19.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.2.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 8 + \frac{- 1}{5}$

Этап 19.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 8 - \frac{1}{5}$

Этап 19.2.3

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = 8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}$

Этап 19.2.4

Объединим $8$ и $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{8 \cdot 5}{5} - \frac{1}{5}$

Этап 19.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{8 \cdot 5 - 1}{5}$

Этап 19.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.6.1

Умножим $8$ на $5$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{40 - 1}{5}$

Этап 19.2.6.2

Вычтем $1$ из $40$ .

$f (- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}) = \frac{39}{5}$

Этап 19.2.7

Окончательный ответ: $\frac{39}{5}$ .

$y = \frac{39}{5}$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = 5 {(x + 2)}^{4} - 2 {(x + 2)}^{2} + 8$ .

$(- 2, 8)$ — локальный максимум

$(- \frac{10 - \sqrt{5}}{5}, \frac{39}{5})$ — локальный минимум

$(- \frac{10 + \sqrt{5}}{5}, \frac{39}{5})$ — локальный минимум

Этап 21