Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 + \frac{1}{9} x + \frac{10000}{x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $5 + \frac{1}{9} x + \frac{10000}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{9}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{9} x$ по $x$ равна $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{9} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Этап 1.2.3

Умножим $\frac{1}{9}$ на $1$ .

$0 + \frac{1}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $10000$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{10000}{x}$ по $x$ равна $10000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 + \frac{1}{9} + 10000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$0 + \frac{1}{9} + 10000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0 + \frac{1}{9} + 10000 (- x^{- 2})$

Этап 1.3.4

Умножим $- 1$ на $10000$ .

$0 + \frac{1}{9} - 10000 x^{- 2}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{9} - 10000 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Добавим $0$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9} - 10000 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.4.2.2

Объединим $- 10000$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{- 10000}{x^{2}}$

Этап 1.4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{9} - \frac{10000}{x^{2}}$

Этап 1.4.3

Изменим порядок членов.

$- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{10000}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{10000}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{10000}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 10000$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{10000}{x^{2}}$ по $x$ равна $- 10000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 10000 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 10000 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 10000 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 10000 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 10000 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10000 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Этап 2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 10000 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Этап 2.2.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 10000 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Этап 2.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 10000 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Этап 2.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 10000 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Этап 2.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 10000 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Этап 2.2.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$f'' (x) = - 10000 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Этап 2.2.10

Умножим $- 2$ на $- 10000$ .

$f'' (x) = 20000 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{9})$

Этап 2.3

Поскольку $\frac{1}{9}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{9}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 20000 x^{- 3} + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 20000 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $20000$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{20000}{x^{3}} + 0$

Этап 2.4.2.2

Добавим $\frac{20000}{x^{3}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{20000}{x^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Этап 4.1.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{9} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{9}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{9} x$ по $x$ равна $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{9} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $\frac{1}{9}$ на $1$ .

$0 + \frac{1}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{10000}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $10000$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{10000}{x}$ по $x$ равна $10000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 + \frac{1}{9} + 10000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 4.1.3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$0 + \frac{1}{9} + 10000 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 4.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0 + \frac{1}{9} + 10000 (- x^{- 2})$

Этап 4.1.3.4

Умножим $- 1$ на $10000$ .

$0 + \frac{1}{9} - 10000 x^{- 2}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{9} - 10000 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 4.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

Добавим $0$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9} - 10000 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 4.1.4.2.2

Объединим $- 10000$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{- 10000}{x^{2}}$

Этап 4.1.4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{9} - \frac{10000}{x^{2}}$

Этап 4.1.4.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9}$ .

$- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{10000}{x^{2}} + \frac{1}{9} = 0$

Этап 5.2

Вычтем $\frac{1}{9}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{10000}{x^{2}} = - \frac{1}{9}$

Этап 5.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 9$

Этап 5.3.2

Так как $x^{2}, 9$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 9$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{2}$ .

Этап 5.3.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.3.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.3.5

У $9$ есть множители: $3$ и $3$ .

$3 \cdot 3$

Этап 5.3.6

Умножим $3$ на $3$ .

$9$

Этап 5.3.7

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 5.3.8

НОК $x^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x$

Этап 5.3.9

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2}$

Этап 5.3.10

НОК $x^{2}, 9$ представляет собой произведение числовой части $9$ и переменной части.

$9 x^{2}$

Этап 5.4

Каждый член в $- \frac{10000}{x^{2}} = - \frac{1}{9}$ умножим на $9 x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый член $- \frac{10000}{x^{2}} = - \frac{1}{9}$ на $9 x^{2}$ .

$- \frac{10000}{x^{2}} (9 x^{2}) = - \frac{1}{9} (9 x^{2})$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{10000}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 10000}{x^{2}} (9 x^{2}) = - \frac{1}{9} (9 x^{2})$

Этап 5.4.2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $9 x^{2}$ .

$\frac{- 10000}{x^{2}} (x^{2} \cdot 9) = - \frac{1}{9} (9 x^{2})$

Этап 5.4.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 10000}{x^{2}} (x^{2} \cdot 9) = - \frac{1}{9} (9 x^{2})$

Этап 5.4.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 10000 \cdot 9 = - \frac{1}{9} (9 x^{2})$

Этап 5.4.2.2

Умножим $- 10000$ на $9$ .

$- 90000 = - \frac{1}{9} (9 x^{2})$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{9}$ в числитель.

$- 90000 = \frac{- 1}{9} (9 x^{2})$

Этап 5.4.3.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2}$ .

$- 90000 = \frac{- 1}{9} (9 (x^{2}))$

Этап 5.4.3.1.3

Сократим общий множитель.

$- 90000 = \frac{- 1}{9} (9 x^{2})$

Этап 5.4.3.1.4

Перепишем это выражение.

$- 90000 = - x^{2}$

Этап 5.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $- x^{2} = - 90000$ .

$- x^{2} = - 90000$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 90000$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 90000$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 90000}{- 1}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 90000}{- 1}$

Этап 5.5.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 90000}{- 1}$

Этап 5.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Разделим $- 90000$ на $- 1$ .

$x^{2} = 90000$

Этап 5.5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{90000}$

Этап 5.5.4

Упростим $\pm \sqrt{90000}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Перепишем $90000$ в виде $300^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{300^{2}}$

Этап 5.5.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 300$

Этап 5.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 300$

Этап 5.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 300$

Этап 5.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 300, - 300$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{10000}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 300, - 300$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 300$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{20000}{{(300)}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возведем $300$ в степень $3$ .

$\frac{20000}{27000000}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $20000$ и $27000000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $20000$ из $20000$ .

$\frac{20000 (1)}{27000000}$

Этап 9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $20000$ из $27000000$ .

$\frac{20000 \cdot 1}{20000 \cdot 1350}$

Этап 9.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{20000 \cdot 1}{20000 \cdot 1350}$

Этап 9.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1350}$

Этап 10

$x = 300$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 300$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 300$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $300$ .

$f (300) = 5 + \frac{1}{9} \cdot (300) + \frac{10000}{300}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (300) = 5 + \frac{1}{3 (3)} \cdot 300 + \frac{10000}{300}$

Этап 11.2.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $300$ .

$f (300) = 5 + \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 100) + \frac{10000}{300}$

Этап 11.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$f (300) = 5 + \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 100) + \frac{10000}{300}$

Этап 11.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$f (300) = 5 + \frac{1}{3} \cdot 100 + \frac{10000}{300}$

Этап 11.2.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $100$ .

$f (300) = 5 + \frac{100}{3} + \frac{10000}{300}$

Этап 11.2.1.3

Сократим общий множитель $10000$ и $300$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.1

Вынесем множитель $100$ из $10000$ .

$f (300) = 5 + \frac{100}{3} + \frac{100 (100)}{300}$

Этап 11.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $100$ из $300$ .

$f (300) = 5 + \frac{100}{3} + \frac{100 \cdot 100}{100 \cdot 3}$

Этап 11.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (300) = 5 + \frac{100}{3} + \frac{100 \cdot 100}{100 \cdot 3}$

Этап 11.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (300) = 5 + \frac{100}{3} + \frac{100}{3}$

Этап 11.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (300) = 5 + \frac{100 + 100}{3}$

Этап 11.2.2.2

Добавим $100$ и $100$ .

$f (300) = 5 + \frac{200}{3}$

Этап 11.2.3

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (300) = 5 \cdot \frac{3}{3} + \frac{200}{3}$

Этап 11.2.4

Объединим $5$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (300) = \frac{5 \cdot 3}{3} + \frac{200}{3}$

Этап 11.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (300) = \frac{5 \cdot 3 + 200}{3}$

Этап 11.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1

Умножим $5$ на $3$ .

$f (300) = \frac{15 + 200}{3}$

Этап 11.2.6.2

Добавим $15$ и $200$ .

$f (300) = \frac{215}{3}$

Этап 11.2.7

Окончательный ответ: $\frac{215}{3}$ .

$y = \frac{215}{3}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 300$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{20000}{{(- 300)}^{3}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Возведем $- 300$ в степень $3$ .

$\frac{20000}{- 27000000}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $20000$ и $- 27000000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вынесем множитель $20000$ из $20000$ .

$\frac{20000 (1)}{- 27000000}$

Этап 13.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Вынесем множитель $20000$ из $- 27000000$ .

$\frac{20000 \cdot 1}{20000 \cdot - 1350}$

Этап 13.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{20000 \cdot 1}{20000 \cdot - 1350}$

Этап 13.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 1350}$

Этап 13.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{1350}$

Этап 14

$x = - 300$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 300$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 300$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 300$ .

$f (- 300) = 5 + \frac{1}{9} \cdot (- 300) + \frac{10000}{- 300}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (- 300) = 5 + \frac{1}{3 (3)} \cdot - 300 + \frac{10000}{- 300}$

Этап 15.2.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 300$ .

$f (- 300) = 5 + \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 100) + \frac{10000}{- 300}$

Этап 15.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$f (- 300) = 5 + \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 100) + \frac{10000}{- 300}$

Этап 15.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$f (- 300) = 5 + \frac{1}{3} \cdot - 100 + \frac{10000}{- 300}$

Этап 15.2.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 100$ .

$f (- 300) = 5 + \frac{- 100}{3} + \frac{10000}{- 300}$

Этап 15.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 300) = 5 - \frac{100}{3} + \frac{10000}{- 300}$

Этап 15.2.1.4

Сократим общий множитель $10000$ и $- 300$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

Вынесем множитель $100$ из $10000$ .

$f (- 300) = 5 - \frac{100}{3} + \frac{100 (100)}{- 300}$

Этап 15.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $100$ из $- 300$ .

$f (- 300) = 5 - \frac{100}{3} + \frac{100 \cdot 100}{100 \cdot - 3}$

Этап 15.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 300) = 5 - \frac{100}{3} + \frac{100 \cdot 100}{100 \cdot - 3}$

Этап 15.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 300) = 5 - \frac{100}{3} + \frac{100}{- 3}$

Этап 15.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 300) = 5 - \frac{100}{3} - \frac{100}{3}$

Этап 15.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 300) = 5 + \frac{- 100 - 100}{3}$

Этап 15.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1

Вычтем $100$ из $- 100$ .

$f (- 300) = 5 + \frac{- 200}{3}$

Этап 15.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 300) = 5 - \frac{200}{3}$

Этап 15.2.3

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 300) = 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{200}{3}$

Этап 15.2.4

Объединим $5$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- 300) = \frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{200}{3}$

Этап 15.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 300) = \frac{5 \cdot 3 - 200}{3}$

Этап 15.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.6.1

Умножим $5$ на $3$ .

$f (- 300) = \frac{15 - 200}{3}$

Этап 15.2.6.2

Вычтем $200$ из $15$ .

$f (- 300) = \frac{- 185}{3}$

Этап 15.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 300) = - \frac{185}{3}$

Этап 15.2.8

Окончательный ответ: $- \frac{185}{3}$ .

$y = - \frac{185}{3}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 5 + \frac{1}{9} x + \frac{10000}{x}$ .

$(300, \frac{215}{3})$ — локальный минимум

$(- 300, - \frac{185}{3})$ — локальный максимум

Этап 17