Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x + 7 x^{- 1}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $5 x + 7 x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Этап 1.2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{- 1}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$5 + 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$5 + 7 (- x^{- 2})$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $7$ .

$5 - 7 x^{- 2}$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$- 7 x^{- 2} + 5$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 7 x^{- 2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 7 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x^{- 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x^{- 2}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$f'' (x) = - 7 \frac{d}{d x} x^{- 2} + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 2.2.3

Умножим $- 2$ на $- 7$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 2.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $14 x^{- 3}$ и $0$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3}$

Этап 2.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 2.4.3

Объединим $14$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14}{x^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 7 x^{- 2} + 5 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $5 x + 7 x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (7 x^{- 1})$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (7 x^{- 1})$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (7 x^{- 1})$

Этап 4.1.2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$f' (x) = 5 + \frac{d}{d x} (7 x^{- 1})$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x^{- 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{- 1}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$f' (x) = 5 + 7 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = 5 + 7 (- x^{- 2})$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 1$ на $7$ .

$f' (x) = 5 - 7 x^{- 2}$

Этап 4.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 7 x^{- 2} + 5$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 7 x^{- 2} + 5$ .

$- 7 x^{- 2} + 5$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 7 x^{- 2} + 5 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 7 x^{- 2} + 5 = 0$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{x^{2}} + 5 = 0$

Этап 5.2.2

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 7}{x^{2}} + 5 = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7}{x^{2}} + 5 = 0$

Этап 5.3

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{7}{x^{2}} = - 5$

Этап 5.4

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 1$

Этап 5.4.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 5.5

Каждый член в $- \frac{7}{x^{2}} = - 5$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим каждый член $- \frac{7}{x^{2}} = - 5$ на $x^{2}$ .

$- \frac{7}{x^{2}} x^{2} = - 5 x^{2}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 7}{x^{2}} x^{2} = - 5 x^{2}$

Этап 5.5.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7}{x^{2}} x^{2} = - 5 x^{2}$

Этап 5.5.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 7 = - 5 x^{2}$

Этап 5.6

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перепишем уравнение в виде $- 5 x^{2} = - 7$ .

$- 5 x^{2} = - 7$

Этап 5.6.2

Разделим каждый член $- 5 x^{2} = - 7$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Разделим каждый член $- 5 x^{2} = - 7$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x^{2}}{- 5} = \frac{- 7}{- 5}$

Этап 5.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x^{2}}{- 5} = \frac{- 7}{- 5}$

Этап 5.6.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{- 5}$

Этап 5.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{2} = \frac{7}{5}$

Этап 5.6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{5}}$

Этап 5.6.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{7}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{7}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$

Этап 5.6.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 5.6.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 5.6.4.3.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 5.6.4.3.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 5.6.4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 5.6.4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 5.6.4.3.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.6.4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.6.4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.6.4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.6.4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 5.6.4.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5}$

Этап 5.6.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.4.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 5}}{5}$

Этап 5.6.4.4.2

Умножим $7$ на $5$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{35}}{5}$

Этап 5.6.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{35}}{5}$

Этап 5.6.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Этап 5.6.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{35}}{5}, - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим основание в $x^{- 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{\sqrt{35}}{5}, - \frac{\sqrt{35}}{5}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{\sqrt{35}}{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{14}{{(\frac{\sqrt{35}}{5})}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{35}}{5}$ .

$\frac{14}{\frac{{\sqrt{35}}^{3}}{5^{3}}}$

Этап 9.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Перепишем ${\sqrt{35}}^{3}$ в виде $\sqrt{35^{3}}$ .

$\frac{14}{\frac{\sqrt{35^{3}}}{5^{3}}}$

Этап 9.1.2.2

Возведем $35$ в степень $3$ .

$\frac{14}{\frac{\sqrt{42875}}{5^{3}}}$

Этап 9.1.2.3

Перепишем $42875$ в виде $35^{2} \cdot 35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.3.1

Вынесем множитель $1225$ из $42875$ .

$\frac{14}{\frac{\sqrt{1225 (35)}}{5^{3}}}$

Этап 9.1.2.3.2

Перепишем $1225$ в виде $35^{2}$ .

$\frac{14}{\frac{\sqrt{35^{2} \cdot 35}}{5^{3}}}$

Этап 9.1.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{14}{\frac{35 \sqrt{35}}{5^{3}}}$

Этап 9.1.3

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{14}{\frac{35 \sqrt{35}}{125}}$

Этап 9.1.4

Сократим общий множитель $35$ и $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Вынесем множитель $5$ из $35 \sqrt{35}$ .

$\frac{14}{\frac{5 (7 \sqrt{35})}{125}}$

Этап 9.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $125$ .

$\frac{14}{\frac{5 (7 \sqrt{35})}{5 (25)}}$

Этап 9.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{14}{\frac{5 (7 \sqrt{35})}{5 \cdot 25}}$

Этап 9.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{14}{\frac{7 \sqrt{35}}{25}}$

Этап 9.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$14 \frac{25}{7 \sqrt{35}}$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $7$ из $14$ .

$7 (2) \frac{25}{7 \sqrt{35}}$

Этап 9.3.2

Вынесем множитель $7$ из $7 \sqrt{35}$ .

$7 (2) \frac{25}{7 (\sqrt{35})}$

Этап 9.3.3

Сократим общий множитель.

$7 \cdot 2 \frac{25}{7 \sqrt{35}}$

Этап 9.3.4

Перепишем это выражение.

$2 \frac{25}{\sqrt{35}}$

Этап 9.4

Объединим $2$ и $\frac{25}{\sqrt{35}}$ .

$\frac{2 \cdot 25}{\sqrt{35}}$

Этап 9.5

Умножим $2$ на $25$ .

$\frac{50}{\sqrt{35}}$

Этап 9.6

Умножим $\frac{50}{\sqrt{35}}$ на $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$\frac{50}{\sqrt{35}} \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$

Этап 9.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Умножим $\frac{50}{\sqrt{35}}$ на $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$\frac{50 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}}$

Этап 9.7.2

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$\frac{50 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35}}$

Этап 9.7.3

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$\frac{50 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1}}$

Этап 9.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{50 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Этап 9.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{50 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{2}}$

Этап 9.7.6

Перепишем ${\sqrt{35}}^{2}$ в виде $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{35}$ в виде $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{50 \sqrt{35}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{50 \sqrt{35}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{50 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{50 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{50 \sqrt{35}}{35^{1}}$

Этап 9.7.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{50 \sqrt{35}}{35}$

Этап 9.8

Сократим общий множитель $50$ и $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1

Вынесем множитель $5$ из $50 \sqrt{35}$ .

$\frac{5 (10 \sqrt{35})}{35}$

Этап 9.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.2.1

Вынесем множитель $5$ из $35$ .

$\frac{5 (10 \sqrt{35})}{5 (7)}$

Этап 9.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (10 \sqrt{35})}{5 \cdot 7}$

Этап 9.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10 \sqrt{35}}{7}$

Этап 10

$x = \frac{\sqrt{35}}{5}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{\sqrt{35}}{5}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{\sqrt{35}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt{35}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = 5 (\frac{\sqrt{35}}{5}) + 7 {(\frac{\sqrt{35}}{5})}^{- 1}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = 5 (\frac{\sqrt{35}}{5}) + 7 {(\frac{\sqrt{35}}{5})}^{- 1}$

Этап 11.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 {(\frac{\sqrt{35}}{5})}^{- 1}$

Этап 11.2.1.2

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5}{\sqrt{35}})$

Этап 11.2.1.3

Умножим $\frac{5}{\sqrt{35}}$ на $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5}{\sqrt{35}} \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}})$

Этап 11.2.1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Умножим $\frac{5}{\sqrt{35}}$ на $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}})$

Этап 11.2.1.4.2

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}})$

Этап 11.2.1.4.3

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}})$

Этап 11.2.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1 + 1}})$

Этап 11.2.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{2}})$

Этап 11.2.1.4.6

Перепишем ${\sqrt{35}}^{2}$ в виде $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{35}$ в виде $35^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 11.2.1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 11.2.1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}})$

Этап 11.2.1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}})$

Этап 11.2.1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{35})$

Этап 11.2.1.4.6.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{35})$

Этап 11.2.1.5

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.1

Вынесем множитель $7$ из $35$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{7 (5)})$

Этап 11.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + 7 (\frac{5 \sqrt{35}}{7 \cdot 5})$

Этап 11.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + \frac{5 \sqrt{35}}{5}$

Этап 11.2.1.6

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + \frac{5 \sqrt{35}}{5}$

Этап 11.2.1.6.2

Разделим $\sqrt{35}$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = \sqrt{35} + \sqrt{35}$

Этап 11.2.2

Добавим $\sqrt{35}$ и $\sqrt{35}$ .

$f (\frac{\sqrt{35}}{5}) = 2 \sqrt{35}$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $2 \sqrt{35}$ .

$y = 2 \sqrt{35}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{\sqrt{35}}{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{14}{{(- \frac{\sqrt{35}}{5})}^{3}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{35}}{5}$ .

$\frac{14}{{(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{35}}{5})}^{3}}$

Этап 13.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{14}{- {(\frac{\sqrt{35}}{5})}^{3}}$

Этап 13.1.3

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{35}}{5}$ .

$\frac{14}{- \frac{{\sqrt{35}}^{3}}{5^{3}}}$

Этап 13.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.1

Перепишем ${\sqrt{35}}^{3}$ в виде $\sqrt{35^{3}}$ .

$\frac{14}{- \frac{\sqrt{35^{3}}}{5^{3}}}$

Этап 13.1.4.2

Возведем $35$ в степень $3$ .

$\frac{14}{- \frac{\sqrt{42875}}{5^{3}}}$

Этап 13.1.4.3

Перепишем $42875$ в виде $35^{2} \cdot 35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.3.1

Вынесем множитель $1225$ из $42875$ .

$\frac{14}{- \frac{\sqrt{1225 (35)}}{5^{3}}}$

Этап 13.1.4.3.2

Перепишем $1225$ в виде $35^{2}$ .

$\frac{14}{- \frac{\sqrt{35^{2} \cdot 35}}{5^{3}}}$

Этап 13.1.4.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{14}{- \frac{35 \sqrt{35}}{5^{3}}}$

Этап 13.1.5

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{14}{- \frac{35 \sqrt{35}}{125}}$

Этап 13.1.6

Сократим общий множитель $35$ и $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.1

Вынесем множитель $5$ из $35 \sqrt{35}$ .

$\frac{14}{- \frac{5 (7 \sqrt{35})}{125}}$

Этап 13.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $125$ .

$\frac{14}{- \frac{5 (7 \sqrt{35})}{5 (25)}}$

Этап 13.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{14}{- \frac{5 (7 \sqrt{35})}{5 \cdot 25}}$

Этап 13.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{14}{- \frac{7 \sqrt{35}}{25}}$

Этап 13.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$14 (- \frac{25}{7 \sqrt{35}})$

Этап 13.3

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{25}{7 \sqrt{35}}$ в числитель.

$14 \frac{- 25}{7 \sqrt{35}}$

Этап 13.3.2

Вынесем множитель $7$ из $14$ .

$7 (2) \frac{- 25}{7 \sqrt{35}}$

Этап 13.3.3

Вынесем множитель $7$ из $7 \sqrt{35}$ .

$7 (2) \frac{- 25}{7 (\sqrt{35})}$

Этап 13.3.4

Сократим общий множитель.

$7 \cdot 2 \frac{- 25}{7 \sqrt{35}}$

Этап 13.3.5

Перепишем это выражение.

$2 \frac{- 25}{\sqrt{35}}$

Этап 13.4

Объединим $2$ и $\frac{- 25}{\sqrt{35}}$ .

$\frac{2 \cdot - 25}{\sqrt{35}}$

Этап 13.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Умножим $2$ на $- 25$ .

$\frac{- 50}{\sqrt{35}}$

Этап 13.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{50}{\sqrt{35}}$

Этап 13.6

Умножим $\frac{50}{\sqrt{35}}$ на $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$- (\frac{50}{\sqrt{35}} \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}})$

Этап 13.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.7.1

Умножим $\frac{50}{\sqrt{35}}$ на $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$- \frac{50 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}}$

Этап 13.7.2

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$- \frac{50 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35}}$

Этап 13.7.3

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$- \frac{50 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1}}$

Этап 13.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{50 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Этап 13.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{50 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{2}}$

Этап 13.7.6

Перепишем ${\sqrt{35}}^{2}$ в виде $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{35}$ в виде $35^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{50 \sqrt{35}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 13.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{50 \sqrt{35}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 13.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{50 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

Этап 13.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{50 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}}$

Этап 13.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{50 \sqrt{35}}{35^{1}}$

Этап 13.7.6.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{50 \sqrt{35}}{35}$

Этап 13.8

Сократим общий множитель $50$ и $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.8.1

Вынесем множитель $5$ из $50 \sqrt{35}$ .

$- \frac{5 (10 \sqrt{35})}{35}$

Этап 13.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.8.2.1

Вынесем множитель $5$ из $35$ .

$- \frac{5 (10 \sqrt{35})}{5 (7)}$

Этап 13.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{5 (10 \sqrt{35})}{5 \cdot 7}$

Этап 13.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{10 \sqrt{35}}{7}$

Этап 14

$x = - \frac{\sqrt{35}}{5}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{\sqrt{35}}{5}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{\sqrt{35}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{\sqrt{35}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = 5 (- \frac{\sqrt{35}}{5}) + 7 {(- \frac{\sqrt{35}}{5})}^{- 1}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{35}}{5}$ в числитель.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = 5 (\frac{- \sqrt{35}}{5}) + 7 {(- \frac{\sqrt{35}}{5})}^{- 1}$

Этап 15.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = 5 (\frac{- \sqrt{35}}{5}) + 7 {(- \frac{\sqrt{35}}{5})}^{- 1}$

Этап 15.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 {(- \frac{\sqrt{35}}{5})}^{- 1}$

Этап 15.2.1.2

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5}{\sqrt{35}})$

Этап 15.2.1.3

Умножим $\frac{5}{\sqrt{35}}$ на $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- (\frac{5}{\sqrt{35}} \cdot \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}))$

Этап 15.2.1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

Умножим $\frac{5}{\sqrt{35}}$ на $\frac{\sqrt{35}}{\sqrt{35}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}})$

Этап 15.2.1.4.2

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}})$

Этап 15.2.1.4.3

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{\sqrt{35} \sqrt{35}})$

Этап 15.2.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{1 + 1}})$

Этап 15.2.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{{\sqrt{35}}^{2}})$

Этап 15.2.1.4.6

Перепишем ${\sqrt{35}}^{2}$ в виде $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{35}$ в виде $35^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 15.2.1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 15.2.1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}})$

Этап 15.2.1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{35^{\frac{2}{2}}})$

Этап 15.2.1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{35})$

Этап 15.2.1.4.6.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (- \frac{5 \sqrt{35}}{35})$

Этап 15.2.1.5

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5 \sqrt{35}}{35}$ в числитель.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (\frac{- 5 \sqrt{35}}{35})$

Этап 15.2.1.5.2

Вынесем множитель $7$ из $35$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (\frac{- 5 \sqrt{35}}{7 (5)})$

Этап 15.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + 7 (\frac{- 5 \sqrt{35}}{7 \cdot 5})$

Этап 15.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + \frac{- 5 \sqrt{35}}{5}$

Этап 15.2.1.6

Сократим общий множитель $- 5$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 \sqrt{35}$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + \frac{5 (- \sqrt{35})}{5}$

Этап 15.2.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + \frac{5 (- \sqrt{35})}{5 (1)}$

Этап 15.2.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + \frac{5 (- \sqrt{35})}{5 \cdot 1}$

Этап 15.2.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} + \frac{- \sqrt{35}}{1}$

Этап 15.2.1.6.2.4

Разделим $- \sqrt{35}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - \sqrt{35} - \sqrt{35}$

Этап 15.2.2

Вычтем $\sqrt{35}$ из $- \sqrt{35}$ .

$f (- \frac{\sqrt{35}}{5}) = - 2 \sqrt{35}$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $- 2 \sqrt{35}$ .

$y = - 2 \sqrt{35}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 5 x + 7 x^{- 1}$ .

$(\frac{\sqrt{35}}{5}, 2 \sqrt{35})$ — локальный минимум

$(- \frac{\sqrt{35}}{5}, - 2 \sqrt{35})$ — локальный максимум

Этап 17