Математический анализ Примеры

$f (x) = - 6 x^{2} - 7 x y - 8 y^{2} + 20 x - 36 y + 4$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- 6 x^{2} - 7 x y - 8 y^{2} + 20 x - 36 y + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$- 12 x + \frac{d}{d x} [- 7 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 7 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x y$ по $x$ равна $- 7 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 x - 7 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 12 x - 7 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8 y^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$- 12 x - 7 y + \frac{d}{d x} [- 8 y^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4

Поскольку $- 8 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 12 x - 7 y + 0 + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 x - 7 y + 0 + 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 12 x - 7 y + 0 + 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.5.3

Умножим $20$ на $1$ .

$- 12 x - 7 y + 0 + 20 + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Поскольку $- 36 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 36 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 12 x - 7 y + 0 + 20 + 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.6.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 12 x - 7 y + 0 + 20 + 0 + 0$

Этап 1.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Добавим $- 12 x - 7 y$ и $0$ .

$- 12 x - 7 y + 20 + 0 + 0$

Этап 1.7.2

Добавим $- 12 x - 7 y + 20$ и $0$ .

$- 12 x - 7 y + 20 + 0$

Этап 1.7.3

Добавим $- 12 x - 7 y + 20$ и $0$ .

$- 12 x - 7 y + 20$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 12 x - 7 y + 20$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7 y] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 7 y) + \frac{d}{d x} (20)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 7 y) + \frac{d}{d x} (20)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7 y) + \frac{d}{d x} (20)$

Этап 2.2.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f'' (x) = - 12 + \frac{d}{d x} (- 7 y) + \frac{d}{d x} (20)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 7 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 12 + 0 + \frac{d}{d x} (20)$

Этап 2.3.2

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 12 + 0 + 0$

Этап 2.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $- 12$ и $0$ .

$f'' (x) = - 12 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 12$ и $0$ .

$f'' (x) = - 12$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 12 x - 7 y + 20 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$- 12 x + \frac{d}{d x} [- 7 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 7 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x y$ по $x$ равна $- 7 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 x - 7 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 12 x - 7 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8 y^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$- 12 x - 7 y + \frac{d}{d x} [- 8 y^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4

Поскольку $- 8 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 12 x - 7 y + 0 + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 x - 7 y + 0 + 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 12 x - 7 y + 0 + 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.5.3

Умножим $20$ на $1$ .

$- 12 x - 7 y + 0 + 20 + \frac{d}{d x} [- 36 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Поскольку $- 36 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 36 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 12 x - 7 y + 0 + 20 + 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.6.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 12 x - 7 y + 0 + 20 + 0 + 0$

Этап 4.1.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Добавим $- 12 x - 7 y$ и $0$ .

$- 12 x - 7 y + 20 + 0 + 0$

Этап 4.1.7.2

Добавим $- 12 x - 7 y + 20$ и $0$ .

$- 12 x - 7 y + 20 + 0$

Этап 4.1.7.3

Добавим $- 12 x - 7 y + 20$ и $0$ .

$f' (x) = - 12 x - 7 y + 20$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 12 x - 7 y + 20$ .

$- 12 x - 7 y + 20$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 12 x - 7 y + 20 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 12 x - 7 y + 20 = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $7 y$ к обеим частям уравнения.

$- 12 x + 20 = 7 y$

Этап 5.2.2

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$- 12 x = 7 y - 20$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- 12 x = 7 y - 20$ на $- 12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- 12 x = 7 y - 20$ на $- 12$ .

$\frac{- 12 x}{- 12} = \frac{7 y}{- 12} + \frac{- 20}{- 12}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 12 x}{- 12} = \frac{7 y}{- 12} + \frac{- 20}{- 12}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{7 y}{- 12} + \frac{- 20}{- 12}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7 y}{12} + \frac{- 20}{- 12}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель $- 20$ и $- 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 20$ .

$x = - \frac{7 y}{12} + \frac{- 4 (5)}{- 12}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 12$ .

$x = - \frac{7 y}{12} + \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 3}$

Этап 5.3.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{7 y}{12} + \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 3}$

Этап 5.3.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 12$

Этап 9

$x = - \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}$ — локальный максимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = - \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 {(- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3})}^{2} - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Перепишем ${(- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3})}^{2}$ в виде $(- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3})$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 ((- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3})) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.2

Развернем $(- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (- \frac{7 y}{12} \cdot (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) + \frac{5}{3} \cdot (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3})) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (- \frac{7 y}{12} \cdot (- \frac{7 y}{12}) - \frac{7 y}{12} \cdot \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \cdot (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3})) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (- \frac{7 y}{12} \cdot (- \frac{7 y}{12}) - \frac{7 y}{12} \cdot \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \cdot (- \frac{7 y}{12}) + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.1

Умножим $- \frac{7 y}{12} (- \frac{7 y}{12})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (1 (\frac{7 y}{12}) \cdot \frac{7 y}{12} - \frac{7 y}{12} \cdot \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \cdot (- \frac{7 y}{12}) + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.3.1.1.2

Умножим $\frac{7 y}{12}$ на $1$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{7 y}{12} \cdot \frac{7 y}{12} - \frac{7 y}{12} \cdot \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \cdot (- \frac{7 y}{12}) + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.3.1.1.3

Умножим $\frac{7 y}{12}$ на $\frac{7 y}{12}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{7 y (7 y)}{12 \cdot 12} - \frac{7 y}{12} \cdot \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \cdot (- \frac{7 y}{12}) + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.3.1.1.4

Умножим $7$ на $7$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{49 y \cdot y}{12 \cdot 12} - \frac{7 y}{12} \cdot \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \cdot (- \frac{7 y}{12}) + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.3.1.1.5

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{49 (y \cdot y)}{12 \cdot 12} - \frac{7 y}{12} \cdot \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \cdot (- \frac{7 y}{12}) + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.3.1.1.6

Возведем $y$ в степень $1$ .

Этап 10.2.1.3.1.1.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{49 y^{1 + 1}}{12 \cdot 12} - \frac{7 y}{12} \cdot \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \cdot (- \frac{7 y}{12}) + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.3.1.1.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{49 y^{2}}{12 \cdot 12} - \frac{7 y}{12} \cdot \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \cdot (- \frac{7 y}{12}) + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.3.1.1.9

Умножим $12$ на $12$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{49 y^{2}}{144} - \frac{7 y}{12} \cdot \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \cdot (- \frac{7 y}{12}) + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.3.1.2

Умножим $- \frac{7 y}{12} \cdot \frac{5}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.2.1

Умножим $\frac{5}{3}$ на $\frac{7 y}{12}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{49 y^{2}}{144} - \frac{5 (7 y)}{3 \cdot 12} + \frac{5}{3} \cdot (- \frac{7 y}{12}) + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.3.1.2.2

Умножим $7$ на $5$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{49 y^{2}}{144} - \frac{35 y}{3 \cdot 12} + \frac{5}{3} \cdot (- \frac{7 y}{12}) + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.3.1.2.3

Умножим $3$ на $12$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{49 y^{2}}{144} - \frac{35 y}{36} + \frac{5}{3} \cdot (- \frac{7 y}{12}) + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.3.1.3

Умножим $\frac{5}{3} (- \frac{7 y}{12})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.3.1

Умножим $\frac{5}{3}$ на $\frac{7 y}{12}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{49 y^{2}}{144} - \frac{35 y}{36} - \frac{5 (7 y)}{3 \cdot 12} + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.3.1.3.2

Умножим $7$ на $5$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{49 y^{2}}{144} - \frac{35 y}{36} - \frac{35 y}{3 \cdot 12} + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.3.1.3.3

Умножим $3$ на $12$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{49 y^{2}}{144} - \frac{35 y}{36} - \frac{35 y}{36} + \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.3.1.4

Умножим $\frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1.4.1

Умножим $\frac{5}{3}$ на $\frac{5}{3}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{49 y^{2}}{144} - \frac{35 y}{36} - \frac{35 y}{36} + \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 3}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.3.1.4.2

Умножим $5$ на $5$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{49 y^{2}}{144} - \frac{35 y}{36} - \frac{35 y}{36} + \frac{25}{3 \cdot 3}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.3.1.4.3

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{49 y^{2}}{144} - \frac{35 y}{36} - \frac{35 y}{36} + \frac{25}{9}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.3.2

Вычтем $\frac{35 y}{36}$ из $- \frac{35 y}{36}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{49 y^{2}}{144} - 2 \frac{35 y}{36} + \frac{25}{9}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{49 y^{2}}{144} + 2 (- 1) (\frac{35 y}{36}) + \frac{25}{9}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $36$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{49 y^{2}}{144} + 2 \cdot (- 1 \frac{35 y}{2 \cdot 18}) + \frac{25}{9}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.4.1.3

Сократим общий множитель.

Этап 10.2.1.4.1.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{49 y^{2}}{144} - 1 \frac{35 y}{18} + \frac{25}{9}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.4.2

Перепишем $- 1 \frac{35 y}{18}$ в виде $- \frac{35 y}{18}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 (\frac{49 y^{2}}{144} - \frac{35 y}{18} + \frac{25}{9}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 6 \frac{49 y^{2}}{144} - 6 (- \frac{35 y}{18}) - 6 (\frac{25}{9}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.1.1

Вынесем множитель $6$ из $- 6$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = 6 (- 1) (\frac{49 y^{2}}{144}) - 6 (- \frac{35 y}{18}) - 6 (\frac{25}{9}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.6.1.2

Вынесем множитель $6$ из $144$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = 6 \cdot (- 1 \frac{49 y^{2}}{6 \cdot 24}) - 6 (- \frac{35 y}{18}) - 6 (\frac{25}{9}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.6.1.3

Сократим общий множитель.

Этап 10.2.1.6.1.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 1 \frac{49 y^{2}}{24} - 6 (- \frac{35 y}{18}) - 6 (\frac{25}{9}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.6.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{35 y}{18}$ в числитель.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 1 \frac{49 y^{2}}{24} - 6 \frac{- 35 y}{18} - 6 (\frac{25}{9}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.6.2.2

Вынесем множитель $6$ из $- 6$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 1 \frac{49 y^{2}}{24} + 6 (- 1) (\frac{- 35 y}{18}) - 6 (\frac{25}{9}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.6.2.3

Вынесем множитель $6$ из $18$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 1 \frac{49 y^{2}}{24} + 6 \cdot (- 1 \frac{- 35 y}{6 \cdot 3}) - 6 (\frac{25}{9}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.6.2.4

Сократим общий множитель.

Этап 10.2.1.6.2.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 1 \frac{49 y^{2}}{24} - 1 \frac{- 35 y}{3} - 6 (\frac{25}{9}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.6.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 1 \frac{49 y^{2}}{24} - 1 \frac{- 35 y}{3} + 3 (- 2) (\frac{25}{9}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.6.3.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 1 \frac{49 y^{2}}{24} - 1 \frac{- 35 y}{3} + 3 \cdot (- 2 \frac{25}{3 \cdot 3}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.6.3.3

Сократим общий множитель.

Этап 10.2.1.6.3.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 1 \frac{49 y^{2}}{24} - 1 \frac{- 35 y}{3} - 2 (\frac{25}{3}) - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.6.4

Объединим $- 2$ и $\frac{25}{3}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 1 \frac{49 y^{2}}{24} - 1 \frac{- 35 y}{3} + \frac{- 2 \cdot 25}{3} - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.6.5

Умножим $- 2$ на $25$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 1 \frac{49 y^{2}}{24} - 1 \frac{- 35 y}{3} + \frac{- 50}{3} - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.7.1

Перепишем $- 1 \frac{49 y^{2}}{24}$ в виде $- \frac{49 y^{2}}{24}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} - 1 \frac{- 35 y}{3} + \frac{- 50}{3} - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} - 1 (- \frac{35 y}{3}) + \frac{- 50}{3} - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.7.3

Умножим $- 1 (- \frac{35 y}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.7.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + 1 (\frac{35 y}{3}) + \frac{- 50}{3} - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.7.3.2

Умножим $\frac{35 y}{3}$ на $1$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} + \frac{- 50}{3} - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.7.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} - 7 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + (- 7 (- \frac{7 y}{12}) - 7 (\frac{5}{3})) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.9

Умножим $- 7 (- \frac{7 y}{12})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.9.1

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + (7 (\frac{7 y}{12}) - 7 (\frac{5}{3})) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.9.2

Объединим $7$ и $\frac{7 y}{12}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + (\frac{7 (7 y)}{12} - 7 (\frac{5}{3})) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.9.3

Умножим $7$ на $7$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + (\frac{49 y}{12} - 7 (\frac{5}{3})) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.10

Умножим $- 7 (\frac{5}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.10.1

Объединим $- 7$ и $\frac{5}{3}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + (\frac{49 y}{12} + \frac{- 7 \cdot 5}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.10.2

Умножим $- 7$ на $5$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + (\frac{49 y}{12} + \frac{- 35}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + (\frac{49 y}{12} - \frac{35}{3}) \cdot y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.12

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + \frac{49 y}{12} \cdot y - \frac{35}{3} y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.13

Умножим $\frac{49 y}{12} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.13.1

Объединим $\frac{49 y}{12}$ и $y$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + \frac{49 y \cdot y}{12} - \frac{35}{3} y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.13.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + \frac{49 (y \cdot y)}{12} - \frac{35}{3} y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.13.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + \frac{49 (y \cdot y)}{12} - \frac{35}{3} y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.13.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + \frac{49 y^{1 + 1}}{12} - \frac{35}{3} y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.13.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12} - \frac{35}{3} y - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.14

Объединим $y$ и $\frac{35}{3}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12} - \frac{y \cdot 35}{3} - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.15

Перенесем $35$ влево от $y$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12} - \frac{35 y}{3} - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.16

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12} - \frac{35 y}{3} - 8 y^{2} + 20 (- \frac{7 y}{12}) + 20 (\frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.17

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.17.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7 y}{12}$ в числитель.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12} - \frac{35 y}{3} - 8 y^{2} + 20 (\frac{- 7 y}{12}) + 20 (\frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.17.2

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12} - \frac{35 y}{3} - 8 y^{2} + 4 (5) (\frac{- 7 y}{12}) + 20 (\frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.17.3

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12} - \frac{35 y}{3} - 8 y^{2} + 4 \cdot (5 (\frac{- 7 y}{4 \cdot 3})) + 20 (\frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.17.4

Сократим общий множитель.

Этап 10.2.1.17.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12} - \frac{35 y}{3} - 8 y^{2} + 5 (\frac{- 7 y}{3}) + 20 (\frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.18

Объединим $5$ и $\frac{- 7 y}{3}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12} - \frac{35 y}{3} - 8 y^{2} + \frac{5 (- 7 y)}{3} + 20 (\frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.19

Умножим $- 7$ на $5$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12} - \frac{35 y}{3} - 8 y^{2} + \frac{- 35 y}{3} + 20 (\frac{5}{3}) - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.20

Умножим $20 (\frac{5}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.20.1

Объединим $20$ и $\frac{5}{3}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12} - \frac{35 y}{3} - 8 y^{2} + \frac{- 35 y}{3} + \frac{20 \cdot 5}{3} - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.20.2

Умножим $20$ на $5$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12} - \frac{35 y}{3} - 8 y^{2} + \frac{- 35 y}{3} + \frac{100}{3} - 36 y + 4$

Этап 10.2.1.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12} - \frac{35 y}{3} - 8 y^{2} - \frac{35 y}{3} + \frac{100}{3} - 36 y + 4$

Этап 10.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Объединим противоположные члены в $- \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{35 y}{3} - \frac{50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12} - \frac{35 y}{3} - 8 y^{2} - \frac{35 y}{3} + \frac{100}{3} - 36 y + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Вычтем $\frac{35 y}{3}$ из $\frac{35 y}{3}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} + 0 - \frac{50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12} - 8 y^{2} - \frac{35 y}{3} + \frac{100}{3} - 36 y + 4$

Этап 10.2.2.1.2

Добавим $- \frac{49 y^{2}}{24}$ и $0$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{49 y^{2}}{24} - \frac{50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12} - 8 y^{2} - \frac{35 y}{3} + \frac{100}{3} - 36 y + 4$

Этап 10.2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 8 y^{2} - 36 y + 4 + \frac{- 49 y^{2}}{24} + \frac{- 50 - 35 y + 100}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.2.3

Добавим $- 50$ и $100$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 8 y^{2} - 36 y + 4 + \frac{- 49 y^{2}}{24} + \frac{- 35 y + 50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 8 y^{2} - 36 y + 4 - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{- 35 y + 50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.3.2

Вынесем множитель $5$ из $- 35 y + 50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $- 35 y$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 8 y^{2} - 36 y + 4 - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{5 (- 7 y) + 50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.3.2.2

Вынесем множитель $5$ из $50$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 8 y^{2} - 36 y + 4 - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{5 (- 7 y) + 5 (10)}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.3.2.3

Вынесем множитель $5$ из $5 (- 7 y) + 5 (10)$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 8 y^{2} - 36 y + 4 - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{5 (- 7 y + 10)}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.4

Чтобы записать $- 8 y^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{24}{24}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 36 y + 4 - 8 y^{2} \cdot \frac{24}{24} - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{5 (- 7 y + 10)}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

Объединим $- 8 y^{2}$ и $\frac{24}{24}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 36 y + 4 + \frac{- 8 y^{2} \cdot 24}{24} - \frac{49 y^{2}}{24} + \frac{5 (- 7 y + 10)}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 36 y + 4 + \frac{- 8 y^{2} \cdot 24 - 49 y^{2}}{24} + \frac{5 (- 7 y + 10)}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 8 y^{2} \cdot 24 - 49 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 8 y^{2} \cdot 24$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 36 y + 4 + \frac{y^{2} (- 8 \cdot 24) - 49 y^{2}}{24} + \frac{5 (- 7 y + 10)}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.6.1.1.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 49 y^{2}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 36 y + 4 + \frac{y^{2} (- 8 \cdot 24) + y^{2} \cdot - 49}{24} + \frac{5 (- 7 y + 10)}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.6.1.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} (- 8 \cdot 24) + y^{2} \cdot - 49$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 36 y + 4 + \frac{y^{2} (- 8 \cdot 24 - 49)}{24} + \frac{5 (- 7 y + 10)}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.6.1.2

Умножим $- 8$ на $24$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 36 y + 4 + \frac{y^{2} (- 192 - 49)}{24} + \frac{5 (- 7 y + 10)}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.6.1.3

Вычтем $49$ из $- 192$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 36 y + 4 + \frac{y^{2} \cdot - 241}{24} + \frac{5 (- 7 y + 10)}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.6.2

Перенесем $- 241$ влево от $y^{2}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 36 y + 4 + \frac{- 241 \cdot y^{2}}{24} + \frac{5 (- 7 y + 10)}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - 36 y + 4 - \frac{241 y^{2}}{24} + \frac{5 (- 7 y + 10)}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.7

Чтобы записать $- 36 y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = 4 - \frac{241 y^{2}}{24} - 36 y \cdot \frac{3}{3} + \frac{5 (- 7 y + 10)}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.8.1

Объединим $- 36 y$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = 4 - \frac{241 y^{2}}{24} + \frac{- 36 y \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 7 y + 10)}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = 4 - \frac{241 y^{2}}{24} + \frac{- 36 y \cdot 3 + 5 (- 7 y + 10)}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.1

Умножим $3$ на $- 36$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = 4 - \frac{241 y^{2}}{24} + \frac{- 108 y + 5 (- 7 y + 10)}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = 4 - \frac{241 y^{2}}{24} + \frac{- 108 y + 5 (- 7 y) + 5 \cdot 10}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.9.3

Умножим $- 7$ на $5$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = 4 - \frac{241 y^{2}}{24} + \frac{- 108 y - 35 y + 5 \cdot 10}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.9.4

Умножим $5$ на $10$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = 4 - \frac{241 y^{2}}{24} + \frac{- 108 y - 35 y + 50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.9.5

Вычтем $35 y$ из $- 108 y$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = 4 - \frac{241 y^{2}}{24} + \frac{- 143 y + 50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.10

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{241 y^{2}}{24} + 4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{- 143 y + 50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.11

Объединим $4$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{241 y^{2}}{24} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{- 143 y + 50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{241 y^{2}}{24} + \frac{4 \cdot 3 - 143 y + 50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.13.1

Умножим $4$ на $3$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{241 y^{2}}{24} + \frac{12 - 143 y + 50}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.13.2

Добавим $12$ и $50$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{241 y^{2}}{24} + \frac{- 143 y + 62}{3} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.14

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.14.1

Умножим $\frac{- 143 y + 62}{3}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{241 y^{2}}{24} + \frac{- 143 y + 62}{3} \cdot \frac{8}{8} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.14.2

Умножим $\frac{- 143 y + 62}{3}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{241 y^{2}}{24} + \frac{(- 143 y + 62) \cdot 8}{3 \cdot 8} + \frac{49 y^{2}}{12}$

Этап 10.2.14.3

Умножим $\frac{49 y^{2}}{12}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{241 y^{2}}{24} + \frac{(- 143 y + 62) \cdot 8}{3 \cdot 8} + \frac{49 y^{2}}{12} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 10.2.14.4

Умножим $\frac{49 y^{2}}{12}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{241 y^{2}}{24} + \frac{(- 143 y + 62) \cdot 8}{3 \cdot 8} + \frac{49 y^{2} \cdot 2}{12 \cdot 2}$

Этап 10.2.14.5

Умножим $3$ на $8$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{241 y^{2}}{24} + \frac{(- 143 y + 62) \cdot 8}{24} + \frac{49 y^{2} \cdot 2}{12 \cdot 2}$

Этап 10.2.14.6

Изменим порядок множителей в $12 \cdot 2$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{241 y^{2}}{24} + \frac{(- 143 y + 62) \cdot 8}{24} + \frac{49 y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 12}$

Этап 10.2.14.7

Умножим $2$ на $12$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{241 y^{2}}{24} + \frac{(- 143 y + 62) \cdot 8}{24} + \frac{49 y^{2} \cdot 2}{24}$

Этап 10.2.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = \frac{- 241 y^{2} + (- 143 y + 62) \cdot 8 + 49 y^{2} \cdot 2}{24}$

Этап 10.2.16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = \frac{- 241 y^{2} - 143 y \cdot 8 + 62 \cdot 8 + 49 y^{2} \cdot 2}{24}$

Этап 10.2.16.2

Умножим $8$ на $- 143$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = \frac{- 241 y^{2} - 1144 y + 62 \cdot 8 + 49 y^{2} \cdot 2}{24}$

Этап 10.2.16.3

Умножим $62$ на $8$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = \frac{- 241 y^{2} - 1144 y + 496 + 49 y^{2} \cdot 2}{24}$

Этап 10.2.16.4

Умножим $2$ на $49$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = \frac{- 241 y^{2} - 1144 y + 496 + 98 y^{2}}{24}$

Этап 10.2.17

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.17.1

Добавим $- 241 y^{2}$ и $98 y^{2}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = \frac{- 143 y^{2} - 1144 y + 496}{24}$

Этап 10.2.17.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 143 y^{2}$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = \frac{- (143 y^{2}) - 1144 y + 496}{24}$

Этап 10.2.17.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1144 y$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = \frac{- (143 y^{2}) - (1144 y) + 496}{24}$

Этап 10.2.17.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (143 y^{2}) - (1144 y)$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = \frac{- (143 y^{2} + 1144 y) + 496}{24}$

Этап 10.2.17.5

Перепишем $496$ в виде $- 1 (- 496)$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = \frac{- (143 y^{2} + 1144 y) - 1 \cdot - 496}{24}$

Этап 10.2.17.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (143 y^{2} + 1144 y) - 1 (- 496)$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = \frac{- (143 y^{2} + 1144 y - 496)}{24}$

Этап 10.2.17.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.17.7.1

Перепишем $- (143 y^{2} + 1144 y - 496)$ в виде $- 1 (143 y^{2} + 1144 y - 496)$ .

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = \frac{- 1 (143 y^{2} + 1144 y - 496)}{24}$

Этап 10.2.17.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}) = - \frac{143 y^{2} + 1144 y - 496}{24}$

Этап 10.2.18

Окончательный ответ: $- \frac{143 y^{2} + 1144 y - 496}{24}$ .

$y = - \frac{143 y^{2} + 1144 y - 496}{24}$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (x) = - 6 x^{2} - 7 x y - 8 y^{2} + 20 x - 36 y + 4$ .

$(- \frac{7 y}{12} + \frac{5}{3}, - \frac{143 y^{2} + 1144 y - 496}{24})$ — локальный максимум

Этап 12