Математический анализ Примеры

$f (x) = 6 x^{4} - 16 x^{3} - 111 x^{2} + 120 x + 27$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $6 x^{4} - 16 x^{3} - 111 x^{2} + 120 x + 27$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{4}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x^{3}$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$24 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $- 16$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 111 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 111$ является константой относительно $x$ , производная $- 111 x^{2}$ по $x$ равна $- 111 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 111 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 111 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $- 111$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $120$ является константой относительно $x$ , производная $120 x$ по $x$ равна $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 1.5.3

Умножим $120$ на $1$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 + 0$

Этап 1.6.2

Добавим $24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$ и $0$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 222 x] + \frac{d}{d x} [120]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x^{3}$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 24 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $24$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48 x^{2}$ по $x$ равна $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 48$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} (- 222 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 222 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 222$ является константой относительно $x$ , производная $- 222 x$ по $x$ равна $- 222 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 x - 222 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (120)$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 x - 222 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (120)$

Этап 2.4.3

Умножим $- 222$ на $1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 x - 222 + \frac{d}{d x} (120)$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $120$ является константой относительно $x$ , производная $120$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 x - 222 + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $72 x^{2} - 96 x - 222$ и $0$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} - 96 x - 222$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{4}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x^{3}$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$24 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $- 16$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 111 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 111 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 111$ является константой относительно $x$ , производная $- 111 x^{2}$ по $x$ равна $- 111 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 111 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 111 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $2$ на $- 111$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + \frac{d}{d x} [120 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 4.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $120$ является константой относительно $x$ , производная $120 x$ по $x$ равна $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 4.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 4.1.5.3

Умножим $120$ на $1$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 + \frac{d}{d x} [27]$

Этап 4.1.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 + 0$

Этап 4.1.6.2

Добавим $24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$ и $0$ .

$f' (x) = 24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $6$ из $24 x^{3} - 48 x^{2} - 222 x + 120$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $24 x^{3}$ .

$6 (4 x^{3}) - 48 x^{2} - 222 x + 120 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $6$ из $- 48 x^{2}$ .

$6 (4 x^{3}) + 6 (- 8 x^{2}) - 222 x + 120 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $6$ из $- 222 x$ .

$6 (4 x^{3}) + 6 (- 8 x^{2}) + 6 (- 37 x) + 120 = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $6$ из $120$ .

$6 (4 x^{3}) + 6 (- 8 x^{2}) + 6 (- 37 x) + 6 (20) = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (4 x^{3}) + 6 (- 8 x^{2})$ .

$6 (4 x^{3} - 8 x^{2}) + 6 (- 37 x) + 6 (20) = 0$

Этап 5.2.1.6

Вынесем множитель $6$ из $6 (4 x^{3} - 8 x^{2}) + 6 (- 37 x)$ .

$6 (4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x) + 6 (20) = 0$

Этап 5.2.1.7

Вынесем множитель $6$ из $6 (4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x) + 6 (20)$ .

$6 (4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x + 20) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим $4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x + 20$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 5.2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 20, \pm 5, \pm 10, \pm 2, \pm 2.5, \pm 4, \pm 1.25$

Этап 5.2.2.3

Подставим $0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Подставим $0.5$ в многочлен.

$4 \cdot {0.5}^{3} - 8 \cdot {0.5}^{2} - 37 \cdot 0.5 + 20$

Этап 5.2.2.3.2

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$4 \cdot 0.125 - 8 \cdot {0.5}^{2} - 37 \cdot 0.5 + 20$

Этап 5.2.2.3.3

Умножим $4$ на $0.125$ .

$0.5 - 8 \cdot {0.5}^{2} - 37 \cdot 0.5 + 20$

Этап 5.2.2.3.4

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$0.5 - 8 \cdot 0.25 - 37 \cdot 0.5 + 20$

Этап 5.2.2.3.5

Умножим $- 8$ на $0.25$ .

$0.5 - 2 - 37 \cdot 0.5 + 20$

Этап 5.2.2.3.6

Вычтем $2$ из $0.5$ .

$- 1.5 - 37 \cdot 0.5 + 20$

Этап 5.2.2.3.7

Умножим $- 37$ на $0.5$ .

$- 1.5 - 18.5 + 20$

Этап 5.2.2.3.8

Вычтем $18.5$ из $- 1.5$ .

$- 20 + 20$

Этап 5.2.2.3.9

Добавим $- 20$ и $20$ .

$0$

Этап 5.2.2.4

Поскольку $0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x + 20}{2 x - 1}$

Этап 5.2.2.5

Разделим $4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x + 20$ на $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$37 x$

$20$

Этап 5.2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$

Этап 5.2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			+	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 5.2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 5.2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Этап 5.2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$

Этап 5.2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$

Этап 5.2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 5.2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{2} + 3 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 5.2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$

Этап 5.2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$20$

Этап 5.2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 40 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$20$

Этап 5.2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$20$
							-	$40 x$	+	$20$

Этап 5.2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 40 x + 20$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$20$
							+	$40 x$	-	$20$

Этап 5.2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$20$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	-	$37 x$	+	$20$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$37 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$40 x$	+	$20$
							+	$40 x$	-	$20$
										$0$

Этап 5.2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} - 3 x - 20$

Этап 5.2.2.6

Запишем $4 x^{3} - 8 x^{2} - 37 x + 20$ в виде набора множителей.

$6 ((2 x - 1) (2 x^{2} - 3 x - 20)) = 0$

Этап 5.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 20 = - 40$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x$ .

$6 ((2 x - 1) (2 x^{2} - 3 x - 20)) = 0$

Этап 5.2.3.1.1.1.2

Запишем $- 3$ как $5$ плюс $- 8$

$6 ((2 x - 1) (2 x^{2} + (5 - 8) x - 20)) = 0$

Этап 5.2.3.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 ((2 x - 1) (2 x^{2} + 5 x - 8 x - 20)) = 0$

Этап 5.2.3.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$6 ((2 x - 1) ((2 x^{2} + 5 x) - 8 x - 20)) = 0$

Этап 5.2.3.1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$6 ((2 x - 1) (x (2 x + 5) - 4 (2 x + 5))) = 0$

Этап 5.2.3.1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 5$ .

$6 ((2 x - 1) ((2 x + 5) (x - 4))) = 0$

Этап 5.2.3.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 ((2 x - 1) (2 x + 5) (x - 4)) = 0$

Этап 5.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 (2 x - 1) (2 x + 5) (x - 4) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x + 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 5.4.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 5.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 5.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 5.5

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $2 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 5$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 5.6

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 (2 x - 1) (2 x + 5) (x - 4) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{5}{2}, 4$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{5}{2}, 4$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$72 {(\frac{1}{2})}^{2} - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$72 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Этап 9.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$72 \frac{1}{2^{2}} - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Этап 9.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$72 (\frac{1}{4}) - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Этап 9.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $72$ .

$4 (18) \frac{1}{4} - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Этап 9.1.4.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 18 \frac{1}{4} - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Этап 9.1.4.3

Перепишем это выражение.

$18 - 96 (\frac{1}{2}) - 222$

Этап 9.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 96$ .

$18 + 2 (- 48) \frac{1}{2} - 222$

Этап 9.1.5.2

Сократим общий множитель.

$18 + 2 \cdot - 48 \frac{1}{2} - 222$

Этап 9.1.5.3

Перепишем это выражение.

$18 - 48 - 222$

Этап 9.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $48$ из $18$ .

$- 30 - 222$

Этап 9.2.2

Вычтем $222$ из $- 30$ .

$- 252$

Этап 10

$x = \frac{1}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{2}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 6 {(\frac{1}{2})}^{4} - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 6 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{2^{4}}) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{16}) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{1}{16}) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 8})) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{8}) - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.5

Объединим $3$ и $\frac{1}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 16 {(\frac{1}{2})}^{3} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.6

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 16 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.7

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 16 \frac{1}{2^{3}} - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.8

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 16 (\frac{1}{8}) - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.9

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.9.1

Вынесем множитель $8$ из $- 16$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + 8 (- 2) (\frac{1}{8}) - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.9.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + 8 \cdot (- 2 (\frac{1}{8})) - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.9.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - 111 {(\frac{1}{2})}^{2} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.10

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - 111 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.11

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - 111 \frac{1}{2^{2}} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - 111 (\frac{1}{4}) + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.13

Объединим $- 111$ и $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 + \frac{- 111}{4} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - \frac{111}{4} + 120 (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.15.1

Вынесем множитель $2$ из $120$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - \frac{111}{4} + 2 (60) (\frac{1}{2}) + 27$

Этап 11.2.1.15.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - \frac{111}{4} + 2 \cdot (60 (\frac{1}{2})) + 27$

Этап 11.2.1.15.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} - 2 - \frac{111}{4} + 60 + 27$

Этап 11.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Запишем $- 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2}{1} - \frac{111}{4} + 60 + 27$

Этап 11.2.2.2

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{8}{8} - \frac{111}{4} + 60 + 27$

Этап 11.2.2.3

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111}{4} + 60 + 27$

Этап 11.2.2.4

Умножим $\frac{111}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - (\frac{111}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 60 + 27$

Этап 11.2.2.5

Умножим $\frac{111}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 60 + 27$

Этап 11.2.2.6

Запишем $60$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{60}{1} + 27$

Этап 11.2.2.7

Умножим $\frac{60}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{60}{1} \cdot \frac{8}{8} + 27$

Этап 11.2.2.8

Умножим $\frac{60}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{60 \cdot 8}{8} + 27$

Этап 11.2.2.9

Запишем $27$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{60 \cdot 8}{8} + \frac{27}{1}$

Этап 11.2.2.10

Умножим $\frac{27}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{60 \cdot 8}{8} + \frac{27}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Этап 11.2.2.11

Умножим $\frac{27}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{60 \cdot 8}{8} + \frac{27 \cdot 8}{8}$

Этап 11.2.2.12

Изменим порядок множителей в $4 \cdot 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{60 \cdot 8}{8} + \frac{27 \cdot 8}{8}$

Этап 11.2.2.13

Умножим $2$ на $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8} - \frac{111 \cdot 2}{8} + \frac{60 \cdot 8}{8} + \frac{27 \cdot 8}{8}$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 2 \cdot 8 - 111 \cdot 2 + 60 \cdot 8 + 27 \cdot 8}{8}$

Этап 11.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $- 2$ на $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 16 - 111 \cdot 2 + 60 \cdot 8 + 27 \cdot 8}{8}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $- 111$ на $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 16 - 222 + 60 \cdot 8 + 27 \cdot 8}{8}$

Этап 11.2.4.3

Умножим $60$ на $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 16 - 222 + 480 + 27 \cdot 8}{8}$

Этап 11.2.4.4

Умножим $27$ на $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 16 - 222 + 480 + 216}{8}$

Этап 11.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Вычтем $16$ из $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 13 - 222 + 480 + 216}{8}$

Этап 11.2.5.2

Вычтем $222$ из $- 13$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 235 + 480 + 216}{8}$

Этап 11.2.5.3

Добавим $- 235$ и $480$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{245 + 216}{8}$

Этап 11.2.5.4

Добавим $245$ и $216$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{461}{8}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $\frac{461}{8}$ .

$y = \frac{461}{8}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{5}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$72 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$72 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Этап 13.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$72 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Этап 13.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$72 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Этап 13.1.3

Умножим $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$72 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Этап 13.1.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$72 \frac{25}{2^{2}} - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Этап 13.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$72 (\frac{25}{4}) - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Этап 13.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $72$ .

$4 (18) \frac{25}{4} - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Этап 13.1.6.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 18 \frac{25}{4} - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Этап 13.1.6.3

Перепишем это выражение.

$18 \cdot 25 - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Этап 13.1.7

Умножим $18$ на $25$ .

$450 - 96 (- \frac{5}{2}) - 222$

Этап 13.1.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{2}$ в числитель.

$450 - 96 (\frac{- 5}{2}) - 222$

Этап 13.1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $- 96$ .

$450 + 2 (- 48) \frac{- 5}{2} - 222$

Этап 13.1.8.3

Сократим общий множитель.

$450 + 2 \cdot - 48 \frac{- 5}{2} - 222$

Этап 13.1.8.4

Перепишем это выражение.

$450 - 48 \cdot - 5 - 222$

Этап 13.1.9

Умножим $- 48$ на $- 5$ .

$450 + 240 - 222$

Этап 13.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $450$ и $240$ .

$690 - 222$

Этап 13.2.2

Вычтем $222$ из $690$ .

$468$

Этап 14

$x = - \frac{5}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{5}{2}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 {(- \frac{5}{2})}^{4} - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 ({(- 1)}^{4} {(\frac{5}{2})}^{4}) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 ({(- 1)}^{4} (\frac{5^{4}}{2^{4}})) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 (1 (\frac{5^{4}}{2^{4}})) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.3

Умножим $\frac{5^{4}}{2^{4}}$ на $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 (\frac{5^{4}}{2^{4}}) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.4

Возведем $5$ в степень $4$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 (\frac{625}{2^{4}}) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 6 (\frac{625}{16}) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 (3) (\frac{625}{16}) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.6.2

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f (- \frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{625}{2 \cdot 8})) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{625}{2 \cdot 8})) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{5}{2}) = 3 (\frac{625}{8}) - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.7

Объединим $3$ и $\frac{625}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{3 \cdot 625}{8} - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.8

Умножим $3$ на $625$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.9

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.9.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 ({(- 1)}^{3} {(\frac{5}{2})}^{3}) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.9.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 ({(- 1)}^{3} (\frac{5^{3}}{2^{3}})) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.10

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 (- \frac{5^{3}}{2^{3}}) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.11

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 (- \frac{125}{2^{3}}) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.12

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 (- \frac{125}{8}) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.13

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.13.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{125}{8}$ в числитель.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 16 (\frac{- 125}{8}) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.13.2

Вынесем множитель $8$ из $- 16$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 8 (- 2) (\frac{- 125}{8}) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.13.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 8 \cdot (- 2 (\frac{- 125}{8})) - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.13.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} - 2 \cdot - 125 - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.14

Умножим $- 2$ на $- 125$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.15

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.15.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.15.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.16

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 (1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})) + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.17

Умножим $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.18

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 \frac{25}{2^{2}} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.19

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - 111 (\frac{25}{4}) + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.20

Умножим $- 111 (\frac{25}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.20.1

Объединим $- 111$ и $\frac{25}{4}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 + \frac{- 111 \cdot 25}{4} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.20.2

Умножим $- 111$ на $25$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 + \frac{- 2775}{4} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - \frac{2775}{4} + 120 (- \frac{5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.22

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.22.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{2}$ в числитель.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - \frac{2775}{4} + 120 (\frac{- 5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.22.2

Вынесем множитель $2$ из $120$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - \frac{2775}{4} + 2 (60) (\frac{- 5}{2}) + 27$

Этап 15.2.1.22.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - \frac{2775}{4} + 2 \cdot (60 (\frac{- 5}{2})) + 27$

Этап 15.2.1.22.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - \frac{2775}{4} + 60 \cdot - 5 + 27$

Этап 15.2.1.23

Умножим $60$ на $- 5$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + 250 - \frac{2775}{4} - 300 + 27$

Этап 15.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Запишем $250$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250}{1} - \frac{2775}{4} - 300 + 27$

Этап 15.2.2.2

Умножим $\frac{250}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250}{1} \cdot \frac{8}{8} - \frac{2775}{4} - 300 + 27$

Этап 15.2.2.3

Умножим $\frac{250}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775}{4} - 300 + 27$

Этап 15.2.2.4

Умножим $\frac{2775}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - (\frac{2775}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 300 + 27$

Этап 15.2.2.5

Умножим $\frac{2775}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} - 300 + 27$

Этап 15.2.2.6

Запишем $- 300$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 300}{1} + 27$

Этап 15.2.2.7

Умножим $\frac{- 300}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 300}{1} \cdot \frac{8}{8} + 27$

Этап 15.2.2.8

Умножим $\frac{- 300}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 300 \cdot 8}{8} + 27$

Этап 15.2.2.9

Запишем $27$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 300 \cdot 8}{8} + \frac{27}{1}$

Этап 15.2.2.10

Умножим $\frac{27}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 300 \cdot 8}{8} + \frac{27}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Этап 15.2.2.11

Умножим $\frac{27}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 300 \cdot 8}{8} + \frac{27 \cdot 8}{8}$

Этап 15.2.2.12

Изменим порядок множителей в $4 \cdot 2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 300 \cdot 8}{8} + \frac{27 \cdot 8}{8}$

Этап 15.2.2.13

Умножим $2$ на $4$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875}{8} + \frac{250 \cdot 8}{8} - \frac{2775 \cdot 2}{8} + \frac{- 300 \cdot 8}{8} + \frac{27 \cdot 8}{8}$

Этап 15.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 250 \cdot 8 - 2775 \cdot 2 - 300 \cdot 8 + 27 \cdot 8}{8}$

Этап 15.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Умножим $250$ на $8$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 2000 - 2775 \cdot 2 - 300 \cdot 8 + 27 \cdot 8}{8}$

Этап 15.2.4.2

Умножим $- 2775$ на $2$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 2000 - 5550 - 300 \cdot 8 + 27 \cdot 8}{8}$

Этап 15.2.4.3

Умножим $- 300$ на $8$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 2000 - 5550 - 2400 + 27 \cdot 8}{8}$

Этап 15.2.4.4

Умножим $27$ на $8$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{1875 + 2000 - 5550 - 2400 + 216}{8}$

Этап 15.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Добавим $1875$ и $2000$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{3875 - 5550 - 2400 + 216}{8}$

Этап 15.2.5.2

Вычтем $5550$ из $3875$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{- 1675 - 2400 + 216}{8}$

Этап 15.2.5.3

Вычтем $2400$ из $- 1675$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{- 4075 + 216}{8}$

Этап 15.2.5.4

Добавим $- 4075$ и $216$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \frac{- 3859}{8}$

Этап 15.2.5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{5}{2}) = - \frac{3859}{8}$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{3859}{8}$ .

$y = - \frac{3859}{8}$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$72 {(4)}^{2} - 96 \cdot 4 - 222$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$72 \cdot 16 - 96 \cdot 4 - 222$

Этап 17.1.2

Умножим $72$ на $16$ .

$1152 - 96 \cdot 4 - 222$

Этап 17.1.3

Умножим $- 96$ на $4$ .

$1152 - 384 - 222$

Этап 17.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Вычтем $384$ из $1152$ .

$768 - 222$

Этап 17.2.2

Вычтем $222$ из $768$ .

$546$

Этап 18

$x = 4$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 4$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = 6 {(4)}^{4} - 16 {(4)}^{3} - 111 {(4)}^{2} + 120 (4) + 27$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f (4) = 6 \cdot 256 - 16 {(4)}^{3} - 111 {(4)}^{2} + 120 (4) + 27$

Этап 19.2.1.2

Умножим $6$ на $256$ .

$f (4) = 1536 - 16 {(4)}^{3} - 111 {(4)}^{2} + 120 (4) + 27$

Этап 19.2.1.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (4) = 1536 - 16 \cdot 64 - 111 {(4)}^{2} + 120 (4) + 27$

Этап 19.2.1.4

Умножим $- 16$ на $64$ .

$f (4) = 1536 - 1024 - 111 {(4)}^{2} + 120 (4) + 27$

Этап 19.2.1.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (4) = 1536 - 1024 - 111 \cdot 16 + 120 (4) + 27$

Этап 19.2.1.6

Умножим $- 111$ на $16$ .

$f (4) = 1536 - 1024 - 1776 + 120 (4) + 27$

Этап 19.2.1.7

Умножим $120$ на $4$ .

$f (4) = 1536 - 1024 - 1776 + 480 + 27$

Этап 19.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Вычтем $1024$ из $1536$ .

$f (4) = 512 - 1776 + 480 + 27$

Этап 19.2.2.2

Вычтем $1776$ из $512$ .

$f (4) = - 1264 + 480 + 27$

Этап 19.2.2.3

Добавим $- 1264$ и $480$ .

$f (4) = - 784 + 27$

Этап 19.2.2.4

Добавим $- 784$ и $27$ .

$f (4) = - 757$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $- 757$ .

$y = - 757$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = 6 x^{4} - 16 x^{3} - 111 x^{2} + 120 x + 27$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{461}{8})$ — локальный максимум

$(- \frac{5}{2}, - \frac{3859}{8})$ — локальный минимум

$(4, - 757)$ — локальный минимум

Этап 21