Математический анализ Примеры

$f (x) = 600 x - \frac{1}{20} x^{3}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $600 x - \frac{1}{20} x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [600 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{20} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [600 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{20} x^{3}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [600 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $600$ является константой относительно $x$ , производная $600 x$ по $x$ равна $600 \frac{d}{d x} [x]$ .

$600 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{20} x^{3}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$600 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{20} x^{3}]$

Этап 1.2.3

Умножим $600$ на $1$ .

$600 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{20} x^{3}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{20} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- \frac{1}{20}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{20} x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{1}{20} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$600 - \frac{1}{20} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$600 - \frac{1}{20} (3 x^{2})$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$600 - 3 (\frac{1}{20}) x^{2}$

Этап 1.3.4

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{20}$ .

$600 + \frac{- 3}{20} x^{2}$

Этап 1.3.5

Объединим $\frac{- 3}{20}$ и $x^{2}$ .

$600 + \frac{- 3 x^{2}}{20}$

Этап 1.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$600 - \frac{3 x^{2}}{20}$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$- \frac{3 x^{2}}{20} + 600$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- \frac{3 x^{2}}{20} + 600$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{20}] + \frac{d}{d x} [600]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{2}}{20}) + \frac{d}{d x} (600)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{20}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- \frac{3}{20}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3 x^{2}}{20}$ по $x$ равна $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{20} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (600)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{20} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (600)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{3}{20}) \cdot x + \frac{d}{d x} (600)$

Этап 2.2.4

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{20}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot 3}{20} x + \frac{d}{d x} (600)$

Этап 2.2.5

Умножим $- 2$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{20} x + \frac{d}{d x} (600)$

Этап 2.2.6

Объединим $\frac{- 6}{20}$ и $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x}{20} + \frac{d}{d x} (600)$

Этап 2.2.7

Сократим общий множитель $- 6$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x)}{20} + \frac{d}{d x} (600)$

Этап 2.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $20$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x)}{2 (10)} + \frac{d}{d x} (600)$

Этап 2.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 10} + \frac{d}{d x} (600)$

Этап 2.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{- 3 x}{10} + \frac{d}{d x} (600)$

Этап 2.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{3 x}{10} + \frac{d}{d x} (600)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $600$ является константой относительно $x$ , производная $600$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x}{10} + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $- \frac{3 x}{10}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x}{10}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{3 x^{2}}{20} + 600 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $600 x - \frac{1}{20} x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [600 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{20} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [600 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{20} x^{3}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [600 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $600$ является константой относительно $x$ , производная $600 x$ по $x$ равна $600 \frac{d}{d x} [x]$ .

$600 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{20} x^{3}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$600 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{20} x^{3}]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $600$ на $1$ .

$600 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{20} x^{3}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{20} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

$600 - \frac{1}{20} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$600 - \frac{1}{20} (3 x^{2})$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$600 - 3 (\frac{1}{20}) x^{2}$

Этап 4.1.3.4

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{20}$ .

$600 + \frac{- 3}{20} x^{2}$

Этап 4.1.3.5

Объединим $\frac{- 3}{20}$ и $x^{2}$ .

$600 + \frac{- 3 x^{2}}{20}$

Этап 4.1.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$600 - \frac{3 x^{2}}{20}$

Этап 4.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{3 x^{2}}{20} + 600$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{3 x^{2}}{20} + 600$ .

$- \frac{3 x^{2}}{20} + 600$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{3 x^{2}}{20} + 600 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{3 x^{2}}{20} + 600 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $600$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{3 x^{2}}{20} = - 600$

Этап 5.3

Умножим обе части уравнения на $- \frac{20}{3}$ .

$- \frac{20}{3} (- \frac{3 x^{2}}{20}) = - \frac{20}{3} \cdot - 600$

Этап 5.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Упростим $- \frac{20}{3} (- \frac{3 x^{2}}{20})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{20}{3}$ в числитель.

$\frac{- 20}{3} (- \frac{3 x^{2}}{20}) = - \frac{20}{3} \cdot - 600$

Этап 5.4.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 x^{2}}{20}$ в числитель.

$\frac{- 20}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2}}{20} = - \frac{20}{3} \cdot - 600$

Этап 5.4.1.1.1.3

Вынесем множитель $20$ из $- 20$ .

$\frac{20 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2}}{20} = - \frac{20}{3} \cdot - 600$

Этап 5.4.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{20 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 x^{2}}{20} = - \frac{20}{3} \cdot - 600$

Этап 5.4.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{3} (- 3 x^{2}) = - \frac{20}{3} \cdot - 600$

Этап 5.4.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- 1}{3} (3 (- x^{2})) = - \frac{20}{3} \cdot - 600$

Этап 5.4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{3} (3 (- x^{2})) = - \frac{20}{3} \cdot - 600$

Этап 5.4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- - x^{2} = - \frac{20}{3} \cdot - 600$

Этап 5.4.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x^{2} = - \frac{20}{3} \cdot - 600$

Этап 5.4.1.1.3.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = - \frac{20}{3} \cdot - 600$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим $- \frac{20}{3} \cdot - 600$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{20}{3}$ в числитель.

$x^{2} = \frac{- 20}{3} \cdot - 600$

Этап 5.4.2.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 600$ .

$x^{2} = \frac{- 20}{3} \cdot (3 (- 200))$

Этап 5.4.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{- 20}{3} \cdot (3 \cdot - 200)$

Этап 5.4.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$x^{2} = - 20 \cdot - 200$

Этап 5.4.2.1.2

Умножим $- 20$ на $- 200$ .

$x^{2} = 4000$

Этап 5.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{4000}$

Этап 5.6

Упростим $\pm \sqrt{4000}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перепишем $4000$ в виде $20^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Вынесем множитель $400$ из $4000$ .

$x = \pm \sqrt{400 (10)}$

Этап 5.6.1.2

Перепишем $400$ в виде $20^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{20^{2} \cdot 10}$

Этап 5.6.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 20 \sqrt{10}$

Этап 5.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 20 \sqrt{10}$

Этап 5.7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 20 \sqrt{10}$

Этап 5.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 20 \sqrt{10}, - 20 \sqrt{10}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 20 \sqrt{10}, - 20 \sqrt{10}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 20 \sqrt{10}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{3 (20 \sqrt{10})}{10}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $20$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель $10$ из $3 (20 \sqrt{10})$ .

$- \frac{10 (3 (2 \sqrt{10}))}{10}$

Этап 9.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вынесем множитель $10$ из $10$ .

$- \frac{10 (3 (2 \sqrt{10}))}{10 (1)}$

Этап 9.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{10 (3 (2 \sqrt{10}))}{10 \cdot 1}$

Этап 9.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3 (2 \sqrt{10})}{1}$

Этап 9.1.2.4

Разделим $3 (2 \sqrt{10})$ на $1$ .

$- (3 (2 \sqrt{10}))$

Этап 9.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$- (6 \sqrt{10})$

Этап 9.2.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 6 \sqrt{10}$

Этап 10

$x = 20 \sqrt{10}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 20 \sqrt{10}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 20 \sqrt{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $20 \sqrt{10}$ .

$f (20 \sqrt{10}) = 600 (20 \sqrt{10}) - \frac{1}{20} \cdot {(20 \sqrt{10})}^{3}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $20$ на $600$ .

$f (20 \sqrt{10}) = 12000 \sqrt{10} - \frac{1}{20} \cdot {(20 \sqrt{10})}^{3}$

Этап 11.2.1.2

Применим правило умножения к $20 \sqrt{10}$ .

$f (20 \sqrt{10}) = 12000 \sqrt{10} - \frac{1}{20} \cdot (20^{3} {\sqrt{10}}^{3})$

Этап 11.2.1.3

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{20}$ в числитель.

$f (20 \sqrt{10}) = 12000 \sqrt{10} + \frac{- 1}{20} \cdot (20^{3} {\sqrt{10}}^{3})$

Этап 11.2.1.3.2

Вынесем множитель $20$ из $20^{3} {\sqrt{10}}^{3}$ .

$f (20 \sqrt{10}) = 12000 \sqrt{10} + \frac{- 1}{20} \cdot (20 (20^{2} {\sqrt{10}}^{3}))$

Этап 11.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$f (20 \sqrt{10}) = 12000 \sqrt{10} + \frac{- 1}{20} \cdot (20 (20^{2} {\sqrt{10}}^{3}))$

Этап 11.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$f (20 \sqrt{10}) = 12000 \sqrt{10} - 1 \cdot (20^{2} {\sqrt{10}}^{3})$

Этап 11.2.1.4

Возведем $20$ в степень $2$ .

$f (20 \sqrt{10}) = 12000 \sqrt{10} - 1 \cdot (400 {\sqrt{10}}^{3})$

Этап 11.2.1.5

Перепишем ${\sqrt{10}}^{3}$ в виде $\sqrt{10^{3}}$ .

$f (20 \sqrt{10}) = 12000 \sqrt{10} - 1 \cdot (400 \sqrt{10^{3}})$

Этап 11.2.1.6

Возведем $10$ в степень $3$ .

$f (20 \sqrt{10}) = 12000 \sqrt{10} - 1 \cdot (400 \sqrt{1000})$

Этап 11.2.1.7

Перепишем $1000$ в виде $10^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.7.1

Вынесем множитель $100$ из $1000$ .

$f (20 \sqrt{10}) = 12000 \sqrt{10} - 1 \cdot (400 \sqrt{100 (10)})$

Этап 11.2.1.7.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$f (20 \sqrt{10}) = 12000 \sqrt{10} - 1 \cdot (400 \sqrt{10^{2} \cdot 10})$

Этап 11.2.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (20 \sqrt{10}) = 12000 \sqrt{10} - 1 \cdot (400 (10 \sqrt{10}))$

Этап 11.2.1.9

Умножим $10$ на $400$ .

$f (20 \sqrt{10}) = 12000 \sqrt{10} - 1 \cdot (4000 \sqrt{10})$

Этап 11.2.1.10

Умножим $4000$ на $- 1$ .

$f (20 \sqrt{10}) = 12000 \sqrt{10} - 4000 \sqrt{10}$

Этап 11.2.2

Вычтем $4000 \sqrt{10}$ из $12000 \sqrt{10}$ .

$f (20 \sqrt{10}) = 8000 \sqrt{10}$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $8000 \sqrt{10}$ .

$y = 8000 \sqrt{10}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 20 \sqrt{10}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{3 (- 20 \sqrt{10})}{10}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель $- 20$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вынесем множитель $10$ из $3 (- 20 \sqrt{10})$ .

$- \frac{10 (3 (- 2 \sqrt{10}))}{10}$

Этап 13.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Вынесем множитель $10$ из $10$ .

$- \frac{10 (3 (- 2 \sqrt{10}))}{10 (1)}$

Этап 13.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{10 (3 (- 2 \sqrt{10}))}{10 \cdot 1}$

Этап 13.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3 (- 2 \sqrt{10})}{1}$

Этап 13.1.2.4

Разделим $3 (- 2 \sqrt{10})$ на $1$ .

$- (3 (- 2 \sqrt{10}))$

Этап 13.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- (- 6 \sqrt{10})$

Этап 13.2.2

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$6 \sqrt{10}$

Этап 14

$x = - 20 \sqrt{10}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 20 \sqrt{10}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 20 \sqrt{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 20 \sqrt{10}$ .

$f (- 20 \sqrt{10}) = 600 (- 20 \sqrt{10}) - \frac{1}{20} \cdot {(- 20 \sqrt{10})}^{3}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Умножим $- 20$ на $600$ .

$f (- 20 \sqrt{10}) = - 12000 \sqrt{10} - \frac{1}{20} \cdot {(- 20 \sqrt{10})}^{3}$

Этап 15.2.1.2

Применим правило умножения к $- 20 \sqrt{10}$ .

$f (- 20 \sqrt{10}) = - 12000 \sqrt{10} - \frac{1}{20} \cdot ({(- 20)}^{3} {\sqrt{10}}^{3})$

Этап 15.2.1.3

Возведем $- 20$ в степень $3$ .

$f (- 20 \sqrt{10}) = - 12000 \sqrt{10} - \frac{1}{20} \cdot (- 8000 {\sqrt{10}}^{3})$

Этап 15.2.1.4

Сократим общий множитель $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{20}$ в числитель.

$f (- 20 \sqrt{10}) = - 12000 \sqrt{10} + \frac{- 1}{20} \cdot (- 8000 {\sqrt{10}}^{3})$

Этап 15.2.1.4.2

Вынесем множитель $20$ из $- 8000 {\sqrt{10}}^{3}$ .

$f (- 20 \sqrt{10}) = - 12000 \sqrt{10} + \frac{- 1}{20} \cdot (20 (- 400 {\sqrt{10}}^{3}))$

Этап 15.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$f (- 20 \sqrt{10}) = - 12000 \sqrt{10} + \frac{- 1}{20} \cdot (20 (- 400 {\sqrt{10}}^{3}))$

Этап 15.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$f (- 20 \sqrt{10}) = - 12000 \sqrt{10} - 1 \cdot (- 400 {\sqrt{10}}^{3})$

Этап 15.2.1.5

Умножим $- 400$ на $- 1$ .

$f (- 20 \sqrt{10}) = - 12000 \sqrt{10} + 400 \cdot {\sqrt{10}}^{3}$

Этап 15.2.1.6

Перепишем ${\sqrt{10}}^{3}$ в виде $\sqrt{10^{3}}$ .

$f (- 20 \sqrt{10}) = - 12000 \sqrt{10} + 400 \cdot \sqrt{10^{3}}$

Этап 15.2.1.7

Возведем $10$ в степень $3$ .

$f (- 20 \sqrt{10}) = - 12000 \sqrt{10} + 400 \cdot \sqrt{1000}$

Этап 15.2.1.8

Перепишем $1000$ в виде $10^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.8.1

Вынесем множитель $100$ из $1000$ .

$f (- 20 \sqrt{10}) = - 12000 \sqrt{10} + 400 \cdot \sqrt{100 (10)}$

Этап 15.2.1.8.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$f (- 20 \sqrt{10}) = - 12000 \sqrt{10} + 400 \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 10}$

Этап 15.2.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- 20 \sqrt{10}) = - 12000 \sqrt{10} + 400 \cdot (10 \sqrt{10})$

Этап 15.2.1.10

Умножим $10$ на $400$ .

$f (- 20 \sqrt{10}) = - 12000 \sqrt{10} + 4000 \sqrt{10}$

Этап 15.2.2

Добавим $- 12000 \sqrt{10}$ и $4000 \sqrt{10}$ .

$f (- 20 \sqrt{10}) = - 8000 \sqrt{10}$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $- 8000 \sqrt{10}$ .

$y = - 8000 \sqrt{10}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 600 x - \frac{1}{20} x^{3}$ .

$(20 \sqrt{10}, 8000 \sqrt{10})$ — локальный максимум

$(- 20 \sqrt{10}, - 8000 \sqrt{10})$ — локальный минимум

Этап 17