Математический анализ Примеры

$f (x) = 600 (1 - \frac{7}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x + 1}{x + 1} - \frac{7}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x + 1 - 7}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Этап 1.3

Вычтем $7$ из $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x - 6}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Этап 1.4

Чтобы записать $\frac{x - 6}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x - 6}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Этап 1.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${(x + 1)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{x - 6}{x + 1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Этап 1.5.2

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Этап 1.5.3

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Этап 1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Этап 1.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [600 \frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}]$

Этап 1.6.2

Объединим $600$ и $\frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{600 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{2}}]$

Этап 1.6.3

Поскольку $600$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{600 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{2}}$ по $x$ равна $600 \frac{d}{d x} [\frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}]$ .

$600 \frac{d}{d x} [\frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}]$

Этап 1.7

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = (x - 6) (x + 1) + 14$ и $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1) + 14] - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 1.8

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1) + 14] - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.8.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1) + 14] - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.8.2

По правилу суммы производная $(x - 6) (x + 1) + 14$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1)] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1)] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 6$ и $g (x) = x + 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.10

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.10.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.10.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.10.4.2

Умножим $x - 6$ на $1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.10.5

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.10.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.10.7

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.10.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.10.8.2

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + x + 1 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.10.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 6 + 1 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.10.8.4

Добавим $- 6$ и $1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.10.9

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14$ относительно $x$ равна $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5 + 0) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.10.10

Добавим $2 x - 5$ и $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.11

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.11.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.11.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.12

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.12.2

Вынесем множитель $x + 1$ из ${(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.2.1

Вынесем множитель $x + 1$ из ${(x + 1)}^{2} (2 x - 5)$ .

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5)) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.12.2.2

Вынесем множитель $x + 1$ из $- 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5)) + (x + 1) (- 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.12.2.3

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5)) + (x + 1) (- 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ .

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 1.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Вынесем множитель $x + 1$ из ${(x + 1)}^{4}$ .

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.13.2

Сократим общий множитель.

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.13.3

Перепишем это выражение.

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.14

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.16

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.17

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.1

Добавим $1$ и $0$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.17.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.17.3

Объединим $600$ и $\frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{600 ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{600 ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1)) - 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{600 ((x + 1) (2 x - 5)) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.3.1.1

Развернем $(x + 1) (2 x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{600 (x (2 x - 5) + 1 (2 x - 5)) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{600 (x (2 x) + x \cdot - 5 + 1 (2 x - 5)) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{600 (x (2 x) + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.3.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{600 (2 x \cdot x + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.3.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{600 (2 (x \cdot x) + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{600 (2 x^{2} + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.2.1.3

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 5 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.2.1.4

Умножим $2 x$ на $1$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 5 x + 2 x + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.2.1.5

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 5 x + 2 x - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.2.2

Добавим $- 5 x$ и $2 x$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 3 x - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{600 (2 x^{2}) + 600 (- 3 x) + 600 \cdot - 5 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.3.1.4.1

Умножим $2$ на $600$ .

$\frac{1200 x^{2} + 600 (- 3 x) + 600 \cdot - 5 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.4.2

Умножим $- 3$ на $600$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x + 600 \cdot - 5 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.4.3

Умножим $600$ на $- 5$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.5

Развернем $(x - 6) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.3.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x (x + 1) - 6 (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x \cdot x + x \cdot 1 - 6 (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x \cdot x + x \cdot 1 - 6 x - 6 \cdot 1)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.3.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.3.1.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} + x \cdot 1 - 6 x - 6 \cdot 1)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.6.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} + x - 6 x - 6 \cdot 1)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.6.1.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} + x - 6 x - 6)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.6.2

Вычтем $6 x$ из $x$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} - 5 x - 6)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2} - 2 (- 5 x) - 2 \cdot - 6) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.3.1.8.1

Умножим $- 5$ на $- 2$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2} + 10 x - 2 \cdot - 6) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.8.2

Умножим $- 2$ на $- 6$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2} + 10 x + 12) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2}) + 600 (10 x) + 600 \cdot 12 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.3.1.10.1

Умножим $- 2$ на $600$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 600 (10 x) + 600 \cdot 12 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.10.2

Умножим $10$ на $600$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 600 \cdot 12 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.10.3

Умножим $600$ на $12$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.11

Умножим $600 (- 2 \cdot 14)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.3.1.11.1

Умножим $- 2$ на $14$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 + 600 \cdot - 28}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.1.11.2

Умножим $600$ на $- 28$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.2

Объединим противоположные члены в $1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 - 16800$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.3.2.1

Вычтем $1200 x^{2}$ из $1200 x^{2}$ .

$\frac{- 1800 x - 3000 + 0 + 6000 x + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.2.2

Добавим $- 1800 x - 3000$ и $0$ .

$\frac{- 1800 x - 3000 + 6000 x + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.3

Добавим $- 1800 x$ и $6000 x$ .

$\frac{4200 x - 3000 + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.4

Добавим $- 3000$ и $7200$ .

$\frac{4200 x + 4200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.3.5

Вычтем $16800$ из $4200$ .

$\frac{4200 x - 12600}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.4

Вынесем множитель $4200$ из $4200 x - 12600$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.4.1

Вынесем множитель $4200$ из $4200 x$ .

$\frac{4200 (x) - 12600}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.4.2

Вынесем множитель $4200$ из $- 12600$ .

$\frac{4200 x + 4200 \cdot - 3}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 1.18.4.3

Вынесем множитель $4200$ из $4200 x + 4200 \cdot - 3$ .

$\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4200$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}}$ по $x$ равна $4200 \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = 4200 \frac{d}{d x} (\frac{x - 3}{{(x + 1)}^{3}})$

Этап 2.2

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{({(x + 1)}^{3})}^{2}})$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3 \cdot 2}})$

Этап 2.3.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{6}})$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{6}})$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{6}})$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{6}})$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{6}})$

Этап 2.3.5.2

Умножим ${(x + 1)}^{3}$ на $1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} - (x - 3) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{6}})$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} - (x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{6}})$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} - (x - 3) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{6}})$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} - (x - 3) (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{6}})$

Этап 2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{3} - 3 (x - 3) ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{6}})$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{2}$ из ${(x + 1)}^{3} - 3 (x - 3) ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{2}$ из ${(x + 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{2} (x + 1) - 3 (x - 3) ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{6}})$

Этап 2.5.2.2

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{2}$ из $- 3 (x - 3) ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{2} (x + 1) + {(x + 1)}^{2} (- 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{6}})$

Этап 2.5.2.3

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{2}$ из ${(x + 1)}^{2} (x + 1) + {(x + 1)}^{2} (- 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{2} (x + 1 - 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{6}})$

Этап 2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{2}$ из ${(x + 1)}^{6}$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{2} (x + 1 - 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}})$

Этап 2.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 4200 (\frac{{(x + 1)}^{2} (x + 1 - 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}})$

Этап 2.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 4200 (\frac{x + 1 - 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{4}})$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{x + 1 - 3 (x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{4}})$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{x + 1 - 3 (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{4}})$

Этап 2.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{x + 1 - 3 (x - 3) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{4}})$

Этап 2.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{x + 1 - 3 (x - 3) \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}})$

Этап 2.10.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f'' (x) = 4200 (\frac{x + 1 - 3 (x - 3)}{{(x + 1)}^{4}})$

Этап 2.10.3

Объединим $4200$ и $\frac{x + 1 - 3 (x - 3)}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{4200 (x + 1 - 3 (x - 3))}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4200 (x + 1 - 3 x - 3 \cdot - 3)}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 2.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4200 x + 4200 \cdot 1 + 4200 (- 3 x) + 4200 (- 3 \cdot - 3)}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 2.11.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1.1

Умножим $4200$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{4200 x + 4200 + 4200 (- 3 x) + 4200 (- 3 \cdot - 3)}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 2.11.3.1.2

Умножим $- 3$ на $4200$ .

$f'' (x) = \frac{4200 x + 4200 - 12600 x + 4200 (- 3 \cdot - 3)}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 2.11.3.1.3

Умножим $4200 (- 3 \cdot - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1.3.1

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{4200 x + 4200 - 12600 x + 4200 \cdot 9}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 2.11.3.1.3.2

Умножим $4200$ на $9$ .

$f'' (x) = \frac{4200 x + 4200 - 12600 x + 37800}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 2.11.3.2

Вычтем $12600 x$ из $4200 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8400 x + 4200 + 37800}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 2.11.3.3

Добавим $4200$ и $37800$ .

$f'' (x) = \frac{- 8400 x + 42000}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 2.11.4

Вынесем множитель $8400$ из $- 8400 x + 42000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.4.1

Вынесем множитель $8400$ из $- 8400 x$ .

$f'' (x) = \frac{8400 (- x) + 42000}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 2.11.4.2

Вынесем множитель $8400$ из $42000$ .

$f'' (x) = \frac{8400 (- x) + 8400 (5)}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 2.11.4.3

Вынесем множитель $8400$ из $8400 (- x) + 8400 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{8400 (- x + 5)}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 2.11.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f'' (x) = \frac{8400 (- (x) + 5)}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 2.11.6

Перепишем $5$ в виде $- 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = \frac{8400 (- (x) - 1 \cdot - 5)}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 2.11.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 5)$ .

$f'' (x) = \frac{8400 (- (x - 5))}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 2.11.8

Перепишем $- (x - 5)$ в виде $- 1 (x - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{8400 (- 1 (x - 5))}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 2.11.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{8400 (x - 5)}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x + 1}{x + 1} - \frac{7}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Этап 4.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x + 1 - 7}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Этап 4.1.3

Вычтем $7$ из $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x - 6}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Этап 4.1.4

Чтобы записать $\frac{x - 6}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{x - 6}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Этап 4.1.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${(x + 1)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Умножим $\frac{x - 6}{x + 1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Этап 4.1.5.2

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Этап 4.1.5.3

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Этап 4.1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Этап 4.1.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [600 (\frac{(x - 6) (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})]$

Этап 4.1.6

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [600 \frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}]$

Этап 4.1.6.2

Объединим $600$ и $\frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{600 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{2}}]$

Этап 4.1.6.3

$600 \frac{d}{d x} [\frac{(x - 6) (x + 1) + 14}{{(x + 1)}^{2}}]$

Этап 4.1.7

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1) + 14] - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.8

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1) + 14] - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 4.1.8.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1) + 14] - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.8.2

По правилу суммы производная $(x - 6) (x + 1) + 14$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1)] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [(x - 6) (x + 1)] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.9

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.10

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.10.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.10.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.10.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.10.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} ((x - 6) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.10.4.2

Умножим $x - 6$ на $1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.10.5

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.10.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.10.7

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.10.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.10.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + (x + 1) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.10.8.2

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 6 + x + 1 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.10.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 6 + 1 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.10.8.4

Добавим $- 6$ и $1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [14]) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.10.9

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14$ относительно $x$ равна $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5 + 0) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.10.10

Добавим $2 x - 5$ и $0$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.11

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.11.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.11.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - ((x - 6) (x + 1) + 14) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.12

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.12.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$600 \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.12.2

Вынесем множитель $x + 1$ из ${(x + 1)}^{2} (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.12.2.1

Вынесем множитель $x + 1$ из ${(x + 1)}^{2} (2 x - 5)$ .

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5)) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.12.2.2

Вынесем множитель $x + 1$ из $- 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5)) + (x + 1) (- 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.12.2.3

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5)) + (x + 1) (- 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ .

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

Этап 4.1.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.1

Вынесем множитель $x + 1$ из ${(x + 1)}^{4}$ .

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.13.2

Сократим общий множитель.

$600 \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.13.3

Перепишем это выражение.

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.14

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.16

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.17

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.1

Добавим $1$ и $0$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14) \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.17.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$600 \frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.17.3

Объединим $600$ и $\frac{(x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14)}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{600 ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1) + 14))}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{600 ((x + 1) (2 x - 5) - 2 ((x - 6) (x + 1)) - 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{600 ((x + 1) (2 x - 5)) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.3.1.1

Развернем $(x + 1) (2 x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{600 (x (2 x - 5) + 1 (2 x - 5)) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{600 (x (2 x) + x \cdot - 5 + 1 (2 x - 5)) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{600 (x (2 x) + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.3.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{600 (2 x \cdot x + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.3.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{600 (2 (x \cdot x) + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{600 (2 x^{2} + x \cdot - 5 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.2.1.3

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 5 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.2.1.4

Умножим $2 x$ на $1$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 5 x + 2 x + 1 \cdot - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.2.1.5

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 5 x + 2 x - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.2.2

Добавим $- 5 x$ и $2 x$ .

$\frac{600 (2 x^{2} - 3 x - 5) + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{600 (2 x^{2}) + 600 (- 3 x) + 600 \cdot - 5 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.3.1.4.1

Умножим $2$ на $600$ .

$\frac{1200 x^{2} + 600 (- 3 x) + 600 \cdot - 5 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.4.2

Умножим $- 3$ на $600$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x + 600 \cdot - 5 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.4.3

Умножим $600$ на $- 5$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 ((x - 6) (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.5

Развернем $(x - 6) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.3.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x (x + 1) - 6 (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x \cdot x + x \cdot 1 - 6 (x + 1))) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x \cdot x + x \cdot 1 - 6 x - 6 \cdot 1)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.3.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.3.1.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} + x \cdot 1 - 6 x - 6 \cdot 1)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.6.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} + x - 6 x - 6 \cdot 1)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.6.1.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} + x - 6 x - 6)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.6.2

Вычтем $6 x$ из $x$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 (x^{2} - 5 x - 6)) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2} - 2 (- 5 x) - 2 \cdot - 6) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.3.1.8.1

Умножим $- 5$ на $- 2$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2} + 10 x - 2 \cdot - 6) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.8.2

Умножим $- 2$ на $- 6$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2} + 10 x + 12) + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 + 600 (- 2 x^{2}) + 600 (10 x) + 600 \cdot 12 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.3.1.10.1

Умножим $- 2$ на $600$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 600 (10 x) + 600 \cdot 12 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.10.2

Умножим $10$ на $600$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 600 \cdot 12 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.10.3

Умножим $600$ на $12$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 + 600 (- 2 \cdot 14)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.11

Умножим $600 (- 2 \cdot 14)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.3.1.11.1

Умножим $- 2$ на $14$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 + 600 \cdot - 28}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.1.11.2

Умножим $600$ на $- 28$ .

$\frac{1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.2

Объединим противоположные члены в $1200 x^{2} - 1800 x - 3000 - 1200 x^{2} + 6000 x + 7200 - 16800$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.3.2.1

Вычтем $1200 x^{2}$ из $1200 x^{2}$ .

$\frac{- 1800 x - 3000 + 0 + 6000 x + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.2.2

Добавим $- 1800 x - 3000$ и $0$ .

$\frac{- 1800 x - 3000 + 6000 x + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.3

Добавим $- 1800 x$ и $6000 x$ .

$\frac{4200 x - 3000 + 7200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.4

Добавим $- 3000$ и $7200$ .

$\frac{4200 x + 4200 - 16800}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.3.5

Вычтем $16800$ из $4200$ .

$\frac{4200 x - 12600}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.4

Вынесем множитель $4200$ из $4200 x - 12600$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.4.1

Вынесем множитель $4200$ из $4200 x$ .

$\frac{4200 (x) - 12600}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.4.2

Вынесем множитель $4200$ из $- 12600$ .

$\frac{4200 x + 4200 \cdot - 3}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.18.4.3

Вынесем множитель $4200$ из $4200 x + 4200 \cdot - 3$ .

$f' (x) = \frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$4200 (x - 3) = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $4200 (x - 3) = 0$ на $4200$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Разделим каждый член $4200 (x - 3) = 0$ на $4200$ .

$\frac{4200 (x - 3)}{4200} = \frac{0}{4200}$

Этап 5.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Сократим общий множитель $4200$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4200 (x - 3)}{4200} = \frac{0}{4200}$

Этап 5.3.1.2.1.2

Разделим $x - 3$ на $1$ .

$x - 3 = \frac{0}{4200}$

Этап 5.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Разделим $0$ на $4200$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{4200 (x - 3)}{{(x + 1)}^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 1)}^{3} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 6.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 3$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{8400 ((3) - 5)}{{((3) + 1)}^{4}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $5$ из $3$ .

$- \frac{8400 \cdot - 2}{{(3 + 1)}^{4}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $3$ и $1$ .

$- \frac{8400 \cdot - 2}{4^{4}}$

Этап 9.2.2

Возведем $4$ в степень $4$ .

$- \frac{8400 \cdot - 2}{256}$

Этап 9.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $8400$ на $- 2$ .

$- \frac{- 16800}{256}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $- 16800$ и $256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $32$ из $- 16800$ .

$- \frac{32 (- 525)}{256}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $32$ из $256$ .

$- \frac{32 \cdot - 525}{32 \cdot 8}$

Этап 9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{32 \cdot - 525}{32 \cdot 8}$

Этап 9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{- 525}{8}$

Этап 9.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{525}{8}$

Этап 9.4

Умножим $- - \frac{525}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{525}{8})$

Этап 9.4.2

Умножим $\frac{525}{8}$ на $1$ .

$\frac{525}{8}$

Этап 10

$x = 3$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 3$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{(3) + 1} + \frac{14}{{((3) + 1)}^{2}})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Добавим $3$ и $1$ .

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{14}{{((3) + 1)}^{2}})$

Этап 11.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Добавим $3$ и $1$ .

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{14}{4^{2}})$

Этап 11.2.1.2.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{14}{16})$

Этап 11.2.1.3

Сократим общий множитель $14$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{2 (7)}{16})$

Этап 11.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 8})$

Этап 11.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 8})$

Этап 11.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (3) = 600 (1 - \frac{7}{4} + \frac{7}{8})$

Этап 11.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (3) = 600 (\frac{1}{1} - \frac{7}{4} + \frac{7}{8})$

Этап 11.2.2.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (3) = 600 (\frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8} - \frac{7}{4} + \frac{7}{8})$

Этап 11.2.2.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{8}{8}$ .

$f (3) = 600 (\frac{8}{8} - \frac{7}{4} + \frac{7}{8})$

Этап 11.2.2.4

Умножим $\frac{7}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = 600 (\frac{8}{8} - (\frac{7}{4} \cdot \frac{2}{2}) + \frac{7}{8})$

Этап 11.2.2.5

Умножим $\frac{7}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = 600 (\frac{8}{8} - \frac{7 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{7}{8})$

Этап 11.2.2.6

Изменим порядок множителей в $4 \cdot 2$ .

$f (3) = 600 (\frac{8}{8} - \frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{7}{8})$

Этап 11.2.2.7

Умножим $2$ на $4$ .

$f (3) = 600 (\frac{8}{8} - \frac{7 \cdot 2}{8} + \frac{7}{8})$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (3) = 600 (\frac{8 - 7 \cdot 2 + 7}{8})$

Этап 11.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $- 7$ на $2$ .

$f (3) = 600 (\frac{8 - 14 + 7}{8})$

Этап 11.2.4.2

Вычтем $14$ из $8$ .

$f (3) = 600 (\frac{- 6 + 7}{8})$

Этап 11.2.4.3

Добавим $- 6$ и $7$ .

$f (3) = 600 (\frac{1}{8})$

Этап 11.2.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Вынесем множитель $8$ из $600$ .

$f (3) = 8 (75) (\frac{1}{8})$

Этап 11.2.5.2

Сократим общий множитель.

$f (3) = 8 \cdot (75 (\frac{1}{8}))$

Этап 11.2.5.3

Перепишем это выражение.

$f (3) = 75$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $75$ .

$y = 75$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 600 (1 - \frac{7}{x + 1} + \frac{14}{{(x + 1)}^{2}})$ .

$(3, 75)$ — локальный минимум

Этап 13