Математический анализ Примеры

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=e^{-x}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=e^x}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=-x}$.

Продифференцируем.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ и ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$.

Объединим ${\displaystyle e^{-x}}$ и ${\displaystyle \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}}$.

Перенесем ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Упростим.

По правилу суммы производная ${\displaystyle -8e^{-x}{x}^{\frac{1}{2}}+\frac{4e^{-x}}{x^{\frac{1}{2}}}}$ по ${\displaystyle x}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-8e^{-x}{x}^{\frac{1}{2}}]+\frac{d}{dx}\left[\frac{4e^{-x}}{x^{\frac{1}{2}}}\right]}$.

Найдем значение ${\displaystyle \frac{d}{dx}[-8e^{-x}{x}^{\frac{1}{2}}]}$.

Найдем значение ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{4e^{-x}}{x^{\frac{1}{2}}}\right]}$.