Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $8 \sqrt{3}$ является константой относительно $x$ , производная $8 \sqrt{3} \sin (x)$ по $x$ равна $8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 \cos (x)$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) - 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) - 8 (- \sin (x))$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [8 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 \sqrt{3} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 \sqrt{3} \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $8 \sqrt{3}$ является константой относительно $x$ , производная $8 \sqrt{3} \cos (x)$ по $x$ равна $8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 8 \sqrt{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 8 \sqrt{3} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + \frac{d}{d x} (8 \sin (x))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \sin (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + 8 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 8 \sqrt{3} \sin (x) + 8 \cos (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$8 \sqrt{3} \cos (x) + 8 \sin (x) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{8 \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.2

Разделим $8 \sqrt{3}$ на $1$ .

$8 \sqrt{3} + \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6

Разделим дроби.

$8 \sqrt{3} + \frac{8}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$8 \sqrt{3} + \frac{8}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 8

Разделим $8$ на $1$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 9

Разделим дроби.

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 10

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 11

Разделим $0$ на $1$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 12

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$8 \sqrt{3} + 8 \tan (x) = 0$

Этап 13

Вычтем $8 \sqrt{3}$ из обеих частей уравнения.

$8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$

Этап 14

Разделим каждый член $8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разделим каждый член $8 \tan (x) = - 8 \sqrt{3}$ на $8$ .

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

Этап 14.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

Этап 14.2.1.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 8 \sqrt{3}}{8}$

Этап 14.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Сократим общий множитель $- 8$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8 \sqrt{3}$ .

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8}$

Этап 14.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8 (1)}$

Этап 14.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\tan (x) = \frac{8 (- \sqrt{3})}{8 \cdot 1}$

Этап 14.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{1}$

Этап 14.3.1.2.4

Разделим $- \sqrt{3}$ на $1$ .

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Этап 15

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Этап 16

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Точное значение $\arctan (- \sqrt{3})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Этап 17

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Этап 18

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Этап 18.2

Результирующий угол $\frac{2 π}{3}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{3} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 19

Решение уравнения $x = - \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

Этап 20

Найдем вторую производную в $x = - \frac{π}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 8 \sqrt{3} \sin (- \frac{π}{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{5 π}{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- 8 \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$- 8 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8 \sqrt{3}$ .

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21.1.4.3

Сократим общий множитель.

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21.1.4.4

Перепишем это выражение.

$- 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$4 \sqrt{3} \sqrt{3} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21.1.6

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21.1.7

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$4 {\sqrt{3}}^{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21.1.10

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21.1.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21.1.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21.1.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.10.4.1

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21.1.10.4.2

Перепишем это выражение.

$4 \cdot 3^{1} + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21.1.10.5

Найдем экспоненту.

$4 \cdot 3 + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21.1.11

Умножим $4$ на $3$ .

$12 + 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 21.1.12

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$12 + 8 \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 21.1.13

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$12 + 8 \cos (\frac{π}{3})$

Этап 21.1.14

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$12 + 8 (\frac{1}{2})$

Этап 21.1.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.15.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$12 + 2 (4) \frac{1}{2}$

Этап 21.1.15.2

Сократим общий множитель.

$12 + 2 \cdot 4 \frac{1}{2}$

Этап 21.1.15.3

Перепишем это выражение.

$12 + 4$

Этап 21.2

Добавим $12$ и $4$ .

$16$

Этап 22

$x = - \frac{π}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{π}{3}$ — локальный минимум

Этап 23

Найдем значение y, если $x = - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{π}{3}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (- \frac{π}{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{5 π}{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.2

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$f (- \frac{π}{3}) = 8 \sqrt{3} (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $8 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{π}{3}) = 4 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.6

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.7

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {\sqrt{3}}^{2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.10

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.10.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.10.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.10.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{π}{3}) = - 4 \cdot 3 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.11

Умножим $- 4$ на $3$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (- \frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.12

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (\frac{5 π}{3})$

Этап 23.2.1.13

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 \cos (\frac{π}{3})$

Этап 23.2.1.14

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 8 (\frac{1}{2})$

Этап 23.2.1.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.15.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 + 2 (- 4) (\frac{1}{2})$

Этап 23.2.1.15.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 + 2 \cdot (- 4 (\frac{1}{2}))$

Этап 23.2.1.15.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{π}{3}) = - 12 - 4$

Этап 23.2.2

Вычтем $4$ из $- 12$ .

$f (- \frac{π}{3}) = - 16$

Этап 23.2.3

Окончательный ответ: $- 16$ .

$y = - 16$

Этап 24

Найдем вторую производную в $x = \frac{2 π}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{2 π}{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 25

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 8 \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 25.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 8 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 25.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8 \sqrt{3}$ .

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 25.1.3.2

Сократим общий множитель.

$2 (- 4 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 25.1.3.3

Перепишем это выражение.

$- 4 \sqrt{3} \sqrt{3} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 25.1.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- 4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 25.1.5

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$- 4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 25.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 25.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$- 4 {\sqrt{3}}^{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 25.1.8

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 25.1.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 25.1.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 25.1.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1.8.4.1

Сократим общий множитель.

$- 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 25.1.8.4.2

Перепишем это выражение.

$- 4 \cdot 3^{1} + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 25.1.8.5

Найдем экспоненту.

$- 4 \cdot 3 + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 25.1.9

Умножим $- 4$ на $3$ .

$- 12 + 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 25.1.10

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- 12 + 8 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Этап 25.1.11

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$- 12 + 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 25.1.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1.12.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$- 12 + 8 (\frac{- 1}{2})$

Этап 25.1.12.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$- 12 + 2 (4) \frac{- 1}{2}$

Этап 25.1.12.3

Сократим общий множитель.

$- 12 + 2 \cdot 4 \frac{- 1}{2}$

Этап 25.1.12.4

Перепишем это выражение.

$- 12 + 4 \cdot - 1$

Этап 25.1.13

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 12 - 4$

Этап 25.2

Вычтем $4$ из $- 12$ .

$- 16$

Этап 26

$x = \frac{2 π}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{2 π}{3}$ — локальный максимум

Этап 27

Найдем значение y, если $x = \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{2 π}{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 27.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 27.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 8 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 27.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $8 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 27.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (4 \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 27.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 27.2.1.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 27.2.1.5

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (\sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 27.2.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 27.2.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {\sqrt{3}}^{2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 27.2.1.8

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 27.2.1.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 27.2.1.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 27.2.1.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1.8.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 27.2.1.8.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 27.2.1.8.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot 3 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 27.2.1.9

Умножим $4$ на $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 \cos (\frac{2 π}{3})$

Этап 27.2.1.10

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (- \cos (\frac{π}{3}))$

Этап 27.2.1.11

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (- \frac{1}{2})$

Этап 27.2.1.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1.12.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 8 (\frac{- 1}{2})$

Этап 27.2.1.12.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 2 (- 4) (\frac{- 1}{2})$

Этап 27.2.1.12.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 2 \cdot (- 4 (\frac{- 1}{2}))$

Этап 27.2.1.12.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 - 4 \cdot - 1$

Этап 27.2.1.13

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 12 + 4$

Этап 27.2.2

Добавим $12$ и $4$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 16$

Этап 27.2.3

Окончательный ответ: $16$ .

$y = 16$

Этап 28

Это локальные экстремумы $f (x) = 8 \sqrt{3} \sin (x) - 8 \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{3}, - 16)$ — локальный минимум

$(\frac{2 π}{3}, 16)$ — локальный максимум

Этап 29