Математический анализ Примеры

$f (x) = - 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 e^{- 8 x}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- 8 x$ .

$- 8 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 8 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- 8 x$ .

$- 8 (e^{- 8 x} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 1.2.5

Умножим $- 8$ на $1$ .

$- 8 (e^{- 8 x} \cdot - 8) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 1.2.6

Перенесем $- 8$ влево от $e^{- 8 x}$ .

$- 8 (- 8 \cdot e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 1.2.7

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$64 e^{- 8 x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 e^{- 5 x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Этап 1.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 5 x$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 5 x$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Этап 1.3.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Этап 1.3.5

Умножим $- 5$ на $1$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Этап 1.3.6

Перенесем $- 5$ влево от $e^{- 5 x}$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Этап 1.3.7

Умножим $- 5$ на $5$ .

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [64 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [- 25 e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (64 e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [64 e^{- 8 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $64$ является константой относительно $x$ , производная $64 e^{- 8 x}$ по $x$ равна $64 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}]$ .

$f'' (x) = 64 \frac{d}{d x} (e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- 8 x$ .

$f'' (x) = 64 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 8 x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Этап 2.2.2.2

$f'' (x) = 64 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 8 x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- 8 x$ .

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} \frac{d}{d x} (- 8 x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} (- 8 \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} (- 8 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Этап 2.2.5

Умножим $- 8$ на $1$ .

$f'' (x) = 64 (e^{- 8 x} \cdot - 8) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Этап 2.2.6

Перенесем $- 8$ влево от $e^{- 8 x}$ .

$f'' (x) = 64 (- 8 \cdot e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Этап 2.2.7

Умножим $- 8$ на $64$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} + \frac{d}{d x} (- 25 e^{- 5 x})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 25 e^{- 5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25 e^{- 5 x}$ по $x$ равна $- 25 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 \frac{d}{d x} e^{- 5 x}$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 5 x$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Этап 2.3.2.2

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 5 x$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} x))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Этап 2.3.5

Умножим $- 5$ на $1$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Этап 2.3.6

Перенесем $- 5$ влево от $e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} - 25 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Этап 2.3.7

Умножим $- 5$ на $- 25$ .

$f'' (x) = - 512 e^{- 8 x} + 125 e^{- 5 x}$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 125 e^{- 5 x} - 512 e^{- 8 x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $- 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 e^{- 8 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 e^{- 8 x}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [e^{- 8 x}] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 4.1.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- 8 x$ .

$- 8 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 4.1.2.2.2

$- 8 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 4.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- 8 x$ .

$- 8 (e^{- 8 x} \frac{d}{d x} [- 8 x]) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 4.1.2.3

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 4.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 (e^{- 8 x} (- 8 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- 8$ на $1$ .

$- 8 (e^{- 8 x} \cdot - 8) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 4.1.2.6

Перенесем $- 8$ влево от $e^{- 8 x}$ .

$- 8 (- 8 \cdot e^{- 8 x}) + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$64 e^{- 8 x} + \frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 e^{- 5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 e^{- 5 x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Этап 4.1.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 5 x$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Этап 4.1.3.2.2

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Этап 4.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 5 x$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Этап 4.1.3.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Этап 4.1.3.5

Умножим $- 5$ на $1$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Этап 4.1.3.6

Перенесем $- 5$ влево от $e^{- 5 x}$ .

$64 e^{- 8 x} + 5 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Этап 4.1.3.7

Умножим $- 5$ на $5$ .

$f' (x) = 64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$ .

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$64 e^{- 8 x} - 25 e^{- 5 x} = 0$

Этап 5.2

Перенесем $- 25 e^{- 5 x}$ в правую часть уравнения, прибавив данный член к обеим частям.

$64 e^{- 8 x} = 25 e^{- 5 x}$

Этап 5.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (64 e^{- 8 x}) = \ln (25 e^{- 5 x})$

Этап 5.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем $\ln (64 e^{- 8 x})$ в виде $\ln (64) + \ln (e^{- 8 x})$ .

$\ln (64) + \ln (e^{- 8 x}) = \ln (25 e^{- 5 x})$

Этап 5.4.2

Развернем $\ln (e^{- 8 x})$ , вынося $- 8 x$ из логарифма.

$\ln (64) - 8 x \ln (e) = \ln (25 e^{- 5 x})$

Этап 5.4.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (64) - 8 x \cdot 1 = \ln (25 e^{- 5 x})$

Этап 5.4.4

Умножим $- 8$ на $1$ .

$\ln (64) - 8 x = \ln (25 e^{- 5 x})$

Этап 5.5

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $\ln (25 e^{- 5 x})$ в виде $\ln (25) + \ln (e^{- 5 x})$ .

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) + \ln (e^{- 5 x})$

Этап 5.5.2

Развернем $\ln (e^{- 5 x})$ , вынося $- 5 x$ из логарифма.

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) - 5 x \ln (e)$

Этап 5.5.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) - 5 x \cdot 1$

Этап 5.5.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\ln (64) - 8 x = \ln (25) - 5 x$

Этап 5.6

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (64) - \ln (25) = 8 x - 5 x$

Этап 5.7

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{64}{25}) = 8 x - 5 x$

Этап 5.8

Вычтем $5 x$ из $8 x$ .

$\ln (\frac{64}{25}) = 3 x$

Этап 5.9

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$3 x = \ln (\frac{64}{25})$

Этап 5.10

Разделим каждый член $3 x = \ln (\frac{64}{25})$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Разделим каждый член $3 x = \ln (\frac{64}{25})$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

Этап 5.10.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

Этап 5.10.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$125 e^{- 5 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ в виде $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ .

$125 e^{- 5 (\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25}))} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.2

Упростим $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$125 e^{- 5 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.3

Упростим $- 5 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})$ путем переноса $- 5$ под логарифм.

$125 e^{\ln ({({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 5})} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$125 {({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 5} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.5

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$125 {(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3} \cdot - 5} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.5.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 5$ .

$125 {(\frac{64}{25})}^{\frac{- 5}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$125 {(\frac{64}{25})}^{- \frac{5}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.6

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$125 {(\frac{25}{64})}^{\frac{5}{3}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.7

Применим правило умножения к $\frac{25}{64}$ .

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{64^{\frac{5}{3}}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{{(4^{3})}^{\frac{5}{3}}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{3 (\frac{5}{3})}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.8.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.3.1

Сократим общий множитель.

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{3 (\frac{5}{3})}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.8.3.2

Перепишем это выражение.

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{5}} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.8.4

Возведем $4$ в степень $5$ .

$125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.9

Умножим $125 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.1

Объединим $125$ и $\frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ .

$\frac{125 \cdot 25^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.9.2

Перепишем $125$ в виде $5^{3}$ .

$\frac{5^{3} \cdot 25^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.9.3

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{5^{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.9.4

Перемножим экспоненты в ${(5^{2})}^{\frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{3} \cdot 5^{2 (\frac{5}{3})}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.9.4.2

Умножим $2 (\frac{5}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.4.2.1

Объединим $2$ и $\frac{5}{3}$ .

$\frac{5^{3} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 5}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.9.4.2.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{5^{3} \cdot 5^{\frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.9.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5^{3 + \frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.9.6

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5^{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.9.7

Объединим $3$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5^{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.9.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5^{\frac{3 \cdot 3 + 10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.9.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.9.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{5^{\frac{9 + 10}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.9.9.2

Добавим $9$ и $10$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}}$

Этап 9.10

Перепишем $\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ в виде $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 (\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25}))}$

Этап 9.11

Упростим $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{- 8 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}$

Этап 9.12

Упростим $- 8 \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})$ путем переноса $- 8$ под логарифм.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 e^{\ln ({({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 8})}$

Этап 9.13

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 8}$

Этап 9.14

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})}^{- 8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.14.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3} \cdot - 8}$

Этап 9.14.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 8$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{64}{25})}^{\frac{- 8}{3}}$

Этап 9.14.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{64}{25})}^{- \frac{8}{3}}$

Этап 9.15

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 {(\frac{25}{64})}^{\frac{8}{3}}$

Этап 9.16

Применим правило умножения к $\frac{25}{64}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{64^{\frac{8}{3}}}$

Этап 9.17

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.17.1

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{{(4^{3})}^{\frac{8}{3}}}$

Этап 9.17.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{3 (\frac{8}{3})}}$

Этап 9.17.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.17.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{3 (\frac{8}{3})}}$

Этап 9.17.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{8}}$

Этап 9.17.4

Возведем $4$ в степень $8$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 512 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536}$

Этап 9.18

Сократим общий множитель $512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.18.1

Вынесем множитель $512$ из $- 512$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} + 512 (- 1) \frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536}$

Этап 9.18.2

Вынесем множитель $512$ из $65536$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} + 512 \cdot - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{512 \cdot 128}$

Этап 9.18.3

Сократим общий множитель.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} + 512 \cdot - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{512 \cdot 128}$

Этап 9.18.4

Перепишем это выражение.

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$

Этап 9.19

Перепишем $- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$ в виде $- \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$ .

$\frac{5^{\frac{19}{3}}}{1024} - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{128}$

Этап 10

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Simplify $\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ to substitute in $f (x) = - 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Перепишем $\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}$ в виде $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{64}{25})$

Этап 11.1.2

Упростим $\frac{1}{3} \ln (\frac{64}{25})$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$y = \ln ({(\frac{64}{25})}^{\frac{1}{3}})$

Этап 11.1.3

Применим правило умножения к $\frac{64}{25}$ .

$y = \ln (\frac{64^{\frac{1}{3}}}{25^{\frac{1}{3}}})$

Этап 11.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.4.1

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$y = \ln (\frac{{(4^{3})}^{\frac{1}{3}}}{25^{\frac{1}{3}}})$

Этап 11.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \ln (\frac{4^{3 (\frac{1}{3})}}{25^{\frac{1}{3}}})$

Этап 11.1.4.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$y = \ln (\frac{4^{3 (\frac{1}{3})}}{25^{\frac{1}{3}}})$

Этап 11.1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$y = \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$

Этап 11.1.4.4

Найдем экспоненту.

$y = \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$

Этап 11.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 e^{- 8 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Этап 11.3

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Упростим $- 8 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$ путем переноса $- 8$ под логарифм.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 e^{\ln ({(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 8})} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Этап 11.3.1.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 {(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 8} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Этап 11.3.1.3

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 {(\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4})}^{8} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Этап 11.3.1.4

Применим правило умножения к $\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{{(25^{\frac{1}{3}})}^{8}}{4^{8}} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Этап 11.3.1.5

Перемножим экспоненты в ${(25^{\frac{1}{3}})}^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{25^{\frac{1}{3} \cdot 8}}{4^{8}} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Этап 11.3.1.5.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{4^{8}} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Этап 11.3.1.6

Возведем $4$ в степень $8$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 8 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Этап 11.3.1.7

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.7.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = 8 (- 1) (\frac{25^{\frac{8}{3}}}{65536}) + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Этап 11.3.1.7.2

Вынесем множитель $8$ из $65536$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = 8 \cdot (- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8 \cdot 8192}) + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Этап 11.3.1.7.3

Сократим общий множитель.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = 8 \cdot (- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8 \cdot 8192}) + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Этап 11.3.1.7.4

Перепишем это выражение.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Этап 11.3.1.8

Перепишем $- 1 \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192}$ в виде $- \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 e^{- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}$

Этап 11.3.1.9

Упростим $- 5 \ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})$ путем переноса $- 5$ под логарифм.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 e^{\ln ({(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 5})}$

Этап 11.3.1.10

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 {(\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})}^{- 5}$

Этап 11.3.1.11

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 {(\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4})}^{5}$

Этап 11.3.1.12

Применим правило умножения к $\frac{25^{\frac{1}{3}}}{4}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{{(25^{\frac{1}{3}})}^{5}}{4^{5}})$

Этап 11.3.1.13

Перемножим экспоненты в ${(25^{\frac{1}{3}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.13.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{25^{\frac{1}{3} \cdot 5}}{4^{5}})$

Этап 11.3.1.13.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $5$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{25^{\frac{5}{3}}}{4^{5}})$

Этап 11.3.1.14

Возведем $4$ в степень $5$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + 5 (\frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024})$

Этап 11.3.1.15

Умножим $5 \frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.15.1

Объединим $5$ и $\frac{25^{\frac{5}{3}}}{1024}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 25^{\frac{5}{3}}}{1024}$

Этап 11.3.1.15.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot {(5^{2})}^{\frac{5}{3}}}{1024}$

Этап 11.3.1.15.3

Перемножим экспоненты в ${(5^{2})}^{\frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.15.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 5^{2 (\frac{5}{3})}}{1024}$

Этап 11.3.1.15.3.2

Умножим $2 (\frac{5}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.15.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{5}{3}$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 5}{3}}}{1024}$

Этап 11.3.1.15.3.2.2

Умножим $2$ на $5$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5 \cdot 5^{\frac{10}{3}}}{1024}$

Этап 11.3.1.15.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{1 + \frac{10}{3}}}{1024}$

Этап 11.3.1.15.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{3}{3} + \frac{10}{3}}}{1024}$

Этап 11.3.1.15.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{3 + 10}{3}}}{1024}$

Этап 11.3.1.15.7

Добавим $3$ и $10$ .

$f (\ln (\frac{4}{25^{\frac{1}{3}}})) = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024}$

Этап 11.3.2

Окончательный ответ: $- \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024}$ .

$y = - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = - 8 e^{- 8 x} + 5 e^{- 5 x}$ .

$(\frac{\ln (\frac{64}{25})}{3}, - \frac{25^{\frac{8}{3}}}{8192} + \frac{5^{\frac{13}{3}}}{1024})$ — локальный максимум

Этап 13