Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 \cos^{4} (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \cos^{4} (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$8 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$8 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 1.3

Умножим $4$ на $8$ .

$32 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 1.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$32 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Этап 1.5

Умножим $- 1$ на $32$ .

$- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 32$ является константой относительно $x$ , производная $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ по $x$ равна $- 32 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x) \sin (x))$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos^{3} (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Этап 2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Этап 2.4

Умножим $\cos^{3} (x)$ на $\cos (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\cos^{3} (x)$ на $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{3} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Этап 2.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 32 ({\cos (x)}^{3 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Этап 2.4.2

Добавим $3$ и $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{3} (x)))$

Этап 2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + \sin (x) (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))))$

Этап 2.6

Перенесем $3$ влево от $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + 3 \cdot (\sin (x) \cos^{2} (x)) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Этап 2.7

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) + 3 \sin (x) \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Этап 2.8

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 \sin (x) \cos^{2} (x) \sin (x))$

Этап 2.9

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 (\sin (x) \sin (x)) \cos^{2} (x))$

Этап 2.10

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 (\sin (x) \sin (x)) \cos^{2} (x))$

Этап 2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos^{2} (x))$

Этап 2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - 32 (\cos^{4} (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Этап 2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - 32 \cos^{4} (x) - 32 (- 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x))$

Этап 2.13.2

Умножим $- 3$ на $- 32$ .

$f'' (x) = - 32 \cos^{4} (x) + 96 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Этап 2.13.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 96 \cos^{2} (x) \sin^{2} (x) - 32 \cos^{4} (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 32 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Этап 5

Приравняем $\cos^{3} (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cos^{3} (x)$ к $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\cos^{3} (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Этап 5.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\cos (x) = 0$

Этап 5.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 5.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.6

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 5.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.2.7

Решение уравнения $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Этап 6

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 6.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 6.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 6.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 6.2.5

Решение уравнения $x = 0$ .

$x = 0, π$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$96 \cos^{2} (\frac{π}{2}) \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$96 \cdot 0^{2} \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Этап 9.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$96 \cdot 0 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Этап 9.1.3

Умножим $96$ на $0$ .

$0 \sin^{2} (\frac{π}{2}) - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Этап 9.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 \cdot 1^{2} - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Этап 9.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$0 \cdot 1 - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Этап 9.1.6

Умножим $0$ на $1$ .

$0 - 32 \cos^{4} (\frac{π}{2})$

Этап 9.1.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$0 - 32 \cdot 0^{4}$

Этап 9.1.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 32 \cdot 0$

Этап 9.1.9

Умножим $- 32$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 32 \cos^{3} (- 2) \sin (- 2)$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Найдем значение $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 32 {(- 0.41614683)}^{3} \sin (- 2)$

Этап 10.2.2.2

Возведем $- 0.41614683$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = - 32 \cdot (- 0.07206755 \sin (- 2))$

Этап 10.2.2.3

Умножим $- 32$ на $- 0.07206755$ .

$f' (- 2) = 2.30616178 \sin (- 2)$

Этап 10.2.2.4

Найдем значение $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 2.30616178 \cdot - 0.90929742$

Этап 10.2.2.5

Умножим $2.30616178$ на $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = - 2.09698697$

Этап 10.2.2.6

Окончательный ответ: $- 2.09698697$ .

$- 2.09698697$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $1$ , из интервала $(0, \frac{π}{2})$ в первую производную $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - 32 \cos^{3} (1) \sin (1)$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Найдем значение $\cos (1)$ .

$f' (1) = - 32 \cdot ({0.5403023}^{3} \sin (1))$

Этап 10.3.2.2

Возведем $0.5403023$ в степень $3$ .

$f' (1) = - 32 \cdot (0.1577286 \sin (1))$

Этап 10.3.2.3

Умножим $- 32$ на $0.1577286$ .

$f' (1) = - 5.04731536 \sin (1)$

Этап 10.3.2.4

Найдем значение $\sin (1)$ .

$f' (1) = - 5.04731536 \cdot 0.84147098$

Этап 10.3.2.5

Умножим $- 5.04731536$ на $0.84147098$ .

$f' (1) = - 4.24716943$

Этап 10.3.2.6

Окончательный ответ: $- 4.24716943$ .

$- 4.24716943$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(\frac{π}{2}, π)$ в первую производную $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = - 32 \cos^{3} (2) \sin (2)$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Найдем значение $\cos (2)$ .

$f' (2) = - 32 {(- 0.41614683)}^{3} \sin (2)$

Этап 10.4.2.2

Возведем $- 0.41614683$ в степень $3$ .

$f' (2) = - 32 \cdot (- 0.07206755 \sin (2))$

Этап 10.4.2.3

Умножим $- 32$ на $- 0.07206755$ .

$f' (2) = 2.30616178 \sin (2)$

Этап 10.4.2.4

Найдем значение $\sin (2)$ .

$f' (2) = 2.30616178 \cdot 0.90929742$

Этап 10.4.2.5

Умножим $2.30616178$ на $0.90929742$ .

$f' (2) = 2.09698697$

Этап 10.4.2.6

Окончательный ответ: $2.09698697$ .

$2.09698697$

Этап 10.5

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(π, \frac{3 π}{2})$ в первую производную $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = - 32 \cos^{3} (4) \sin (4)$

Этап 10.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Найдем значение $\cos (4)$ .

$f' (4) = - 32 {(- 0.65364362)}^{3} \sin (4)$

Этап 10.5.2.2

Возведем $- 0.65364362$ в степень $3$ .

$f' (4) = - 32 \cdot (- 0.27926922 \sin (4))$

Этап 10.5.2.3

Умножим $- 32$ на $- 0.27926922$ .

$f' (4) = 8.93661523 \sin (4)$

Этап 10.5.2.4

Найдем значение $\sin (4)$ .

$f' (4) = 8.93661523 \cdot - 0.75680249$

Этап 10.5.2.5

Умножим $8.93661523$ на $- 0.75680249$ .

$f' (4) = - 6.7632527$

Этап 10.5.2.6

Окончательный ответ: $- 6.7632527$ .

$- 6.7632527$

Этап 10.6

Подставим любое число такое, что $7$ , из интервала $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ в первую производную $- 32 \cos^{3} (x) \sin (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f' (7) = - 32 \cos^{3} (7) \sin (7)$

Этап 10.6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.2.1

Найдем значение $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 32 \cdot ({0.75390225}^{3} \sin (7))$

Этап 10.6.2.2

Возведем $0.75390225$ в степень $3$ .

$f' (7) = - 32 \cdot (0.42849437 \sin (7))$

Этап 10.6.2.3

Умножим $- 32$ на $0.42849437$ .

$f' (7) = - 13.71182002 \sin (7)$

Этап 10.6.2.4

Найдем значение $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 13.71182002 \cdot 0.65698659$

Этап 10.6.2.5

Умножим $- 13.71182002$ на $0.65698659$ .

$f' (7) = - 9.00848199$

Этап 10.6.2.6

Окончательный ответ: $- 9.00848199$ .

$- 9.00848199$

Этап 10.7

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.8

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \frac{π}{2}$ , $x = \frac{π}{2}$ — локальный минимум.

$x = \frac{π}{2}$ — локальный минимум

Этап 10.9

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = π$ , $x = π$ — локальный максимум.

$x = π$ — локальный максимум

Этап 10.10

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = \frac{3 π}{2}$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.11

Это локальные экстремумы $f (x) = 8 \cos^{4} (x)$ .

$x = \frac{π}{2}$ — локальный минимум

$x = π$ — локальный максимум

$x = \frac{π}{2}$ — локальный минимум

$x = π$ — локальный максимум

Этап 11