Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 - \frac{6}{x} \cdot \frac{8}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $8 - \frac{6}{x} \cdot \frac{8}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x} \cdot \frac{8}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x} \cdot \frac{8}{x^{2}}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{6}{x} \cdot \frac{8}{x^{2}}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x} \cdot \frac{8}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $\frac{8}{x^{2}}$ на $\frac{6}{x}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{8 \cdot 6}{x^{2} x}]$

Этап 1.2.2

Умножим $8$ на $6$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{2} x}]$

Этап 1.2.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{2} x^{1}}]$

Этап 1.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{2 + 1}}]$

Этап 1.2.3.2

Добавим $2$ и $1$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{48}{x^{3}}]$

Этап 1.2.4

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{48}{x^{3}}$ по $x$ равна $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$0 - 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 1.2.5

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$0 - 48 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$0 - 48 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0 - 48 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.2.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.3.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$0 - 48 (- {(x^{2} x^{1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.2.6.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0 - 48 (- {(x^{2 + 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.2.6.3.2

Добавим $2$ и $1$ .

$0 - 48 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 - 48 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Этап 1.2.8

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 48 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Этап 1.2.8.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$0 - 48 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Этап 1.2.9

Умножим $3$ на $- 1$ .

$0 - 48 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Этап 1.2.10

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Перенесем $x^{2}$ .

$0 - 48 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Этап 1.2.10.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0 - 48 (- 3 x^{2 - 6})$

Этап 1.2.10.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$0 - 48 (- 3 x^{- 4})$

Этап 1.2.11

Умножим $- 3$ на $- 48$ .

$0 + 144 x^{- 4}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 144 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 1.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Объединим $144$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$0 + \frac{144}{x^{4}}$

Этап 1.3.2.2

Добавим $0$ и $\frac{144}{x^{4}}$ .

$\frac{144}{x^{4}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $144$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{144}{x^{4}}$ по $x$ равна $144 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 144 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}})$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 144 \frac{d}{d x} ({(x^{4})}^{- 1})$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 144 \frac{d}{d x} (x^{4 \cdot - 1})$

Этап 2.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 144 \frac{d}{d x} (x^{- 4})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$f'' (x) = 144 (- 4 x^{- 5})$

Этап 2.4

Умножим $- 4$ на $144$ .

$f'' (x) = - 576 x^{- 5}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 576 \frac{1}{x^{5}}$

Этап 2.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Объединим $- 576$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 576}{x^{5}}$

Этап 2.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{576}{x^{5}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{144}{x^{4}} = 0$

Этап 4

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 5

Нет локальных экстремумов

Этап 6