Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 (x - e^{x})$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 (x - e^{x})$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x - e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x - e^{x}]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x - e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$8 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 (1 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 (1 - \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$8 (1 - e^{x})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \cdot 1 + 8 (- e^{x})$

Этап 1.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $8$ на $1$ .

$8 + 8 (- e^{x})$

Этап 1.3.2.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$8 - 8 e^{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $8 - 8 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- 8 e^{x})$

Этап 2.1.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 8 e^{x})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 e^{x}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 0 - 8 \frac{d}{d x} e^{x}$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = 0 - 8 e^{x}$

Этап 2.3

Вычтем $8 e^{x}$ из $0$ .

$f'' (x) = - 8 e^{x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$8 - 8 e^{x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 (x - e^{x})$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x - e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x - e^{x}]$

Этап 4.1.1.2

По правилу суммы производная $x - e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$8 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

Этап 4.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 (1 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

Этап 4.1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 (1 - \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 4.1.2

$8 (1 - e^{x})$

Этап 4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \cdot 1 + 8 (- e^{x})$

Этап 4.1.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Умножим $8$ на $1$ .

$8 + 8 (- e^{x})$

Этап 4.1.3.2.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f' (x) = 8 - 8 e^{x}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $8 - 8 e^{x}$ .

$8 - 8 e^{x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $8 - 8 e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$8 - 8 e^{x} = 0$

Этап 5.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- 8 e^{x} = - 8$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- 8 e^{x} = - 8$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- 8 e^{x} = - 8$ на $- 8$ .

$\frac{- 8 e^{x}}{- 8} = \frac{- 8}{- 8}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 e^{x}}{- 8} = \frac{- 8}{- 8}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$e^{x} = \frac{- 8}{- 8}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $- 8$ на $- 8$ .

$e^{x} = 1$

Этап 5.4

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Этап 5.5

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Этап 5.5.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Этап 5.5.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (1)$

Этап 5.6

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 8 e^{0}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 8 \cdot 1$

Этап 9.2

Умножим $- 8$ на $1$ .

$- 8$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 8 ((0) - e^{0})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = 8 (0 - 1 \cdot 1)$

Этап 11.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (0) = 8 (0 - 1)$

Этап 11.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (0) = 8 \cdot - 1$

Этап 11.2.2.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$f (0) = - 8$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 8$ .

$y = - 8$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 8 (x - e^{x})$ .

$(0, - 8)$ — локальный максимум

Этап 13