Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{2} \cdot \ln (\frac{x}{2})$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (\frac{x}{2})$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{2}{x}$ на $1$ .

$5 (x^{2} (\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.5.2

Объединим $\frac{2}{x}$ и $x^{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.5.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.5.3.2.3

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.5.3.2.4

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{2 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.5.3.2.5

Разделим $2 x$ на $1$ .

$5 (2 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (2 x (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.7.2

Объединим $\frac{2}{2}$ и $x$ .

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.7.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.7.3.2

Разделим $x$ на $1$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.9

Умножим $x$ на $1$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Этап 1.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Этап 1.11.2

Умножим $2$ на $5$ .

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{2}) x$

Этап 1.11.3

Изменим порядок членов.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x \ln (\frac{x}{2})$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.7

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{2}{x}) \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.8

Умножим $\frac{2}{x}$ на $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.9

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.10

Умножим $\frac{2}{x}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x \cdot 2}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.11

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{2 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{2 x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.12.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.13

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.14

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.14.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.2.15

Умножим $\ln (\frac{x}{2})$ на $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{2}) + 5$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $10$ на $1$ .

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{2}) + 5$

Этап 2.4.2.2

Добавим $10$ и $5$ .

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{2}) + 15$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$

Этап 4.1.2

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Умножим $\frac{2}{x}$ на $1$ .

$5 (x^{2} (\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.5.2

Объединим $\frac{2}{x}$ и $x^{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.5.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.5.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.5.3.2.3

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.5.3.2.4

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{2 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.5.3.2.5

Разделим $2 x$ на $1$ .

$5 (2 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (2 x (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.7.2

Объединим $\frac{2}{2}$ и $x$ .

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.7.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.3.1

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.7.3.2

Разделим $x$ на $1$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.9

Умножим $x$ на $1$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Этап 4.1.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Этап 4.1.11.2

Умножим $2$ на $5$ .

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{2}) x$

Этап 4.1.11.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$ .

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$

Этап 5.2

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$

Этап 5.3

Разделим каждый член $10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$ на $10 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$ на $10 x$ .

$\frac{10 x \ln (\frac{x}{2})}{10 x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x \ln (\frac{x}{2})}{10 x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x \ln (\frac{x}{2})}{x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (\frac{x}{2})}{x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $\ln (\frac{x}{2})$ на $1$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- 5 x}{10 x}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $- 5$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 x$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{10 x}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10 x$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{5 (2 x)}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{5 (2 x)}$

Этап 5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- x}{2 x}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- x}{2 x}$

Этап 5.3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}$

Этап 5.4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{x}{2})} = e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 5.5

Перепишем $\ln (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = \frac{x}{2}$

Этап 5.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x}{2} = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{2} = e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 5.6.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 5.6.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 5.6.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

Этап 5.6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.2.1

Упростим $2 e^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = 2 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.6.3.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим аргумент в $\ln (\frac{x}{2})$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{x}{2} \leq 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

Этап 6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

Этап 6.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x \leq 0 \cdot 2$

Этап 6.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Умножим $0$ на $2$ .

$x \leq 0$

Этап 6.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$10 \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2}) + 15$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$10 \ln (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}) + 15$

Этап 9.1.2

Объединим.

$10 \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 15$

Этап 9.1.3

Сократим выражение $\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Сократим общий множитель.

$10 \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 15$

Этап 9.1.3.2

Перепишем это выражение.

$10 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 15$

Этап 9.1.4

Перенесем $e^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$10 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 15$

Этап 9.1.5

Развернем $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ , вынося $- \frac{1}{2}$ из логарифма.

$10 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 15$

Этап 9.1.6

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$10 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 15$

Этап 9.1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$10 (- \frac{1}{2}) + 15$

Этап 9.1.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$10 (\frac{- 1}{2}) + 15$

Этап 9.1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$2 (5) \frac{- 1}{2} + 15$

Этап 9.1.8.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 5 \frac{- 1}{2} + 15$

Этап 9.1.8.4

Перепишем это выражение.

$5 \cdot - 1 + 15$

Этап 9.1.9

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 + 15$

Этап 9.2

Добавим $- 5$ и $15$ .

$10$

Этап 10

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 {(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{2^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Этап 11.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Этап 11.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Этап 11.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Этап 11.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Этап 11.2.2.2

Упростим.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Этап 11.2.3

Умножим $5 \frac{4}{e}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Объединим $5$ и $\frac{4}{e}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{5 \cdot 4}{e} \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Этап 11.2.3.2

Умножим $5$ на $4$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Этап 11.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 11.2.5

Объединим.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2})$

Этап 11.2.6

Сократим выражение $\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2})$

Этап 11.2.6.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Этап 11.2.7

Перенесем $e^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

Этап 11.2.8

Развернем $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ , вынося $- \frac{1}{2}$ из логарифма.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

Этап 11.2.9

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Этап 11.2.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

Этап 11.2.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.11.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

Этап 11.2.11.2

Вынесем множитель $2$ из $20$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{2 (10)}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

Этап 11.2.11.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{2 \cdot 10}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

Этап 11.2.11.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{10}{e} \cdot - 1$

Этап 11.2.12

Объединим $\frac{10}{e}$ и $- 1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{10 \cdot - 1}{e}$

Этап 11.2.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.13.1

Умножим $10$ на $- 1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{- 10}{e}$

Этап 11.2.13.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{10}{e}$

Этап 11.2.14

Окончательный ответ: $- \frac{10}{e}$ .

$y = - \frac{10}{e}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 5 x^{2} \cdot \ln (\frac{x}{2})$ .

$(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{10}{e})$ — локальный минимум

Этап 13