Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \ln (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Этап 1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 17$ является константой относительно $x$ , производная $- 17 \arctan (x)$ по $x$ равна $- 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 1.3.3

Объединим $- 17$ и $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{- 17}{1 + x^{2}}$

Этап 1.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{x} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Чтобы записать $\frac{4}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Этап 1.4.1.2

Чтобы записать $- \frac{17}{1 + x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 1.4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (1 + x^{2})$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.3.1

Умножим $\frac{4}{x}$ на $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 1.4.1.3.2

Умножим $\frac{17}{1 + x^{2}}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{(1 + x^{2}) x}$

Этап 1.4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 + x^{2}) x$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{x (1 + x^{2})}$

Этап 1.4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 (1 + x^{2}) - 17 x}{x (1 + x^{2})}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = - 17 x + 4 (1 + x^{2})$ и $g (x) = x (1 + x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $- 17 x + 4 (1 + x^{2})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 17 x] + \frac{d}{d x} [4 (1 + x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} (- 17 x) + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.2.2

Поскольку $- 17$ является константой относительно $x$ , производная $- 17 x$ по $x$ равна $- 17 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.2.4

Умножим $- 17$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + \frac{d}{d x} (4 (1 + x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.2.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 (1 + x^{2})$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 \frac{d}{d x} (1 + x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.2.6

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.2.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.2.8

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 \frac{d}{d x} (x^{2})) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 4 (2 x)) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.2.10

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) \frac{d}{d x} (x (1 + x^{2}))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x \frac{d}{d x} (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2})) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x \frac{d}{d x} (x^{2}) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (x (2 x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 (x \cdot x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 (x \cdot x) + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{1 + 1} + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x))}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + (1 + x^{2}) \cdot 1)}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.10

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $1 + x^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (2 x^{2} + 1 + x^{2})}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.10.2

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{{(x (1 + x^{2}))}^{2}}$

Этап 2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Применим правило умножения к $x (1 + x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{x (1 + x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 (1 + x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) - (- 17 x + 4 \cdot 1 + 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1.1.1

Умножим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1.1.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1.1.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x \cdot x^{2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{(x + x^{1 + 2}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.1.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{(x + x^{3}) (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.2

Развернем $(x + x^{3}) (- 17 + 8 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x (- 17 + 8 x) + x^{3} (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 17 + x (8 x) + x^{3} (- 17 + 8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 17 + x (8 x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1.3.1

Перенесем $- 17$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 \cdot x + x (8 x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x \cdot x + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.3.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1.3.3.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 (x \cdot x) + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.3.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} + x^{3} \cdot - 17 + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.3.4

Перенесем $- 17$ влево от $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 \cdot x^{3} + x^{3} (8 x) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.3.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{3} x + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.3.6

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1.3.6.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 (x \cdot x^{3}) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.3.6.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1.3.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 (x \cdot x^{3}) + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.3.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{1 + 3} + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.3.6.3

Добавим $1$ и $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (- (- 17 x) - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1.4.1

Умножим $- 17$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - (4 \cdot 1) - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.4.2

Умножим $- (4 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1.4.2.1

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 1 \cdot 4 - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.4.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 4 - (4 x^{2})) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.4.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + (17 x - 4 - 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.5

Развернем $(17 x - 4 - 4 x^{2}) (3 x^{2} + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 x (3 x^{2}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x \cdot x^{2}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1.6.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 (x^{2} x)) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.6.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1.6.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 (x^{2} x)) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.6.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x^{2 + 1}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.6.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 17 \cdot (3 x^{3}) + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.6.3

Умножим $17$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x \cdot 1 - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.6.4

Умножим $17$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 4 (3 x^{2}) - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.6.5

Умножим $3$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 \cdot 1 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.6.6

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.6.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{2} x^{2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.6.8

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.1.6.8.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.6.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{2 + 2}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.6.8.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 4 \cdot (3 x^{4}) - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.6.9

Умножим $- 4$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 12 x^{4} - 4 x^{2} \cdot 1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.6.10

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 12 x^{2} - 4 - 12 x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.1.7

Вычтем $4 x^{2}$ из $- 12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.2

Объединим противоположные члены в $- 17 x + 8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 17 x - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.5.2.1

Добавим $- 17 x$ и $17 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} + 0 - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.2.2

Добавим $8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} - 16 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.3

Вычтем $16 x^{2}$ из $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 17 x^{3} + 8 x^{4} + 51 x^{3} - 8 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.4

Добавим $- 17 x^{3}$ и $51 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4 - 12 x^{4}}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.5.5

Вычтем $12 x^{4}$ из $8 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.6

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{4} + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 34 x^{3} - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.6.2

Вынесем множитель $2$ из $34 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) - 8 x^{2} - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.6.3

Вынесем множитель $2$ из $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) - 4}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.6.4

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.6.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 x^{4}) + 2 (17 x^{3})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.6.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3}) + 2 (- 4 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.6.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 2 x^{4} + 17 x^{3} - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4}) + 17 x^{3} - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.8

Вынесем множитель $- 1$ из $17 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4}) - (- 17 x^{3}) - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{4}) - (- 17 x^{3})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - 4 x^{2} - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - (4 x^{2}) - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{4} - 17 x^{3}) - (4 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.12

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 1 \cdot 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2}) - 1 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2))}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.14

Перепишем $- (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)$ в виде $- 1 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2))}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x^{4} - 17 x^{3} + 4 x^{2} + 2)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \ln (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Этап 4.1.2.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Этап 4.1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 17 \arctan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 17$ является константой относительно $x$ , производная $- 17 \arctan (x)$ по $x$ равна $- 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 4.1.3.2

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} - 17 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 4.1.3.3

Объединим $- 17$ и $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} + \frac{- 17}{1 + x^{2}}$

Этап 4.1.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{x} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1.1

Чтобы записать $\frac{4}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}}$

Этап 4.1.4.1.2

Чтобы записать $- \frac{17}{1 + x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4}{x} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 4.1.4.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (1 + x^{2})$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1.3.1

Умножим $\frac{4}{x}$ на $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17}{1 + x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 4.1.4.1.3.2

Умножим $\frac{17}{1 + x^{2}}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{(1 + x^{2}) x}$

Этап 4.1.4.1.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 + x^{2}) x$ .

$\frac{4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} - \frac{17 x}{x (1 + x^{2})}$

Этап 4.1.4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 (1 + x^{2}) - 17 x}{x (1 + x^{2})}$

Этап 4.1.4.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$ .

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$- 17 x + 4 (1 + x^{2}) = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 17 x + 4 \cdot 1 + 4 x^{2} = 0$

Этап 5.3.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$- 17 x + 4 + 4 x^{2} = 0$

Этап 5.3.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Изменим порядок членов.

$4 x^{2} - 17 x + 4 = 0$

Этап 5.3.2.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 4 = 16$ , а сумма — $b = - 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $- 17$ из $- 17 x$ .

$4 x^{2} - 17 x + 4 = 0$

Этап 5.3.2.2.2

Запишем $- 17$ как $- 1$ плюс $- 16$

$4 x^{2} + (- 1 - 16) x + 4 = 0$

Этап 5.3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 1 x - 16 x + 4 = 0$

Этап 5.3.2.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 x^{2} - 1 x) - 16 x + 4 = 0$

Этап 5.3.2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (4 x - 1) - 4 (4 x - 1) = 0$

Этап 5.3.2.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (x - 4) = 0$

Этап 5.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 5.3.4

Приравняем $4 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Приравняем $4 x - 1$ к $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Этап 5.3.4.2

Решим $4 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 1$

Этап 5.3.4.2.2

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 5.3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 5.3.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Этап 5.3.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 5.3.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x - 1) (x - 4) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{4}, 4$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{- 17 x + 4 (1 + x^{2})}{x (1 + x^{2})}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x (1 + x^{2}) = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$1 + x^{2} = 0$

Этап 6.2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.2.3

Приравняем $1 + x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Приравняем $1 + x^{2}$ к $0$ .

$1 + x^{2} = 0$

Этап 6.2.3.2

Решим $1 + x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 6.2.3.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 6.2.3.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 6.2.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 6.2.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 6.2.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 6.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (1 + x^{2}) = 0$ верно.

$x = 0, i, - i$

Этап 6.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{4}, 4$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2 (2 {(\frac{1}{4})}^{4} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (2 \frac{1^{4}}{4^{4}} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{2 (2 \frac{1}{4^{4}} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.3

Возведем $4$ в степень $4$ .

$- \frac{2 (2 (\frac{1}{256}) - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $256$ .

$- \frac{2 (2 \frac{1}{2 (128)} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 (2 \frac{1}{2 \cdot 128} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 {(\frac{1}{4})}^{3} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 \frac{1^{3}}{4^{3}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 \frac{1}{4^{3}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.7

Возведем $4$ в степень $3$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - 17 (\frac{1}{64}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.8

Объединим $- 17$ и $\frac{1}{64}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} + \frac{- 17}{64} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.10

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1^{2}}{4^{2}} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.11

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4^{2}} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.12

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 (\frac{1}{16}) + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.13

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.13.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4 (4)} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.13.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + 4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.13.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.14

Чтобы записать $- \frac{17}{64}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17}{64} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.15

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $128$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.15.1

Умножим $\frac{17}{64}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17 \cdot 2}{64 \cdot 2} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.15.2

Умножим $64$ на $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1}{128} - \frac{17 \cdot 2}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{2 (\frac{1 - 17 \cdot 2}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.17.1

Умножим $- 17$ на $2$ .

$- \frac{2 (\frac{1 - 34}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.17.2

Вычтем $34$ из $1$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{1}{4} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.18

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{32}{32}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{1}{4} \cdot \frac{32}{32} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.19

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $128$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.19.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{32}{32}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{32}{4 \cdot 32} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.19.2

Умножим $4$ на $32$ .

$- \frac{2 (\frac{- 33}{128} + \frac{32}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{2 (\frac{- 33 + 32}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.21

Добавим $- 33$ и $32$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + 2)}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.22

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{128}{128}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + 2 \cdot \frac{128}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.23

Объединим $2$ и $\frac{128}{128}$ .

$- \frac{2 (\frac{- 1}{128} + \frac{2 \cdot 128}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.24

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{2 \frac{- 1 + 2 \cdot 128}{128}}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.25

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.25.1

Умножим $2$ на $128$ .

$- \frac{2 \frac{- 1 + 256}{128}}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.1.25.2

Добавим $- 1$ и $256$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{{(\frac{1}{4})}^{2} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + {(\frac{1}{4})}^{2})}^{2}}$

Этап 9.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1^{2}}{4^{2}})}^{2}}$

Этап 9.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1}{4^{2}})}^{2}}$

Этап 9.2.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(1 + \frac{1}{16})}^{2}}$

Этап 9.2.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{16}{16} + \frac{1}{16})}^{2}}$

Этап 9.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{16 + 1}{16})}^{2}}$

Этап 9.2.7

Добавим $16$ и $1$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} {(\frac{17}{16})}^{2}}$

Этап 9.2.8

Применим правило умножения к $\frac{17}{16}$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1^{2}}{4^{2}} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Этап 9.2.9

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{4^{2}} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Этап 9.2.10

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{17^{2}}{16^{2}}}$

Этап 9.2.11

Возведем $17$ в степень $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{16^{2}}}$

Этап 9.2.12

Возведем $16$ в степень $2$ .

$- \frac{2 (\frac{255}{128})}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{256}}$

Этап 9.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $2$ и $\frac{255}{128}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{128}}{\frac{1}{16} \cdot \frac{289}{256}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{1}{16}$ на $\frac{289}{256}$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{128}}{\frac{289}{16 \cdot 256}}$

Этап 9.3.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $2$ на $255$ .

$- \frac{\frac{510}{128}}{\frac{289}{16 \cdot 256}}$

Этап 9.3.3.2

Умножим $16$ на $256$ .

$- \frac{\frac{510}{128}}{\frac{289}{4096}}$

Этап 9.3.4

Сократим общий множитель $510$ и $128$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $510$ .

$- \frac{\frac{2 (255)}{128}}{\frac{289}{4096}}$

Этап 9.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $128$ .

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{2 \cdot 64}}{\frac{289}{4096}}$

Этап 9.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{\frac{2 \cdot 255}{2 \cdot 64}}{\frac{289}{4096}}$

Этап 9.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\frac{255}{64}}{\frac{289}{4096}}$

Этап 9.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (\frac{255}{64} \cdot \frac{4096}{289})$

Этап 9.5

Сократим общий множитель $17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $17$ из $255$ .

$- (\frac{17 (15)}{64} \cdot \frac{4096}{289})$

Этап 9.5.2

Вынесем множитель $17$ из $289$ .

$- (\frac{17 \cdot 15}{64} \cdot \frac{4096}{17 \cdot 17})$

Этап 9.5.3

Сократим общий множитель.

$- (\frac{17 \cdot 15}{64} \cdot \frac{4096}{17 \cdot 17})$

Этап 9.5.4

Перепишем это выражение.

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{4096}{17})$

Этап 9.6

Сократим общий множитель $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Вынесем множитель $64$ из $4096$ .

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{64 (64)}{17})$

Этап 9.6.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{15}{64} \cdot \frac{64 \cdot 64}{17})$

Этап 9.6.3

Перепишем это выражение.

$- (15 (\frac{64}{17}))$

Этап 9.7

Объединим $15$ и $\frac{64}{17}$ .

$- \frac{15 \cdot 64}{17}$

Этап 9.8

Умножим $15$ на $64$ .

$- \frac{960}{17}$

Этап 10

$x = \frac{1}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{4}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = 4 \ln (\frac{1}{4}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Упростим $4 \ln (\frac{1}{4})$ путем переноса $4$ под логарифм.

$f (\frac{1}{4}) = \ln ({(\frac{1}{4})}^{4}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Этап 11.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1^{4}}{4^{4}}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Этап 11.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{4^{4}}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Этап 11.2.1.4

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 17 \arctan (\frac{1}{4})$

Этап 11.2.1.5

Найдем значение $\arctan (\frac{1}{4})$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 17 \cdot 0.24497866$

Этап 11.2.1.6

Умножим $- 17$ на $0.24497866$ .

$f (\frac{1}{4}) = \ln (\frac{1}{256}) - 4.16463727$

Этап 11.2.2

Вычтем $4.16463727$ из $\ln (\frac{1}{256})$ .

$f (\frac{1}{4}) = - 9.70981471$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 9.70981471$ .

$y = - 9.70981471$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4 {(4)}^{2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $4$ на ${(4)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Умножим $4$ на ${(4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Возведем $4$ в степень $1$ .

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{1} {(4)}^{2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Этап 13.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{1 + 2} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Этап 13.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{2 (2 {(4)}^{4} - 17 {(4)}^{3} + 4^{3} + 2)}{{(4)}^{2} {(1 + {(4)}^{2})}^{2}}$

Этап 13.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$- \frac{2 (2 \cdot 256 - 17 \cdot 4^{3} + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Этап 13.2.2

Умножим $2$ на $256$ .

$- \frac{2 (512 - 17 \cdot 4^{3} + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Этап 13.2.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$- \frac{2 (512 - 17 \cdot 64 + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Этап 13.2.4

Умножим $- 17$ на $64$ .

$- \frac{2 (512 - 1088 + 4^{3} + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Этап 13.2.5

Возведем $4$ в степень $3$ .

$- \frac{2 (512 - 1088 + 64 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Этап 13.2.6

Вычтем $1088$ из $512$ .

$- \frac{2 (- 576 + 64 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Этап 13.2.7

Добавим $- 576$ и $64$ .

$- \frac{2 (- 512 + 2)}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Этап 13.2.8

Добавим $- 512$ и $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} {(1 + 4^{2})}^{2}}$

Этап 13.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} {(1 + 16)}^{2}}$

Этап 13.3.2

Добавим $1$ и $16$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{4^{2} \cdot 17^{2}}$

Этап 13.3.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{16 \cdot 17^{2}}$

Этап 13.3.4

Возведем $17$ в степень $2$ .

$- \frac{2 \cdot - 510}{16 \cdot 289}$

Этап 13.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Умножим $2$ на $- 510$ .

$- \frac{- 1020}{16 \cdot 289}$

Этап 13.4.2

Умножим $16$ на $289$ .

$- \frac{- 1020}{4624}$

Этап 13.4.3

Сократим общий множитель $- 1020$ и $4624$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.3.1

Вынесем множитель $68$ из $- 1020$ .

$- \frac{68 (- 15)}{4624}$

Этап 13.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.3.2.1

Вынесем множитель $68$ из $4624$ .

$- \frac{68 \cdot - 15}{68 \cdot 68}$

Этап 13.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{68 \cdot - 15}{68 \cdot 68}$

Этап 13.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{- 15}{68}$

Этап 13.4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{15}{68}$

Этап 13.5

Умножим $- - \frac{15}{68}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{15}{68})$

Этап 13.5.2

Умножим $\frac{15}{68}$ на $1$ .

$\frac{15}{68}$

Этап 14

$x = 4$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 4$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = 4 \ln (4) - 17 \arctan (4)$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Упростим $4 \ln (4)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$f (4) = \ln (4^{4}) - 17 \arctan (4)$

Этап 15.2.1.2

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f (4) = \ln (256) - 17 \arctan (4)$

Этап 15.2.1.3

Найдем значение $\arctan (4)$ .

$f (4) = \ln (256) - 17 \cdot 1.32581766$

Этап 15.2.1.4

Умножим $- 17$ на $1.32581766$ .

$f (4) = \ln (256) - 22.53890028$

Этап 15.2.2

Вычтем $22.53890028$ из $\ln (256)$ .

$f (4) = - 16.99372283$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $- 16.99372283$ .

$y = - 16.99372283$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 4 \ln (x) - 17 \arctan (x)$ .

$(\frac{1}{4}, - 9.70981471)$ — локальный максимум

$(4, - 16.99372283)$ — локальный минимум

Этап 17