Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \cos (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$4 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Этап 1.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sin^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin^{2} (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$- 4 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 1.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 4 \sin (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x))$

Этап 1.3.4

Умножим $2$ на $2$ .

$- 4 \sin (x) + 4 \sin (x) \cos (x)$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \cos (x) \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \cos (x) \sin (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Этап 2.2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Этап 2.2.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Этап 2.2.5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Этап 2.2.6

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Этап 2.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 4 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Этап 2.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Этап 2.2.9

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Этап 2.2.10

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Этап 2.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Этап 2.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 \sin (x)$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 4 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 4 \cos (x)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \cos (x)$

Этап 2.4.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f'' (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x) - 4 \cos (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4

Вынесем множитель $4 \sin (x)$ из $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $4 \sin (x)$ из $4 \cos (x) \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4.2

Вынесем множитель $4 \sin (x)$ из $- 4 \sin (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 4.3

Вынесем множитель $4 \sin (x)$ из $4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cdot - 1$ .

$4 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Этап 6

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 6.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 6.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 6.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 6.2.5

Решение уравнения $x = 0$ .

$x = 0, π$

Этап 7

Приравняем $\cos (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $\cos (x) - 1$ к $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $\cos (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cos (x) = 1$

Этап 7.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 7.2.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 7.2.5

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 7.2.6

Решение уравнения $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 0, π, 2 π$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 \cos^{2} (0) - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$4 \cdot 1^{2} - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Этап 10.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$4 \cdot 1 - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Этап 10.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 - 4 \sin^{2} (0) - 4 \cos (0)$

Этап 10.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$4 - 4 \cdot 0^{2} - 4 \cos (0)$

Этап 10.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 - 4 \cdot 0 - 4 \cos (0)$

Этап 10.1.6

Умножим $- 4$ на $0$ .

$4 + 0 - 4 \cos (0)$

Этап 10.1.7

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$4 + 0 - 4 \cdot 1$

Этап 10.1.8

Умножим $- 4$ на $1$ .

$4 + 0 - 4$

Этап 10.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $4$ и $0$ .

$4 - 4$

Этап 10.2.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$0$

Этап 11

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Этап 11.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 4 \cos (- 2) \sin (- 2) - 4 \sin (- 2)$

Этап 11.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Найдем значение $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2)) - 4 \sin (- 2)$

Этап 11.2.2.1.2

Умножим $4$ на $- 0.41614683$ .

$f' (- 2) = - 1.66458734 \sin (- 2) - 4 \sin (- 2)$

Этап 11.2.2.1.3

Найдем значение $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 1.66458734 \cdot - 0.90929742 - 4 \sin (- 2)$

Этап 11.2.2.1.4

Умножим $- 1.66458734$ на $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 - 4 \sin (- 2)$

Этап 11.2.2.1.5

Найдем значение $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 - 4 \cdot - 0.90929742$

Этап 11.2.2.1.6

Умножим $- 4$ на $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 1.51360499 + 3.6371897$

Этап 11.2.2.2

Добавим $1.51360499$ и $3.6371897$ .

$f' (- 2) = 5.15079469$

Этап 11.2.2.3

Окончательный ответ: $5.15079469$ .

$5.15079469$

Этап 11.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, π)$ в первую производную $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 4 \cos (2) \sin (2) - 4 \sin (2)$

Этап 11.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1.1

Найдем значение $\cos (2)$ .

$f' (2) = 4 \cdot (- 0.41614683 \sin (2)) - 4 \sin (2)$

Этап 11.3.2.1.2

Умножим $4$ на $- 0.41614683$ .

$f' (2) = - 1.66458734 \sin (2) - 4 \sin (2)$

Этап 11.3.2.1.3

Найдем значение $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 1.66458734 \cdot 0.90929742 - 4 \sin (2)$

Этап 11.3.2.1.4

Умножим $- 1.66458734$ на $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 4 \sin (2)$

Этап 11.3.2.1.5

Найдем значение $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 4 \cdot 0.90929742$

Этап 11.3.2.1.6

Умножим $- 4$ на $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.51360499 - 3.6371897$

Этап 11.3.2.2

Вычтем $3.6371897$ из $- 1.51360499$ .

$f' (2) = - 5.15079469$

Этап 11.3.2.3

Окончательный ответ: $- 5.15079469$ .

$- 5.15079469$

Этап 11.4

Подставим любое число такое, что $5$ , из интервала $(π, 2 π)$ в первую производную $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f' (5) = 4 \cos (5) \sin (5) - 4 \sin (5)$

Этап 11.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1.1

Найдем значение $\cos (5)$ .

$f' (5) = 4 \cdot (0.28366218 \sin (5)) - 4 \sin (5)$

Этап 11.4.2.1.2

Умножим $4$ на $0.28366218$ .

$f' (5) = 1.13464874 \sin (5) - 4 \sin (5)$

Этап 11.4.2.1.3

Найдем значение $\sin (5)$ .

$f' (5) = 1.13464874 \cdot - 0.95892427 - 4 \sin (5)$

Этап 11.4.2.1.4

Умножим $1.13464874$ на $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 1.08804222 - 4 \sin (5)$

Этап 11.4.2.1.5

Найдем значение $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 1.08804222 - 4 \cdot - 0.95892427$

Этап 11.4.2.1.6

Умножим $- 4$ на $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 1.08804222 + 3.83569709$

Этап 11.4.2.2

Добавим $- 1.08804222$ и $3.83569709$ .

$f' (5) = 2.74765487$

Этап 11.4.2.3

Окончательный ответ: $2.74765487$ .

$2.74765487$

Этап 11.5

Подставим любое число такое, что $9$ , из интервала $(2 π, \infty)$ в первую производную $4 \cos (x) \sin (x) - 4 \sin (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$f' (9) = 4 \cos (9) \sin (9) - 4 \sin (9)$

Этап 11.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1.1

Найдем значение $\cos (9)$ .

$f' (9) = 4 \cdot (- 0.91113026 \sin (9)) - 4 \sin (9)$

Этап 11.5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 0.91113026$ .

$f' (9) = - 3.64452104 \sin (9) - 4 \sin (9)$

Этап 11.5.2.1.3

Найдем значение $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 3.64452104 \cdot 0.41211848 - 4 \sin (9)$

Этап 11.5.2.1.4

Умножим $- 3.64452104$ на $0.41211848$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 4 \sin (9)$

Этап 11.5.2.1.5

Найдем значение $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 4 \cdot 0.41211848$

Этап 11.5.2.1.6

Умножим $- 4$ на $0.41211848$ .

$f' (9) = - 1.50197449 - 1.64847394$

Этап 11.5.2.2

Вычтем $1.64847394$ из $- 1.50197449$ .

$f' (9) = - 3.15044843$

Этап 11.5.2.3

Окончательный ответ: $- 3.15044843$ .

$- 3.15044843$

Этап 11.6

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный максимум.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11.7

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = π$ , $x = π$ — локальный минимум.

$x = π$ — локальный минимум

Этап 11.8

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 2 π$ , $x = 2 π$ — локальный максимум.

$x = 2 π$ — локальный максимум

Этап 11.9

Это локальные экстремумы $f (x) = 4 \cos (x) + 2 \sin^{2} (x)$ .

$x = 0$ — локальный максимум

$x = π$ — локальный минимум

$x = 2 π$ — локальный максимум

$x = 0$ — локальный максимум

$x = π$ — локальный минимум

$x = 2 π$ — локальный максимум

Этап 12