Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 \cos (4 x - 2)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \cos (4 x - 2)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 2)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 2)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 4 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x - 2$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 2])$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - 2])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - 2$ .

$4 (- \sin (4 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x - 2])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 (\sin (4 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x - 2])$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $4 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 4 \sin (4 x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 1.3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \sin (4 x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \sin (4 x - 2) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 1.3.5

Умножим $4$ на $1$ .

$- 4 \sin (4 x - 2) (4 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 1.3.6

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 \sin (4 x - 2) (4 + 0)$

Этап 1.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Добавим $4$ и $0$ .

$- 4 \sin (4 x - 2) \cdot 4$

Этап 1.3.7.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$- 16 \sin (4 x - 2)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 \sin (4 x - 2)$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - 2)]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} \sin (4 x - 2)$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x - 2$ .

$f'' (x) = - 16 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (4 x - 2))$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos (u) \frac{d}{d x} (4 x - 2))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - 2$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos (4 x - 2) \frac{d}{d x} (4 x - 2))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $4 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - 16 \cos (4 x - 2) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

Этап 2.3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 16 \cos (4 x - 2) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 16 \cos (4 x - 2) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

Этап 2.3.4

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = - 16 \cos (4 x - 2) (4 + \frac{d}{d x} (- 2))$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 16 \cos (4 x - 2) (4 + 0)$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $4$ и $0$ .

$f'' (x) = - 16 \cos (4 x - 2) \cdot 4$

Этап 2.3.6.2

Умножим $4$ на $- 16$ .

$f'' (x) = - 64 \cos (4 x - 2)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 16 \sin (4 x - 2) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- 16 \sin (4 x - 2) = 0$ на $- 16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- 16 \sin (4 x - 2) = 0$ на $- 16$ .

$\frac{- 16 \sin (4 x - 2)}{- 16} = \frac{0}{- 16}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $- 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 16 \sin (4 x - 2)}{- 16} = \frac{0}{- 16}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $\sin (4 x - 2)$ на $1$ .

$\sin (4 x - 2) = \frac{0}{- 16}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $- 16$ .

$\sin (4 x - 2) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$4 x - 2 = \arcsin (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$4 x - 2 = 0$

Этап 7

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 2$

Этап 8

Разделим каждый член $4 x = 2$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $4 x = 2$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2}{4}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{4}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x = \frac{2 (1)}{4}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 8.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 8.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 9

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$4 x - 2 = π - 0$

Этап 10

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$4 x - 2 = π$

Этап 10.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$4 x = π + 2$

Этап 10.3

Разделим каждый член $4 x = π + 2$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Разделим каждый член $4 x = π + 2$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4} + \frac{2}{4}$

Этап 10.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4} + \frac{2}{4}$

Этап 10.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{2}{4}$

Этап 10.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{2 (1)}{4}$

Этап 10.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 10.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{π}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 10.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 11

Решение уравнения $4 x - 2 = 0$ .

$x = \frac{1}{2}, \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 64 \cos (4 (\frac{1}{2}) - 2)$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 64 \cos (2 (2) \frac{1}{2} - 2)$

Этап 13.1.2

Сократим общий множитель.

$- 64 \cos (2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 2)$

Этап 13.1.3

Перепишем это выражение.

$- 64 \cos (2 - 2)$

Этап 13.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$- 64 \cos (0)$

Этап 13.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 64 \cdot 1$

Этап 13.4

Умножим $- 64$ на $1$ .

$- 64$

Этап 14

$x = \frac{1}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{2}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 \cos (4 (\frac{1}{2}) - 2)$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 \cos (2 (2) (\frac{1}{2}) - 2)$

Этап 15.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{2}) = 4 \cos (2 \cdot (2 (\frac{1}{2})) - 2)$

Этап 15.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{2}) = 4 \cos (2 - 2)$

Этап 15.2.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 \cos (0)$

Этап 15.2.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 \cdot 1$

Этап 15.2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4$

Этап 15.2.5

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 64 \cos (4 (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) - 2)$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 64 \cos (4 \frac{π}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 2)$

Этап 17.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- 64 \cos (4 \frac{π}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 2)$

Этап 17.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- 64 \cos (π + 4 (\frac{1}{2}) - 2)$

Этап 17.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 64 \cos (π + 2 (2) \frac{1}{2} - 2)$

Этап 17.1.3.2

Сократим общий множитель.

$- 64 \cos (π + 2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 2)$

Этап 17.1.3.3

Перепишем это выражение.

$- 64 \cos (π + 2 - 2)$

Этап 17.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$- 64 \cos (π + 0)$

Этап 17.2.2

Добавим $π$ и $0$ .

$- 64 \cos (π)$

Этап 17.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- 64 (- \cos (0))$

Этап 17.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 64 (- 1 \cdot 1)$

Этап 17.5

Умножим $- 64 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 64 \cdot - 1$

Этап 17.5.2

Умножим $- 64$ на $- 1$ .

$64$

Этап 18

$x = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (4 (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) - 2)$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (4 (\frac{π}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) - 2)$

Этап 19.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (4 (\frac{π}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) - 2)$

Этап 19.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (π + 4 (\frac{1}{2}) - 2)$

Этап 19.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (π + 2 (2) (\frac{1}{2}) - 2)$

Этап 19.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (π + 2 \cdot (2 (\frac{1}{2})) - 2)$

Этап 19.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (π + 2 - 2)$

Этап 19.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (π + 0)$

Этап 19.2.2.2

Добавим $π$ и $0$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cos (π)$

Этап 19.2.3

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 (- \cos (0))$

Этап 19.2.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

Этап 19.2.5

Умножим $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = 4 \cdot - 1$

Этап 19.2.5.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) = - 4$

Этап 19.2.6

Окончательный ответ: $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = 4 \cos (4 x - 2)$ .

$(\frac{1}{2}, 4)$ — локальный максимум

$(\frac{π}{4} + \frac{1}{2}, - 4)$ — локальный минимум

Этап 21