Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{4} - 12 x^{3} + 9 x^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 x^{4} - 12 x^{3} + 9 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{4}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{3}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$16 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $- 12$ .

$16 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 x^{3} - 36 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$16 x^{3} - 36 x^{2} + 9 (2 x)$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $9$ .

$16 x^{3} - 36 x^{2} + 18 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $16 x^{3} - 36 x^{2} + 18 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x^{3}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $16$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36 x^{2}$ по $x$ равна $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (18 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 36$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (18 x)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 72 x + 18 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 72 x + 18 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $18$ на $1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 72 x + 18$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$16 x^{3} - 36 x^{2} + 18 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $4 x^{4} - 12 x^{3} + 9 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{4}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{3}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$16 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $- 12$ .

$16 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 x^{3} - 36 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$16 x^{3} - 36 x^{2} + 9 (2 x)$

Этап 4.1.4.3

Умножим $2$ на $9$ .

$f' (x) = 16 x^{3} - 36 x^{2} + 18 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $16 x^{3} - 36 x^{2} + 18 x$ .

$16 x^{3} - 36 x^{2} + 18 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $16 x^{3} - 36 x^{2} + 18 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$16 x^{3} - 36 x^{2} + 18 x = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 x$ из $16 x^{3} - 36 x^{2} + 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $16 x^{3}$ .

$2 x (8 x^{2}) - 36 x^{2} + 18 x = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 36 x^{2}$ .

$2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 18 x) + 18 x = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $18 x$ .

$2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 18 x) + 2 x (9) = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 18 x)$ .

$2 x (8 x^{2} - 18 x) + 2 x (9) = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (8 x^{2} - 18 x) + 2 x (9)$ .

$2 x (8 x^{2} - 18 x + 9) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 8 \cdot 9 = 72$ , а сумма — $b = - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 18$ из $- 18 x$ .

$2 x (8 x^{2} - 18 x + 9) = 0$

Этап 5.2.2.1.1.2

Запишем $- 18$ как $- 6$ плюс $- 12$

$2 x (8 x^{2} + (- 6 - 12) x + 9) = 0$

Этап 5.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (8 x^{2} - 6 x - 12 x + 9) = 0$

Этап 5.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 x ((8 x^{2} - 6 x) - 12 x + 9) = 0$

Этап 5.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x (2 x (4 x - 3) - 3 (4 x - 3)) = 0$

Этап 5.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x - 3$ .

$2 x ((4 x - 3) (2 x - 3)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x (4 x - 3) (2 x - 3) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$4 x - 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $4 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 3$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Этап 5.6

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 5.6.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 5.6.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 5.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 5.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (4 x - 3) (2 x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{3}{4}, \frac{3}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, \frac{3}{4}, \frac{3}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$48 {(0)}^{2} - 72 \cdot 0 + 18$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$48 \cdot 0 - 72 \cdot 0 + 18$

Этап 9.1.2

Умножим $48$ на $0$ .

$0 - 72 \cdot 0 + 18$

Этап 9.1.3

Умножим $- 72$ на $0$ .

$0 + 0 + 18$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 18$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $18$ .

$18$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 4 {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3} + 9 {(0)}^{2}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 - 12 {(0)}^{3} + 9 {(0)}^{2}$

Этап 11.2.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$f (0) = 0 - 12 {(0)}^{3} + 9 {(0)}^{2}$

Этап 11.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 9 {(0)}^{2}$

Этап 11.2.1.4

Умножим $- 12$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 9 {(0)}^{2}$

Этап 11.2.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 9 \cdot 0$

Этап 11.2.1.6

Умножим $9$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Этап 11.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 11.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{3}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$48 {(\frac{3}{4})}^{2} - 72 (\frac{3}{4}) + 18$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$48 \frac{3^{2}}{4^{2}} - 72 (\frac{3}{4}) + 18$

Этап 13.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$48 \frac{9}{4^{2}} - 72 (\frac{3}{4}) + 18$

Этап 13.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$48 (\frac{9}{16}) - 72 (\frac{3}{4}) + 18$

Этап 13.1.4

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$16 (3) \frac{9}{16} - 72 (\frac{3}{4}) + 18$

Этап 13.1.4.2

Сократим общий множитель.

$16 \cdot 3 \frac{9}{16} - 72 (\frac{3}{4}) + 18$

Этап 13.1.4.3

Перепишем это выражение.

$3 \cdot 9 - 72 (\frac{3}{4}) + 18$

Этап 13.1.5

Умножим $3$ на $9$ .

$27 - 72 (\frac{3}{4}) + 18$

Этап 13.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 72$ .

$27 + 4 (- 18) \frac{3}{4} + 18$

Этап 13.1.6.2

Сократим общий множитель.

$27 + 4 \cdot - 18 \frac{3}{4} + 18$

Этап 13.1.6.3

Перепишем это выражение.

$27 - 18 \cdot 3 + 18$

Этап 13.1.7

Умножим $- 18$ на $3$ .

$27 - 54 + 18$

Этап 13.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $54$ из $27$ .

$- 27 + 18$

Этап 13.2.2

Добавим $- 27$ и $18$ .

$- 9$

Этап 14

$x = \frac{3}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3}{4}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{3}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = 4 {(\frac{3}{4})}^{4} - 12 {(\frac{3}{4})}^{3} + 9 {(\frac{3}{4})}^{2}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = 4 (\frac{3^{4}}{4^{4}}) - 12 {(\frac{3}{4})}^{3} + 9 {(\frac{3}{4})}^{2}$

Этап 15.2.1.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = 4 (\frac{81}{4^{4}}) - 12 {(\frac{3}{4})}^{3} + 9 {(\frac{3}{4})}^{2}$

Этап 15.2.1.3

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = 4 (\frac{81}{256}) - 12 {(\frac{3}{4})}^{3} + 9 {(\frac{3}{4})}^{2}$

Этап 15.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $256$ .

$f (\frac{3}{4}) = 4 (\frac{81}{4 (64)}) - 12 {(\frac{3}{4})}^{3} + 9 {(\frac{3}{4})}^{2}$

Этап 15.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{4}) = 4 (\frac{81}{4 \cdot 64}) - 12 {(\frac{3}{4})}^{3} + 9 {(\frac{3}{4})}^{2}$

Этап 15.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64} - 12 {(\frac{3}{4})}^{3} + 9 {(\frac{3}{4})}^{2}$

Этап 15.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64} - 12 \frac{3^{3}}{4^{3}} + 9 {(\frac{3}{4})}^{2}$

Этап 15.2.1.6

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64} - 12 \frac{27}{4^{3}} + 9 {(\frac{3}{4})}^{2}$

Этап 15.2.1.7

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64} - 12 (\frac{27}{64}) + 9 {(\frac{3}{4})}^{2}$

Этап 15.2.1.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64} + 4 (- 3) (\frac{27}{64}) + 9 {(\frac{3}{4})}^{2}$

Этап 15.2.1.8.2

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64} + 4 \cdot (- 3 \frac{27}{4 \cdot 16}) + 9 {(\frac{3}{4})}^{2}$

Этап 15.2.1.8.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64} + 4 \cdot (- 3 \frac{27}{4 \cdot 16}) + 9 {(\frac{3}{4})}^{2}$

Этап 15.2.1.8.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64} - 3 (\frac{27}{16}) + 9 {(\frac{3}{4})}^{2}$

Этап 15.2.1.9

Объединим $- 3$ и $\frac{27}{16}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64} + \frac{- 3 \cdot 27}{16} + 9 {(\frac{3}{4})}^{2}$

Этап 15.2.1.10

Умножим $- 3$ на $27$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64} + \frac{- 81}{16} + 9 {(\frac{3}{4})}^{2}$

Этап 15.2.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64} - \frac{81}{16} + 9 {(\frac{3}{4})}^{2}$

Этап 15.2.1.12

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64} - \frac{81}{16} + 9 (\frac{3^{2}}{4^{2}})$

Этап 15.2.1.13

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64} - \frac{81}{16} + 9 (\frac{9}{4^{2}})$

Этап 15.2.1.14

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64} - \frac{81}{16} + 9 (\frac{9}{16})$

Этап 15.2.1.15

Умножим $9 (\frac{9}{16})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.15.1

Объединим $9$ и $\frac{9}{16}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64} - \frac{81}{16} + \frac{9 \cdot 9}{16}$

Этап 15.2.1.15.2

Умножим $9$ на $9$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64} - \frac{81}{16} + \frac{81}{16}$

Этап 15.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64} + \frac{- 81 + 81}{16}$

Этап 15.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1

Добавим $- 81$ и $81$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64} + \frac{0}{16}$

Этап 15.2.2.2.2

Разделим $0$ на $16$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64} + 0$

Этап 15.2.2.2.3

Добавим $\frac{81}{64}$ и $0$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{81}{64}$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $\frac{81}{64}$ .

$y = \frac{81}{64}$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = \frac{3}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$48 {(\frac{3}{2})}^{2} - 72 (\frac{3}{2}) + 18$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$48 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 72 (\frac{3}{2}) + 18$

Этап 17.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$48 \frac{9}{2^{2}} - 72 (\frac{3}{2}) + 18$

Этап 17.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$48 (\frac{9}{4}) - 72 (\frac{3}{2}) + 18$

Этап 17.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $48$ .

$4 (12) \frac{9}{4} - 72 (\frac{3}{2}) + 18$

Этап 17.1.4.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 12 \frac{9}{4} - 72 (\frac{3}{2}) + 18$

Этап 17.1.4.3

Перепишем это выражение.

$12 \cdot 9 - 72 (\frac{3}{2}) + 18$

Этап 17.1.5

Умножим $12$ на $9$ .

$108 - 72 (\frac{3}{2}) + 18$

Этап 17.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 72$ .

$108 + 2 (- 36) \frac{3}{2} + 18$

Этап 17.1.6.2

Сократим общий множитель.

$108 + 2 \cdot - 36 \frac{3}{2} + 18$

Этап 17.1.6.3

Перепишем это выражение.

$108 - 36 \cdot 3 + 18$

Этап 17.1.7

Умножим $- 36$ на $3$ .

$108 - 108 + 18$

Этап 17.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Вычтем $108$ из $108$ .

$0 + 18$

Этап 17.2.2

Добавим $0$ и $18$ .

$18$

Этап 18

$x = \frac{3}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3}{2}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 4 {(\frac{3}{2})}^{4} - 12 {(\frac{3}{2})}^{3} + 9 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{3} + 9 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 19.2.1.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{2^{4}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{3} + 9 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 19.2.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{16}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{3} + 9 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 19.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 (4)}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{3} + 9 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 19.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 \cdot 4}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{3} + 9 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 19.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 12 {(\frac{3}{2})}^{3} + 9 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 19.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 12 \frac{3^{3}}{2^{3}} + 9 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 19.2.1.6

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 12 \frac{27}{2^{3}} + 9 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 19.2.1.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 12 (\frac{27}{8}) + 9 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 19.2.1.8

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 (- 3) (\frac{27}{8}) + 9 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 19.2.1.8.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (- 3 \frac{27}{4 \cdot 2}) + 9 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 19.2.1.8.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (- 3 \frac{27}{4 \cdot 2}) + 9 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 19.2.1.8.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 3 (\frac{27}{2}) + 9 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 19.2.1.9

Объединим $- 3$ и $\frac{27}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{- 3 \cdot 27}{2} + 9 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 19.2.1.10

Умножим $- 3$ на $27$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{- 81}{2} + 9 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 19.2.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81}{2} + 9 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Этап 19.2.1.12

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81}{2} + 9 (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

Этап 19.2.1.13

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81}{2} + 9 (\frac{9}{2^{2}})$

Этап 19.2.1.14

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81}{2} + 9 (\frac{9}{4})$

Этап 19.2.1.15

Умножим $9 (\frac{9}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.15.1

Объединим $9$ и $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81}{2} + \frac{9 \cdot 9}{4}$

Этап 19.2.1.15.2

Умножим $9$ на $9$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81}{2} + \frac{81}{4}$

Этап 19.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 + 81}{4} + \frac{- 81}{2}$

Этап 19.2.2.2

Добавим $81$ и $81$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{162}{4} + \frac{- 81}{2}$

Этап 19.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.3.1

Сократим общий множитель $162$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $162$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{2 (81)}{4} + \frac{- 81}{2}$

Этап 19.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 2} + \frac{- 81}{2}$

Этап 19.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 2} + \frac{- 81}{2}$

Этап 19.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{2} + \frac{- 81}{2}$

Этап 19.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81}{2} - \frac{81}{2}$

Этап 19.2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{81 - 81}{2}$

Этап 19.2.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.4.2.1

Вычтем $81$ из $81$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{0}{2}$

Этап 19.2.4.2.2

Разделим $0$ на $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = 0$

Этап 19.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = 4 x^{4} - 12 x^{3} + 9 x^{2}$ .

$(0, 0)$ — локальный минимум

$(\frac{3}{4}, \frac{81}{64})$ — локальный максимум

$(\frac{3}{2}, 0)$ — локальный минимум

Этап 21